Числовые характеристики и другие свойства лиевых многообразий почти полиномиального роста Пестова Юлия Рямильевна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Предварительные сведения 21

1.1. Линейные алгебры и их многообразия 21

1.2. Необходимая информация из теории представлений симметрических

1.3. Ассоциативные многообразия почти полиномиального роста 41

Глава 2. Многообразия почти полиномиального роста. Случай многообразий алгебр Ли 46

2.1. Известные лиевы многообразия почти полиномиального роста .47

2.2. Кодлина многообразия, порожденного простой алгеброй Ли вІ2 56

2.3. Новые свойства многообразия алгебр Ли N2A 64

Глава 3. Многообразия почти полиномиального роста. Случай многообразий алгебр Лейбница 78

3.1. О многообразиях алгебр Лейбница 78

3.2. Новые свойства многообразия алгебр Лейбница Vi 87

Литература

• Необходимая информация из теории представлений симметрических
• Ассоциативные многообразия почти полиномиального роста
• Кодлина многообразия, порожденного простой алгеброй Ли вІ2
• Новые свойства многообразия алгебр Лейбница Vi

Введение к работе

Актуальность темы. Первыми примерами неассоциативных алгебр стали алгебры Ли, прочно закрепившиеся в математике в конце 19 века в связи с изучением групп Ли. Класс алгебр Лейбница, вероятнее всего, впервые был определен в работе А.М. Блоха¹ в качестве алгебр Лодея. Алгебры Лейбница стали активно изучаться лишь в начале 90-х годов как неантикоммутативные аналоги алгебр Ли для обобщения необходимых приложений лиевых алгебр в таких областях, как алгебраическая K-теория, классическая алгебраическая топология, дифференциальная геометрия. Свободная алгебра Лейбница была описана Ж. Лодеем и Т. Пирашвили². Алгебры Лейбница определяются тождеством

(xy)z (xz)y + x(yz)

и являются обобщениями алгебр Ли, в которых выполняются тождество антикоммутативности

х² 0

и тождество Якоби

(xy)z + (yz)x + (zx)y 0.

Заметим, что если в алгебре Лейбница выполняется тождество антикоммутативности, то она является алгеброй Ли.

При изучении разных математических структур хорошо известным и давно используемым в математике алгебраическим приемом является выделение классов объектов исследования с помощью тождеств. Класс всех линейных алгебр над некоторым полем, в которых выполнен фиксированный набор тождественных соотношений, Мальцевым А.И. назван многообразием линейных алгебр над заданным полем, а А.Г. Курош назвал его примитивным классом алгебр. Теория многообразий развивается и в настоящее время. Так, например, интересные результаты, связанные с числовыми характеристиками многообразий алгебр Ли, полученные в последние годы, изложены в статье³, где построена дискретная серия многообразий алгебр Ли с различными дробными экспонентами, что невозможно в ассоциативном случае.

Отметим, что на протяжении всей работы характеристика основного поля Ф равна нулю. Пусть V - некоторое многообразие алгебр, а Ф(Х,V) - относительно свободная алгебра этого многообразия со счетным множеством свободных образующих X = {xi, х₂,...}. Множество всех полилинейных элементов от Xi,...,X_n

¹ Блох, А.М. Об одном обобщении понятия алгебры Ли / А.М. Блох // Доклады Академии наук СССР.
- 1965. - Т. 18, № 3. - С. 471-473.

² Loday, J.-L. Universal enviloping algebras of Leibniz algebras and (co)homology / Loday J.-L. and Pirashvili
T. // Math. Ann. - 1992. - V. 296. - P. 139-158.

³ Malyusheva, (Bogdancbhuk) O. A. Series of varieties of Lie algebras of different fractional exponents [Text]
/ O. A. Malyusheva, S. P. Mishchenko, A. B. Verevkin // Dokl. Bolg. AN.- 2013. - V. 66.- № 3. - P. 321-330.

в алгебре Ф{Х,V) обозначим через P_n(V) и определим естественным способом на нем структуру модуля симметрической группы S_n. Результат действия перестановки р Є S_n на полилинейном левонормированном мономе х^х^ ... Хі_п Є P_ra(V) равен ^хр{ч)^хр{г₂) -^хр{і_п)- В середине прошлого века было показано⁴, что в случае нулевой характеристики основного поля любое тождество эквивалентно системе полилинейных тождеств. Таким образом, вся информация о многообразии V содержится в пространствах P„(V), п = 1,2,..., так называемых полилинейных частях многообразия. Поэтому исследование структуры ^-модуля P_ra(V) играет важную роль при изучении многообразия V. Модуль P_n(V) является вполне приводимым, рассмотрим разложение его характера в целочисленную комбинацию неприводимых характеров Х\ с кратностями гп\, где А Ь п — разбиение числа п,

Хп(V) = х(Рп(V)) = У"

тті-хХх-

АЬга

Обозначим c_ra(V) размерность пространства P„(V). По сложившейся традиции последовательность чисел c_ra(V), п = 1, 2,... , называют последовательностью коразмерностей вербального идеала многообразия или просто последовательностью коразмерностей многообразия. Эта последовательность является одной из основных числовых характеристик многообразия. Важными числовыми характеристиками являются также кратности т,\ и последовательность кодлин

Z„(V) = J]m_A,

АЬга

где п = 1,2,..., то есть последовательность длин модулей P„(V). Обозначим через d\ размерность соответствующего разбиению Л неприводимого модуля, то есть d\ = degXA- Понятно, что имеет место такое равенство

c_n(V) = dimP_ra(V) = m_xd_x.

