Частичные n-арные группоиды с условиями на конгруэнции Решетников Артём Владимирович

Содержание к диссертации

Введение

1 Универсальные алгебры, у которых все отношения эквивалентности являются конгруэнциями 18

1.1 Унарные алгебры U с условием Con U = Eq U 20

1.2 Группоиды G с условием RConG = EqG 21

1.3 Группоиды G с условием ConG = EqG 22

1.4 Универсальные алгебры А с условием Con А = Eq А 23

1.5 Свойства а-группоидов 25

1.6 Свойства а-группоидов (продолжение) 42

1.7 Группоиды G с условием RConG U LConG = EqG 43

2 О конгруэнциях частичных универсальных алгебр 46

2.1 Свойства решёток Con A, i?jConG, QConG 49

2.2 Частичные унарные алгебры А с условием Con А = EqA 54

2.3 Частичные п-арные группоиды G с условием i Con G = Eq G 56

2.4 Квазиполные алгебры А с условием Con А = EqA 58

2.5 О частичных п-арных группоидах G с условием QConG =

3 К вопросу об альтернативном определении понятия ассоциативности 67

3.1 Свойства решётки Д/ConG 68

3.2 гг-арные группоиды G с условием Plii?iConG = EqG 70

3.3 Об гг-арных группоидах G с условием UiRiConG = EqG 71

3.4 R-, L-, Ry L-полугруппы и полугруппы, близкие к ним 75

3.5 Об альтернативном определении понятия ассоциативности

Литература

• Группоиды G с условием ConG = EqG
• Свойства а-группоидов (продолжение)
• Частичные унарные алгебры А с условием Con А = EqA
• Об гг-арных группоидах G с условием UiRiConG = EqG

Введение к работе

Актуальность исследования. Конгруэнциям универсальных алгебр посвящено значительное число работ, как оригинальных, так и обзорных. Хорошо известно, что конгруэнции универсальной алгебры образуют решётку. А. Г. Пинусом¹ изучалась связь между универсальными алгебрами на одном и том же множестве с разными сигнатурами, но одинаковыми решётками конгруэнций. В. А. Щербаковым, А. Х. Табаро-вым и Д. И. Пушкашу² исследовались связи свойств конгруэнций группоидов и, в частности, квазигрупп со свойствами самого группоида (например, правой или левой сократимостью). А. В. Карташова³ провела обзор результатов по конгруэнциям унарных алгебр; также конгруэнциям унарных алгебр посвящена диссертация В. Дж. ДеМео⁴, особое внимание в которой уделено проблеме вложимости конечной решётки в решётку конгруэнций конечной алгебры. Проблеме вложимости алгебраической решётки в решётку конгруэнций группоида посвящена работа В. А. Лампе⁵. Конгруэнции полугрупп изучались в статье К. Ауингера⁶, совместной статье Н. Кехайопулу и М. Цинге-лиса⁷ и во многих других работах. В обзорных статьях Х. Митча⁸'⁹ большое внимание уделено вопросу о том, как связаны строение полугруппы и строение её решётки конгруэнций. Р. Фризом и Дж. Б. Нейшном¹⁰ выявлены некоторые свойства абстрактного класса решёток, изоморфных решёткам конгруэнций полурешёток. Конгруэнции универсальных алгебр разных типов изучались в работах М. В. Лоусона¹¹, Р. Фриза, В. А. Лампе, В. Тейлора¹², Дж. Плонки¹³.

В алгебрах с бинарной операцией (группоидах) наряду с решёткой конгруэнций часто рассматриваются решётка правых и решётка левых конгруэнций. Каждая из этих решёток несёт гораздо более значительную информацию об алгебре, чем решётка обычных (двусторонних) конгруэнций. Например, если решётка правых (или левых) конгруэнций полугруппы конечна, то сама полугруппа конечна (это следует из теоре-

¹ Пипус А. Г. Об универсальных алгебрах с идентичными производными объектами (конгруэнция-
ми, алгебраическими множествами) // Сиб. электрон. матем. изв. T. 11. 2014. С. 752 - 758.

² Щербаков В. А, Табаров А. X, Пушкашу Д. И. О конгруэнциях группоидов, тесно связанных с ква
зигруппами. // Фундамент. и прикл. матем. Т. 14, №5. 2008. С. 237 - 251.

³ Карташова А. В. О решетках конгруэнций и топологий унарных алгебр // Чебышевский сб. Т. 12,
вып. 2. 2011. С. 27 - 33.

⁴ William J. DeMeo. Congruence lattices of finite algebras. - 2012. - 114 p.

⁵Lampe W. A. Congruence lattices of algebras of fixed similarity type, II. // Pacific J. Math. Vol. 103, no. 2. 1982. P. 475 - 508.

