Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Одной из классических проблем вычислительной математики является задача приближенного вычисления определенного интеграла. Различные квадратурные формулы для вычисления определенного интеграла были построены ещё в XIX веке. Построение на их основе многомерных квадратурных формул оказалось неэффективным из-за существенной потери точности с ростом размерности. Поэтому 55 лет тому назад, исходя из нужд вычислительной практики, в приближенном анализе возник теоретико-числовой метод Н. М. Коробова , который позволил построить для канонической области интегрирования, являющейся единичным s-мерным кубом Gs = [0; l)s, многомерные квадратурные формулы, существенно более точные, чем классические формулы для классов периодических функций с быстро сходящимися рядами Фурье.
В 1976 г. К. К. Фролов в своей работе (1] построил для специального подкласса периодических функций из класса Е^ квадратурные формулы с алгебраическими сетками, для которых получил точный порядок погрешности.
В 1984 г. Н. М. Добровольский в серии работ [2, 3, 4, 5, 6, 7] построил теорию обобщенных паралелепипедальных сеток и предложил конструкцию весовой функции, которая позволила включить в общую теорию и квадратурные формулы с параллелепипедальными сетками Коробова, и аналог квадратурных формул с алгебраическими сетками Фролова.
Оставались нерешенными задачи вычисления констант в оценках погрешности для квадратурных формул с алгебраическими сетками точных по порядку погрешности. Не рассматривался вопрос, особенно важ-
1 Фролов К. К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН
СССР. 231. 1976. №4. С. 818-821.
2Добровольский Н. М. Оценки отклонений обобщенных параллелепипедальных сеток — Деп. в
ВИНИТИ 24.08.84. - №6089 - 84.
3Добровольский И. М. Гиперболическая дзета функция решёток — Деп. в ВИНИТИ 24.08.84.
- №6090 - 84.
4Добровольский, Н. М. О квадратурных формулах на классах Ef(c) и Hf(c) — Деп. в ВИНИТИ
24.08.84. - №6091 - 84.
5Добровольский, И. М. Теоретико-числовые сетки и их приложения. Дис. ... канд. физ.-мат.
наук. Тула, 1984.
е Добровольский, Н. М. Теоретико-числовые сетки и их приложения: Автореф. дис. ... канд.
физ.-мат. наук. Москва, 1985.
Добровольский, И. М. Теоретико-числовые сетки и их приложения // Теория чисел и ее
приложения: Тез. докл. Всесоюз. конф. Тбилиси, 1985. С. 67-70.
ный для вычислительной практики, о перечислении точек алгебраической сетки.
Данная диссертация посвящена исследованию конкретных алгебраических сеток для нахождения явных значений констант в оценках погрешности приближенного интегрирования и указанию эффективных способов перечисления узлов алгебраической сетки без лишней работы по проверке попадания точек в область интегрирования.
Цель и задачи диссертационной работы. Цель данной работы дать новое полное изложение метода К.К. Фролова, получить явные оценки гиперболической дзета-функции решёток с вычислением констант и оценки погрешности приближенного интегрирования, предложить для реализации метода К.К. Фролова при s = 4 биквадратичные поля Дилихле и для поля Q ( v2, л/3 ) найти такую параметризацию точек алгебраической сетки, которая исключает "холостую работу" по проверке принадлежности точек области интегрирования. Поэтому в диссертационном исследовании были поставлены следующие задачи:
-
Вычислить константы в оценке погрешности приближенного интегрирования по квадратурным формулам с использованием алгебраических сеток, порожденных чисто-вещественным алгебраическим полем F степени s над полем рациональных чисел Q.
-
Рассмотреть конкретное вещественное биквадратичное поле Дирихле Q (л/2, л/3) и решить для него алгоритмическую проблему перечисления точек соответствующей алгебраической сетки, используемой при численном интегрировании по методу Фролова четырехкратных интегралов от периодических функций из класса Е%.
-
Провести численные эксперименты по вычислению методом Фролова с алгебраической сеткой, порожденной вещественным биквадра-тичным полем Дирихле Q (л/2, л/З], четырехкратных интегралов от граничной функции Коробова из класса Е% для параллелепипе-дальных сеток.
Научная новизна диссертации заключается в том, что впервые получены явные выражения для значений констант, входящих в оценки погрешностей интегрирования по методу Фролова. Построен эффективный алгоритм численного интегрирования четырехкратных интегралов с использованием алгебраических сеток, соответствующих конкретному
чисто-вещественному биквадратичному алгебраическому полю Дирихле. Проведен численный эксперимент по вычислению двойных, тройных и четырехкратных интегралов от граничных функций параллелепипе-дальных сеток по методу Фролова.
Достоверность результатов проведенных исследований. Достоверность полученных результатов подтверждается полными и подробными математическими доказательствами, опирающимися на теоретико-числовые методы в приближенном анализе.
Практическая значимость работы состоит в том, что теоретические результаты исследования могут использоваться при создании программ численного интегрирования интегралов высокой кратности с использованием параллелепипедальных сеток с большим количеством узлов порядка нескольких миллионов.
Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре "Теоретико-числовые методы приближенного анализа" под руководством профессора Н. М. Добровольского в Тульском государственном педагогическом университете им Л. Н. Толстого; на международной научно-практической конференции "Многомасштабное моделирование структур и нанотехнологии посвященной 190-летию со дня рождения академика Пафнутия Львовича Чебышёва, столетию со дня рождения академика Сергея Васильевича Вонсовского и 80-летию со дня рождения член-корреспондента Виктора Анатольевича Буравихина, Тула, 2011.
Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 4 работах, в том числе публикации [1,2] — в изданиях, включенных в перечень ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, разбитых на 9 параграфов, заключения и списка литературы. Материал изложен на 101 странице машинописного текста, включая 38 рисунков. Библиография содержит 21 наименование.