Ahra

Асимптотическое поведение размерности пространства P_ra(V) определяет рост многообразия.

В математическом анализе принято различать полиномиальный или степенной, экспоненциальный или показательный рост. Если многообразие имеет полиномиальный рост, то и рост любого его подмногообразия будет таковым. А в случае многообразия показательного роста его подмногообразия могут иметь показательный, промежуточный или полиномиальный рост. Многообразие V имеет почти полиномиальный рост, если рост самого многообразия не является полиномиальным, но рост любого собственного подмногообразия является полиномиальным. Такие многообразия играют важную роль в теории многообразий.

Мальцев, А.И. Алгебраические системы / А.И. Мальцев. – М.: Наука, 1970. – 392

с.

В случае ассоциативных алгебр существуют только два многообразия почти полиномиального роста⁵. Первое из них порождено бесконечномерной алгеброй Грас-смана G, другое — алгеброй верхнетреугольных матриц [7Т₂ порядка два⁶. В классе алгебр Ли существует ровно четыре разрешимых многообразий почти полиномиального роста N₂A = V_b V₂, V₃, V₄ и найдено одно неразрешимое многообразие почти полиномиального роста V₀⁷. В случае алгебр Лейбница существует девять многообразий почти полиномиального роста. Помимо указанных ранее пяти многообразий алгебр Ли, найдены еще четыре многообразия V_b V₂, V₃, V₄ с аналогичным экстремальным свойством⁸.

И.И. Бенедиктовичем и А.Е. Залесским⁹ сформулирован и доказан критерий полиномиальности роста в терминах диаграмм Юнга для случая алгебр Ли. Ограничение клеток вне первой строки в разбиениях, порождающих ненулевые слагаемые сумм неприводимых изоморфных подмодулей, построенных по таблицам Юнга, является характерным только для многообразий полиномиального роста. СП. Мищенко¹⁰ нашел еще одно эквивалентное условие. СП. Мищенко и О.И. Череватенко¹¹ сформулировали критерий полиномиальности роста алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики.

Объектом исследования данной работы являются многообразия алгебр Ли и Лейбница почти полиномиального роста, их полилинейные компоненты и числовые характеристики.

Предметом исследования является поведение числовых характеристик и строение базисов полилинейных частей некоторых многообразий алгебр Ли и Лейбница почти полиномиального роста.

Цель и задачи работы. Целью диссертационной работы является нахождение новых свойств известных примеров многообразий алгебр Ли и Лейбница почти по-

⁵Кемер, А.Р. T-идеалы со степенным ростом коразмерностей / А.Р. Кемер // Сиб. матем. журнал. -1978. - № 19. - C. 37-48.

⁶Мальцев, Ю.Н. Базис тождеств алгебры верхнетреугольных матриц / Ю.Н. Мальцев // Алгебра и

логика. - 1971. - Т. 10. - С. 393-400.

⁷ Мищенко, СП. Рост многообразий алгебр Ли / СП. Мищенко // Успехи мат. наук. - 1990. - Т. 45,

№ 6. - C. 25-45.

⁸ Mishchenko, S.P. Linear algebra varieties with almost polynomial growth / S.P. Mishchenko // Polynomial

identities and combinatorial methods. Pantelleria. - 2001.

⁹ Бенедиктович, И.И. T-идеалы свободных алгебр Ли с полиномиальным ростом последовательности
коразмерностей / И.И. Бенедиктович, А.Е. Залесский // Весцi АН БССР: Сер. фiз. матем. наук. - 1980. -
№ 3. - C. 5–10.

¹⁰ Мищенко, СП. Рост многообразий алгебр Ли / СП. Мищенко // Успехи мат. наук. - 1990. - Т. 45,
№ 6. - C. 25-45.

¹¹ Мищенко, СП. Необходимые и достаточные условия полиномиальности роста многообразия алгебр
Лейбница / СП. Мищенко, О.И. Череватенко // Фундаментальная и прикладная математика. - 2006. - Т.
12, № 8. - С. 207-215.

линомиального роста над полем нулевой характеристики. Для достижения цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Нахождение формул для вычисления кодлины многообразия, порожденного трехмерной простой алгеброй Ли sl₂.

2. Построение базиса полилинейной части многообразия N₂A, состоящего из алгебр Ли с нильпотентным ступени не выше двух коммутантом, а также нахождение явных формул для вычисления его кодлин и коразмерностей.