⁶AuingerK. The congruence lattice of a strict regular semigroup. // Journal of Pure and Applied Algebra. V. 81, issue 3. 7 September 1992. P. 219 - 245.

KehayopuluN., Tsingelis M. g-Congruences on Semigroups, Ordered Semigroups. // International J. of Algebra. Vol. 5, no. 24. 2011. P. 1189 - 1194.

⁸MitschH. Semigroups and their lattice congruences. // Semigroup Forum. V. 26, №1 - 2. 1983. P. 1 – 64.

⁹MitschH. Semigroups and their lattice congruences II. // Semigroup Forum. V. 54, Issue 1. 1997. P. 1

- 42.

¹⁰Freese R., Nation J. B. Congruence Lattices of Semilattices. // Pacific J. of Math. Vol. 49, no. 1. 1973. P. 51 - 58.

¹¹ Lawson M. V. Congruences on ordered groupoids. // Semigroup Forum. Volume 47, Issue 1. 1993. P. 150

- 167.

¹²Freese R., Lampe W. A., Taylor W. Congruence lattices of algebras of fixed similarity type, I. // Pacific J. Math. Vol. 82, no. 1. 1979. P. 59 - 68.

¹³ Plonka J. On lattices of congruences of relational systems and universal algebras. // Algebra Universalis. Volume 13, Issue 1. 1981. P. 82 - 88.

мы 9 работы Э. Хотцеля¹⁴). С односторонними конгруэнциям полугрупп приходится иметь дело в теории полигонов над полугруппами (автоматов)¹⁵. И. Б. Кожуховым¹⁶ были описаны полугруппы, у которых левые конгруэнции образуют цепь. Некоторые классы полугрупп с условиями минимальности или максимальности на правые (левые) конгруэнции были описаны в уже упомянутой статье Э. Хотцеля и в работе И. Б. Кожухова¹⁷.

Большой интерес алгебраистов занимали так называемые простые алгебры, точнее, конгруэнц-простые, т.е. универсальные алгебры А, у которых решётка конгруэнций Con А удовлетворяет условию Con А = {A, v}, где А = {(а,а)\а Є А} - отношение равенства на А, а \/ = А х А - универсальное отношение. К этому направлению относятся, в частности, теории простых групп, простых колец и модулей, простых и 0-простых полугрупп. Немало интересных результатов по данному направлению исследований можно найти в обзорной статье В. А. Артамонова¹⁸.

Но в истории развития науки известно немало примеров, когда для объектов, в некотором смысле противоположных хорошо изученным или активно изучаемым, ставилась проблема их изучения. Например, в статье Ф. Галвина и А. Хорна¹⁹ изучались универсальные алгебры с условием Con А = EqA (здесь EqA - решётка отношений эквивалентности на А). Такие алгебры как бы противоположны конгруэнц-простым алгебрам. В статье Л. Н. Шеврина²⁰ (2, п.2.3, стр. 50) дано описание полугрупп, у которых любое непустое подмножество является подполугруппой - такие полугруппы в некотором смысле противоположны простым полугруппам. Поэтому схожие вопросы являются актуальными: для каких группоидов каждое отношение эквивалентности является односторонней конгруэнцией? Какие из этих группоидов являются полугруппами? Ранее в общей алгебре исследования в этом направлении не проводились.

Более общим понятием, чем универсальная алгебра, является понятие частичной универсальной алгебры, т.е. множества с частичными операциями, не обязательно одной и той же арности (см. главу 2 монографии Г. Гретцера²¹ и монографию Е. С. Ля-пина и А.Е.Евсеева²²). Напомним, что частичную операцию на множестве А можно определить как отображение некоторого подмножества множества Аⁿ в множество А. Обычные (не частичные) алгебры мы далее называем полными.

Конгруэнции частичных универсальных алгебр, по-видимому, впервые были рас-

¹⁴HotzelE. On finiteness conditions in semigroups. // J. Algebra. V. 60. 1979. P. 352 - 370.

¹⁵Lallement G. Semigroups and combinatorial applications. - New York: Wiley. - 1979. - 376 p. [Русский перевод: ЛаллеманЖ.. Полугруппы и комбинаторные приложения. - М.: Мир. - 1985. - 440 с]

¹⁶KozhukhovI. В. Left chain semigroups. // Semigroup Forum. V. 22. 1981. P. 1 - 8.

¹⁷Kozhukhov I. B. On semigroups with minimal or maximal condition on left congruences. // Semigroup Forum. V. 21. 1980. P. 337 - 350.