3. Построение базиса полилинейной части многообразия алгебр Лейбница почти

полиномиального роста Vi, определяемого тождеством ^(а^зХ^^б) = 0.

Методы исследования. В работе использованы методы теории линейных алгебр, методы теории представлений симметрической группы, техника диаграмм Юнга, комбинаторные методы.

Научная новизна. Все полученные в работе результаты являются новыми. Впервые найдена формула для вычисления кодлины многообразия, порожденного трехмерной простой алгеброй Ли, построен базис полилинейной части многообразия, состоящего из алгебр Ли с нильпотентным ступени не выше двух коммутантом, а также найдены формулы для вычисления его числовых характеристик, таких как кодлина и коразмерность, построен базис полилинейной части многообразия алгебр Лейбница почти полиномиального роста, определенного тождеством хі{х2Хз){хіХь) = 0.

Научные положения, выносимые на защиту.

4. Формула для вычисления кодлины многообразия, порожденного трехмерной простой алгеброй Ли.

5. Формулы кодлины и коразмерности многообразия, состоящего из алгебр Ли с нильпотентным ступени не выше двух коммутантом, а также описание базиса его полилинейной части.

6. Описание базиса полилинейной части многообразия алгебр Лейбница, определенного тождеством х₁(х₂х₃)(х₄х₅) = 0.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Возможность использования полученных теоретических результатов в исследованиях многообразий линейных алгебр является практической значимостью диссертационного исследования.

Личный вклад автора. Формулировки и идеи получения результатов, изложенных в диссертационной работе, выполнены совместно с научным руководителем, а проработка деталей доказательств, написание статей и их оформление согласно требованиям редакций, включая англоязычные версии, — автором лично.

Достоверность результатов исследований. Достоверность результатов, полученных в данной работе, подтверждается как строгостью постановок задач, так и ма-

тематическими методами их решения, опирающимися на теорию линейных алгебр, теорию представлений симметрической группы, технику диаграмм Юнга, комбинаторные методы.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались и были представлены на конференциях и семинарах:

1. Семинары кафедры алгебро-геометрических вычислений Ульяновского Государственного Университета;

2. XI Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Саратов, 9–14 сентября 2013 г.);

3. XII Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения", посвященная восьмидесятилетию профессора В.Н. Латышева (Тула, 21–25 апреля 2014 г.);

4. Международная конференция "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 10–13 ноября 2014 г.);

5. XIII Международная конференция "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения", посвященная восьмидесятипятилетию со дня рождения профессора С.С. Рышкова (Тула, 25–30 мая 2015 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ, в том числе четыре статьи в журналах из списка ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 77 источников. Общий объем диссертации составляет 103 страницы, основной текст диссертации изложен на 74 страницах.

Необходимая информация из теории представлений симметрических

В математическом анализе принято, что рост может быть полиномиальным или степенным, экспоненциальным или показательным. Отметим, что в случае многообразия полиномиального роста, рост любого его подмногообразия будет таковым же. А в случае многообразия показательного роста его подмногообразия могут иметь показательный, промежуточный или полиномиальный рост.

Пусть некоторое свойство Q не выполняется в многообразии V, но им обладает любое собственное подмногообразие в V, тогда многообразие V называют экстремальным по отношению к свойству Q. Говорят еще, что V почти обладает свойством Q. Таким образом, многообразие V обладает почти полиномиальным ростом, если рост самого многообразия не полиномиален, но любое собственное подмногообразие имеет полиномиальный рост. Многообразия такого роста важны в теории многообразий.

Только два многообразия почти полиномиального роста существуют в классе ассоциативных алгебр [20]. Одно порождается бесконечномерной алгеброй Грассмана G, а другое порождает алгебра верхнетреугольных матриц UT2 порядка два [25]. В классе алгебр Ли существует ровно четыре разрешимых многообразий почти полиномиального роста и найдено одно неразрешимое многообразие почти полиномиального роста. В случае алгебр Лейбница найдены еще четыре многообразия с аналогичным экстремальным свойством (см. по этому поводу обзоры [28], [63]).

В теории многообразий алгебр Ли существуют многообразия сверхэкспоненциального роста, то есть рост таких многообразий не ограничивается ни одной показательной функцией. Достаточно хорошо исследованным примером такого многообразия алгебр Ли является многообразие AN2, в котором выполняется тождество (x1x2x3)(x4x5x6) 0. В работе [10] доказано, что оно имеет почти показательный рост. В работе [45] было построено многообразие алгебр Лейбница, имеющее свойства аналогичные со свойствами многообразия AN2. Это многообразие сверхэкспоненциального роста и удовлетворяет тождеству x1(x2(x3x4)) 0. В случае же ассоциативных алгебр не существует многообразий сверхэкспоненциального роста, что подтверждает результат А. Регева [67] о том, что любое собственное многообразие ассоциативных алгебр ограничивает некоторая экспонента: если в многообразии ассоциативных алгебр V выполняется нетривиальное тождество степени т, то его рост коразмерностей удовлетворяет неравенству cn(V) (т — 1)2п для любого п. Позже было доказано, что в классе ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики не может быть многообразий промежуточного роста (между полиномиальным и экспоненциальным). А также последовательность коразмерностей имеет здесь ассимптотическое поведение: она ведет себя или как экспонента с целым показателем, или как полином с целой степенью ([49], [52]).

Мищенко СП. в работе [29] доказал, что в классе алгебр Ли не существует многообразий промежуточного роста в случае основного поля нулевой характеристики. Также им показано, что не существует лиевых многообразий с экспонентой роста, расположенной в интервале (1,2), и приведены примеры многообразий экспоненциального роста с экспонентой равной двум. В работе [68] построено разрешимое многообразие. Верхняя и нижняя его экспоненты лежат в промежутке (3,4). Это означает, что у данного многообразия или нет экспоненты, или она дробная.

Обозначим через А многообразие всех абелевых алгебр Ли, в которых выполняется тождество Х\Х2 = 0. Известно, что многообразие А2, в котором выполняется тождество (xiX2)(xsX4) = 0, имеет почти нулевой рост. Это связано с тем, что любое собственное подмногоообразие состоит из нильпотентных алгебр. Другими словами, можно сказать, что оно является почти нильпотентным. Размерность полилинейной части РП(А2) равна (п — 1). Полилинейная часть является неприводимым модулем симметрической группы, соответствующей разбиению (п — 1,1) Ь п, то есть отвечает диаграммам Юнга с одной клеткой вне первой строки. В работе [13] описан более общий случай, когда в сумме неприводимых изоморфных подмодулей для всех ненулевых слагаемых соответствующие им разбиения вне первой строки имеют не более двух клеток.

Многообразие, которое определяется тождеством x\X2---xs+\ = 0, обозначим через Ns. В его состав входят все нильпотентные алгебры ступени нильпотентности не выше s. Так как при п s + 1 числа cn(Ns) равны нулю, то это многообразие имеет нулевой рост. Произведением двух многообразий UV называется многообразие, которое состоит из всех таких алгебр Л, в которых содержится идеал / Є U такой, что факторалгебра R/I принадлежит многообразию V. Произведение многообразий NSA удовлетворяет тождеству (xiX2)---(x2s+l%2s+2) = О и состоит из алгебр, коммутанты которых принадлежат многообразию Ns. При s = 1 получится уже известное многообразие А2, а если s = 2, то получим многообразие N2А, которое имеет достаточно богатую структуру подмногообразий [13]. Многообразия NSA имеют показательный рост.

Используя технику диаграмм Юнга, СП. Мищенко и В.М. Петроградский в работе [64] доказали, что подмногообразия в NSA над полем характеристики нуль имеют целочисленные экспоненты. Позднее оказалось, что этот результат является верным и в случае, когда основное поле имеет произвольную характеристику [36].

Ассоциативные многообразия почти полиномиального роста

Рассмотрим матрицы второго порядка со следом 0 над основным полем относительно операции коммутирования. Как мы уже говорили, множество этих матриц образует трехмерную простую алгебру Ли, которую обозначим вІ2- Многообразие, порожденное этой алгеброй, в обзоре [28] обозначено Vo- Это обозначение сохраняется и здесь. Напомним, что любое произведение элементов в алгебре Ли равно линейной комбинации произведений с левонормированной расстановкой скобок. Еще вспомним, что характер вполне приводимого модуля Pn(V) можно представить как целочисленную комбинацию неприводимых характеров \х с кратностями шд, где А Ь п -разбиение числа п. Это разложение имеет вид:

Многообразие Vo достаточно хорошо изучено. В работах [38], [39] доказаны следующие утверждения. Утверждение 2.3. Многообразие Vo является шпехтовым. Это значит, что оно само и любое его подмногообразие определяется конечным набором тождеств. Там же получен базис тождеств этого многообразия. Утверждение 2.4. Базис тождеств многообразия Vo состоит из тождественных соотношений В статье [12] получена информация о строении полилинейных частей этого многообразия как модулей симметрических групп. Построены нену левые элементы относительно свободной алгебры многообразия Vo, лине-аризациями которых порождаются неприводимые модули в полилинейной части Pn(Vo). В этой же статье сформулирован результат о кратностях неприводимых характеров в разложении характера -модуля Рп многообразия Vo, который мы представим в виде отдельной теоремы.

В разложении (3) характера полилинейной части Pn(Vo), п 1, для кратностей выполняются следующие равенства: 1, если А = (р + q + г, р + q, р), где р + q ф 0 и q или г нечетное; О, в остальных случаях. Вообще, в классе алгебр Ли существует ровно четыре разрешимых многообразий почти полиномиального роста и найдено одно неразрешимое многообразие почти полиномиального роста, это как раз многообразие Vo. Вопрос о единственности неразрешимого многообразия почти полиномиального роста является интересной и сложной задачей в теории лиевых многообразий. Про числовые характеристики этого многообразия скажем следующее: коразмерность cn(Vo) Зп, то есть вопрос нахождения формулы для коразмерностей остается еще открытым, а экспонента exp(Vo) = 3.

Поясним, что в связи с тем, что тождества, которые выполняются в алгебре вІ2 имеют степень не менее пяти, то модуль Pn(Vo) при п 4 совпадает с соответствующим модулем многообразия всех алгебр Ли и его строение хорошо известно (см., например, [4]), а именно: Xi(Vo) = X(i), X2(Vo) = X(i,i), X3(V0) = Х(2Д), X4(V0) = Х(зд) + Х(2,1,1) Для доказательства основной теоремы этого параграфа нам понадобятся вспомогательные результаты, которые мы сформулируем в виде лемм. Все ниже изложенные результаты принадлежат автору и их доказательство опубликовано в работе [76]. Лемма 2.1. Для кодлин многообразия Vo при п 4 верно следующее соотношение:

Доказательство. С дополнительными условиями на числа p,q,r согласно теореме 2.2 ненулевые кратности многообразия V0 могут быть получены только для диаграмм следующих видов:

Сначала рассмотрим случай, когда диаграмма Юнга состоит из двух строчек, то есть p = 0. Вычислим вклад, который мы обозначим an, в кодлину кратностей, соответствующих разбиению на две части. Пусть степень n делится на 4, то есть n = 2t, где t = 2k. Исходя из теоремы 2.2, кратность здесь может быть равна 0 или 1 в зависимости от значения параметра q

Кратности будут равны 1, 0 .. ., 1, 0 соответственно, а их сумма an = n4. Зафиксируем теперь четную степень n = 2t, но при t = 2k + 1, то есть n = 4k +2. В этом случае кратности будут равны: 1, 0, .. . , 0, 1, а их сумма an = n+4 2.

Зафиксируем нечетную степень n = 2t+1 и изобразим диаграммы Юнга по всем двучленным разбиениям числа n. Здесь r всегда нечетное число, поэтому кратности для всех диаграмм равны 1 и их количество an = n-2 1.

Пусть теперь диаграмма Юнга состоит из трех строчек. Рассмотрим два случая. Сперва разберем случай для следующего разбиения

r q 0 p 2 или случай, когда p = 1, q 1. От диаграмм такого вида будем "отрезать" крайний столбец слева. При этом параметры q и г будут оставаться неизменными. Тогда сумма кратностей шд, соответствующих указанному разбиению, равна кодлине многообразия Vo степени п — 3, то есть /n_3(Vo). Остался лишь один не подходящий нам случай, когда диаграмма Юнга состоит из трех строчек, нор=1, д = 0иг = п- 3. Тогда после удаления левого столбца получим диаграмму в виде одной строчки и соответсвую-щее тождество выполняется в любой алгебре Ли. В этом случае кратность Ш(п_2дд) зависит от четности параметра г. То есть, получится, что если п = 2, то кратность ггі(п_2,і,і) равна 1, если же п = 2t + 1, то кратность Ш(п_2дд) равна 0. Вклад кратностей Ш(п_2дд) в кодлину многообразия Vo обозначим еп. Напомним, что по определению кодлина многообразия равна сумме кратностей по всем разбиениям числа n. Таким образом, кодлина многообразия V0 вычисляется по формуле (4). Лемма 2.1 доказана.

Доказательство. Будем писать просто ln для обозначения кодлины вместо ln(V0). Доказательство проведем методом математической индукции по степени n. Непосредственно с помощью рассмотрений соответствующих диаграмм Юнга и равенств для кратностей проверим выполнимость формулы (5) для n = 5,6,7,8, что и будет составлять базу индукции. Для n = 5 имеем и соотвествующие кратности равны 1, 1, 0, 1. Таким образом, l5 = 3. Рассматривая степень n = 6, построим следующие диаграммы где кратности равны 1, 0, 1, 1, 1, 0 соответственно и тогда l6 = 4. При n = 7 диаграммы Юнга, для которых могут быть получены ненулевые кратности, имеют вид: Кратности для построенных диаграмм равны 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1 соответственно, и поэтому l7 = 5. Для степени n = 8 имеем:

Кодлина многообразия, порожденного простой алгеброй Ли вІ2

Хорошо известно, что любой полилинейный элемент равен линейной комбинации левонормированных мономов с одной и той же образующей, например xn, на первом слева месте, а следовательно, в силу тождества антикоммутативности с одной и той же образующей на втором слева месте. Рассмотрим произвольный такой моном xi1xnxi2 ...xin-1. Если выполняются неравенства i1 n i2 ... in-1, то это моном вида (12). Пусть в мономе xi1xn . . . В этом случае воспользуемся тождеством xyz x(yz) + xzy, которое выполняется в любой алгебре Ли, и получим xi1xn ...xixjxj1 ...xjk xi1xn ...(xixj)xj1 ...xjk + xi1xn ...xjxixj1 ...xjk. Несложная индукция по числу соседних пар образующих, индексы которых возрастают, позволяет установить, что любой моном выражается через элементы вида (12) и элементы вида xi1xn . . . (xixj)xj1 . . . xjk. Заметим, что дифференцируя последний элемент образующими xj1,...,xjk, получаем мономы вида (13), в которых дополнительно можно считать, что вторая слева образующая второго произведения является максимальной, то есть индекс j2 является максимальным среди индексов j1, j2, . . . , jk. Для завершения доказательства, что элементы вида (12) и (13) порождают векторное пространство Pn(N2A), осталось заметить, что в силу тождества (11) образующие xi2, . . . , xin-k-1, так же как и образующие xj3, . . . ,xjk, в мономах вида (13) можно менять местами. Таким образом, получаем необходимые неравенства i1 n i2 ... in-k-1, j1 j2 j3 ... jk.

Итак, пространство Pn(N2A) является линейной оболочкой мономов вида (12) и (13). Докажем теперь, что это множество мономов является линейно независимым. Рассмотрим линейную комбинацию этих элементов и предположим, что она равна 0. Так как в относительно свободной алгебре любое равенство от свободных образующих является тождеством многооб разия, то мы получаем, что в многообразии N2A выполнено тождество где коэффициенты во второй сумме зависят от индексов ii, ji и множеств

Если существует ii такой, что a Ф 0, то подставив в (14) вместо образующей ХІХ образующую ж, а вместо остальных образующих - у, получим в качестве следствия тождество энгелевости xYn l = 0. Получили противоречие, так как в силу теоремы 2.4 кратность Ш(п_ід) отлична от нуля. Таким образом, тождество (14) приобретает вид в котором хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Переобозначим образующие (в частности, хп = ж, Xj2 = у) так, чтобы слагаемое с отличным от нуля коэффициентом имело вид:

Мы еще воспользовались антикоммутативностью и переставили первые пары в каждой скобке. В полученное тождество вместо образующей х подставим Z\Z2X\... Хк-1, а вместо образующей у подставим Проальтернируем по парам образующих xs,yS, где s = 1,2,... ,п — 2. В силу тождеств (11) после произведенной подстановки и альтернирований все остальные слагаемые станут равны нулю, останется только выделенное слагаемое и полученное следствие примет вид

Получили противоречие, так как это тождество не выполняется в многообразии N2А, иначе бы, например, кратность ГП(Р ) при нечетном р 2 была бы равна 0, а не 1, как было установлено в теореме 2.4. Итак, все элементы вида (12) и (13) линейно независимы и образуют базис пространства Pn(N2A). Понятно, что количество элементов вида (12) равно п — 1. Элементы вида (13) зависят от выбора индексов ji,...,jk, а также от выбора ii, j\. Простые комбинаторные соображения позволяют выписать такую формулу для коразмерностей

Подставляя равенства из утверждения 2.6, придем к выводу, что при п 2 коразмерность многообразия задается формулой Например, возьмем определенный моном и представим его в виде суммы базисных элементов, пользуясь основными тождествами, определяющими многообразие N2A:

Очевидно, что полученное представление монома соответствует требованиям, заявленным в формулировке теоремы к индексам образующих. Глава 3. Многообразия почти полиномиального роста. Случай многообразий алгебр Лейбница

Данная глава посвящена исследованию свойств многообразий алгебр Лейбница, имеющих почти полиномиальный рост, над основным полем характеристики нуль. Мы продолжаем опускать скобки в случае левонорми-рованного произведения, то есть (ab)c = abc.

В настоящее время в классе алгебр Лейбница известны девять примеров многообразий почти полиномиального роста. В связи с тем, что всякая алгебра Ли это алгебра Лейбница, то такими многообразиями являются многообразия Vo, Vi, V2, V3, V4, описанные во второй главе. Кроме того, такими являются еще четыре разрешимых многообразия алгебр Лейбница. Обозначим их Vi, V2, V3, V4, так как по своим свойствам они похожи на соответствующие лиевы многообразия. В первом разделе главы три мы как раз озвучим основные характеристики каждого из них. Также мы сформулируем известные условия, при которых рост многообразий алгебр Лейбница полиномиален над основным полем.

Под правилом дифференцирования в классе алгебр Лейбница понимается использование тождества Лейбница (16), согласно которому линейный оператор умножения справа на фиксированный элемент является дифференцированием алгебры.

Вероятно, что класс алгебр Лейбница впервые был упомянут А.М. Бло-хом в работе [6] в 1965 году под названием D-алгебры с целью обобщить понятие алгебр Ли. В 1993 году эти алгебры были переоткрыты французским математиком Ж.-Л. Лодеем [59] под названием алгебр Лейбница. Для того чтобы обобщить необходимые приложения лиевых алгебр с такими разделами, как алгебраическая K-теория, классическая алгебраическая топология, дифференциальная геометрия и т. д. для непосредственной связи возникли эти алгебры. В "Encyclopaedia of Mathematics" можно заметить, что вместо термина "алгебра Лейбница" есть определение "алгебр Лодея". Термин "алгебра Лейбница" возник в качестве неантикоммутатив-ных аналогов алгебры Ли и мы будем придерживаться именно его. Алгебры Лейбница исследовались также в работах Д. Квиллена, Т. Пирашвили, У. Умирбаева, А. Абдыхалыкова, А.А. Михалева, В. Дренски, П.С. Колесникова. В случае алгебр Лейбница является верным следующее утверждение.

Действительно, из тождества Якоби xyz + yzx + zxy = 0 следует тождество xyz = —zxy — yzx. Пользуясь тождеством антикоммутативности ху + ух = 0, получаем, что в L выполняется тождество Лейбница. Но если рассмотреть, например, двумерную алгебру, базис которой { 2,&}, а умножение удовлетворяет правилам аа = Ъ аЪ = Ъа = ЪЪ = 0, то можно убедиться, что она является алгеброй Лейбница, но не алгеброй Ли. Значит, обратное не верно - не всякая алгебра Лейбница это алгебра Ли. В случае, если алгебра Лейбница удовлетворяет тождеству антикоммутативности, то есть хх = 0, то она является алгеброй Ли.

Новые свойства многообразия алгебр Лейбница Vi

Вероятно, что класс алгебр Лейбница впервые был упомянут А.М. Бло-хом в работе [6] в 1965 году под названием D-алгебры с целью обобщить понятие алгебр Ли. В 1993 году эти алгебры были переоткрыты французским математиком Ж.-Л. Лодеем [59] под названием алгебр Лейбница. Для того чтобы обобщить необходимые приложения лиевых алгебр с такими разделами, как алгебраическая K-теория, классическая алгебраическая топология, дифференциальная геометрия и т. д. для непосредственной связи возникли эти алгебры. В "Encyclopaedia of Mathematics" можно заметить, что вместо термина "алгебра Лейбница" есть определение "алгебр Лодея". Термин "алгебра Лейбница" возник в качестве неантикоммутатив-ных аналогов алгебры Ли и мы будем придерживаться именно его. Алгебры Лейбница исследовались также в работах Д. Квиллена, Т. Пирашвили, У. Умирбаева, А. Абдыхалыкова, А.А. Михалева, В. Дренски, П.С. Колесникова. В случае алгебр Лейбница является верным следующее утверждение.

Действительно, из тождества Якоби xyz + yzx + zxy = 0 следует тождество xyz = —zxy — yzx. Пользуясь тождеством антикоммутативности ху + ух = 0, получаем, что в L выполняется тождество Лейбница. Но если рассмотреть, например, двумерную алгебру, базис которой { 2,&}, а умножение удовлетворяет правилам аа = Ъ аЪ = Ъа = ЪЪ = 0, то можно убедиться, что она является алгеброй Лейбница, но не алгеброй Ли. Значит, обратное не верно - не всякая алгебра Лейбница это алгебра Ли. В случае, если алгебра Лейбница удовлетворяет тождеству антикоммутативности, то есть хх = 0, то она является алгеброй Ли.

Пусть Ф(Х) - линейная алгебра, где X = {жі,Ж2,...} - множество свободных образующих. Рассмотрим некий гомоморфизм, действующий из алгебры Ф(Х) в какую-нибудь лейбницеву алгебру. Все элементы (xy)z — (xz)y — x(yz), где x,y,z Є Ф( 0, при этом гомоморфизме переходят в нуль. В Ф(Х) существует наименьший идеал /, который содержит все перечисленные элементы. Свободную алгебру Лейбница образует факторалгебра L(X) = Ф(Х)/1 с множеством свободных образующих X. Свободные алгебры Лейбница были описаны Ж.-Л. Лодеем и Т. Пирашвили [58] с комбинаторной точки зрения. А.А. Михалевым и У.У. Умирбаевым в статье [61] доказана финитная отделимость подалгебр свободных алгебр Лейбница, а в работе Дренски В.С. и Пиацентини Каттанео Г.М. [14] было начато систематическое изучение полиномиальных тождеств алгебр Лейбница. Джумальдидаев А.С. [50] нашел тождества для важных классов алгебр, в частности, для алгебр Лейбница, относительно коммутатора и антикоммутатора. Оказалось, что эти алгебры имеют интересные тождества степеней 3, 4 и 5.

Опишем построение необходимой нам в дальнейшем свободной алгебры Лейбница, сформулировав предложение, доказательство которого можно найти, например, в работе [1].

Предложение 3.1. Рассмотрим алгебру Ли L\ и алгебру с нулевым умножением L2 (здесь для всех 2/1, 2/2 - 2 верно у\У2 = 0). Если L2 - это Li-модуль, то рассмотрим прямую сумму векторных пространств L\ и L2, а умножение следующее [Х\ + У\){Х2 + I/2) = Х\Х2 + У\Х 1, где Х\ Х2 Є Li, У11У2 Є L i. Так построенная алгебра есть ни что иное, как алгебра Лейбница. 2. Многообразия алгебр Лейбница почти полиномиального роста

В классе лейбницевых многообразий алгебр, кроме многообразий алгебр Ли, рост которых почти полиномиален, построены еще четыре многообразия такого роста Vi, V2, V3, V4, которые по своим свойствам схожи с лиевыми. Расскажем о каждом из них поподробнее.

Многообразие Vi построено в работе СП. Мищенко и А. Валенти [65]. Это многообразие определяется тождеством и оно является аналогом многообразия алгебр Ли N2А = Vi. Пусть eij - матричные единички, а IJT = 11Т2(Ф) = Феи + Феи + Фе22 ассоциативная алгебра верхнетреугольных матриц размером 2x2 над полем нулевой характеристики Ф. Введем обозначение через UT2 для алгебр тех же матриц только относительно другого умножения, когда результат произведения двух матриц равен нулю, то есть для любых а, а Є UT2 произведение а а! = 0. Рассмотрим теперь В работе [65] сказано, что алгебра U является алгеброй Лейбница, которая порождает многообразие Vi. Этому многообразию будет посвящен следующий параграф данной главы.

Следующее многообразие V2 представлено в работе [1] и его свойства близки к свойствам многообразия алгебр Ли VV Это многообразие по рождается алгеброй следующего вида. Пусть G0 бесконечномерная алгебра Грассмана с нулевым умножением. Рассмотрим прямую сумму векторных пространств G and G и определим произведение (д + ?i)( ?2 + #2) = І9і92)0 + [ ?і, до\ , где [д\, д 2\ — это коммутатор в ассоциативной алгебре Грассмана. Рассмотрим разложение n-го кохарактера многообразия V2 в целочисленную комбинацию неприводимых характеров \х с кратностями т\ для всех п 4, где А Ь п — разбиение числа п СМ. Рацеев и Л.Е. Абанина в работе [3] показали, что наименьшее многообразие лейбницевых алгебр, где не имеется ни одного стандартного тождества, - это многообразие VV Переформулируем это утверждение, сказав, что следующие два условия эквивалентны: где (—1)р - четность перестановки р, а Sm - симметрическая группа степени т. Напомним, что в случае ассоциативных алгебр и алгебр Лейбница стандартным тождеством степени т называется тождество вида

Многообразия V3 и V4 определены в статье [2]. Пусть кольцо многочленов R[t] рассматривается как алгебра Лейбница, где умножение нулевое. Пусть алгебра R - это правый Аз-модуль алгебры Гейзенберга Аз с действиями: где штрих над многочленом обозначает взятие производной. Убедимся в том, что алгебра R на самом деле является правым Аз-модулем при заданных условиях по определению. Алгебра Гейзенберга имеет базис {а, 6, с}, а ее таблица умножения приведена в пункте 2.1.2.

В работе [43] сформулированы и доказаны условия полиномиальности роста многообразий лейбницевых алгебр, используя "язык" диаграмм Юнга в случае основного поля характеристики нуль. Предложение 3.2. Рост многообразия алгебр Лейбница V полиномиален при нулевой характеристике поля в том и только в том случае, если найдется натуральное число т, такое что т\ = 0 в сумме Xn(V) = ЕАЬП АХА тогда, когда выполняется условие п — \\ т.

В работе [40] получен следующий результат. Предложение 3.3. Рост многообразия алгебр Лейбница V полиномиален в том и только в том случае, если найдется постоянная С = C(V), такая что для всякого п, лишь диаграммам Юнга n-й степени, у которых не больше С клеток содержится вне первой строки, соответствуют ненулевые неприводимые б -модули из представления Pn(V).

Вспомним, что рост многообразия V называется почти полиномиальным, если всякое его собственное подмногобразие полиномиального роста последовательности коразмерностей, а само многообразие V не полиномиально. Известным является факт, что в классе лейбницевых многообразий, где для какого-то s выполнятся тождество существуют всего два многообразия, имеющие почти полиномиальный рост: многообразие N2A алгебр Ли, которое мы подробно описали в третьем параграфе второй главы, а также многообразие алгебр Лейбница, где имеет место тождество Хо{х\Х2){х?,Х \) = 0.

Работа [65] посвящена ему, и мы про него уже вспоминали, сохранив обозначение из упомянутой работы, Vi. Рост этих многообразий экспоненциален. Аналогичные условия полиномиальности роста в классе лиевых многообразий [29] имеют вид N2A f_ V С NSA. В работе [35] СП. Мищенко и О.И. Череватенко сформулировали и доказали необходимость и достаточность для полиномиального роста алгебр Лейбница над основным полем характеристики нуль. Но перед тем как сформулировать его договоримся в обозначении многообразий алгебр Ли и Лейбница, в которых выполняются одинаковые тождества, рисовать волну. Так для примера, многообразие алгебр Ли с нильпотентным коммутантом ступени не выше s, определяющееся тождеством будем обозначать NSA, а многообразие лейбницевых алгебр, определяющееся похожим тождеством - NSA. Очевидно, что NSA С NSA.