¹⁸ Артамонов В. А. Универсальные алгебры. // Артамонов В. А., СалийВ. Н., Скорняков Л. А. и др.
Под общ. ред. СкорняковаЛ. А. Обшая алгебра. - М.: Наука, Физматлит. - 1991. - Т. 2. СМБ. - С. 295
- 367.

¹⁹ GalvinF., Horn A. Operations preserving all equivalence relations. // Proc. Amer. Math. Soc. Vol. 24,
no. 3. 1970. P. 521 - 523.

²⁰Шеврин Л. H. Полугруппы. // Артамонов В. А., СалийВ. Н., Скорняков Л. А. и др. Под общ. ред. СкорняковаЛ. А. Обшая алгебра. - М.: Наука, Физматлит. - 1991. - Т. 2. СМБ. - С. 11 - 191.

²¹ GratzerG. Universal algebra. Second Edition. - Springer Science + Business Media, LLC. - 2008, 2nd ed. with updates. - 1979, Second Edition. - 586 p.

²²Ляпин E. С, Евсеев A. E. Частичные алгебраические действия. - С.-Петербург, Росс. гос. пед. ун-т им. А.И.Герцена: Образование. - 1991. - 163 с.

смотрены Г.Гретцером и Е.Т.Шмидтом²³. В той же работе было установлено, что конгруэнции частичной универсальной алгебры A всегда образуют алгебраическую решётку (то есть решётку, каждый элемент которой является точной верхней гранью некоторого множества компактных элементов). Определение конгруэнции частичной алгебры подробно обсуждается в одной из последующих работ Г.Гретцера, совместной с Г.Х.Венцелем²⁴: она целиком посвящена конгруэнциям частичных алгебр. Доказано, что любая алгебраическая решётка изоморфна решётке конгруэнций некоторой полной универсальной алгебры²⁵, а также решётке конгруэнцией некоторой частичной универсальной алгебры, все операции которой являются унарными²⁶. Легко проверить, что решётка конгруэнций частичной алгебры не обязательно является подрешёткой решётки отношений эквивалентности на A.

Частичным алгебрам и их конгруэнциям посвящены работы П.Бурмейстера²⁷, А.Х.Клиффорда и Т.Е.Холла²⁸, И.Флейшера²⁹, В.Т.Кулика^30,31, Ф.Пастейна³², Р.Х.Шелпа³³, И.Хайды и М.Коларжика³⁴. Вопросы переноса различных результатов с полных универсальных алгебр на частичные весьма актуальны в современной алгебре. Особое место в теории частичных универсальных алгебр занимают вопросы продолжаемости частичных операций до полных (например, см. статьи Е.С.Ляпина³⁵, Т.В.Апраксиной и М.Ю.Максимовского³⁶, А.О.Петрикова³⁷).

Также одним из важнейших направлений современной алгебры является перенос различных результатов с бинарных группоидов (в частности, групп, полугрупп, квазигрупп) на универсальные алгебры с одной операцией арности n – мы их называем n-арными группоидами, в некоторых работах они называются n-группоидами или n-²³Gratzer G., Schmidt E. T. Characterizations of congruence lattices of abstract algebras. // Acta Sci. Math. (Szeged). Vol.24, №3. 1963. P. 34 – 59.

²⁴Gratzer G., WenzelG.H. On the concept of congruence relation in partial algebras. // Math. Scand. Vol. 20. 1967. P. 275 – 280.

²⁵GratzerG. Universal algebra. Second Edition. 18, theorem 3. – Springer Science + Business Media, LLC. – 2008, 2nd ed. with updates. – 1979, Second Edition. – 586 p.

²⁶Там же, 18, theorem 1.

²⁷Burmeister P. Free partial algebras. // J. Reine Angew. Math. Volume 1970, issue 241. January 1970. P. 75 – 86.

²⁸Clifford A. H., Hall T. E. A characterisation of R-classes of semigroups as a partial groupoids. // Semigroup Forum. Volume 6. 1973. P. 246 – 254.

²⁹FleischerI. On extending congruences from partial algebras. // Fund. math. Volume 88. 1975. P. 11 – 16.

³⁰КуликВ.Т. О наибольших сильных отношениях конгруэнтности частичных универсальных алгебр. // Исследования по алгебре. Саратов: изд. Саратовского ун-та. 1970. С. 40 – 46.

³¹КуликВ.Т. О решётках сильных отношений конгруэнтности полугруппоидов. // Упорядоченные множества и решётки. Вып. 2. Саратов: изд. Саратов. ун-та. 1974. С. 42 – 50.

³²Pastijn F. A generalization of Green’s equivalence relations for halfgroupoids. // Simon Stevin. Volume 49. 1976 P. 165 – 175.

³³SchelpR. H. A partial semigroup approach to partially ordered sets. // Proc. London Math. Soc. Volume 24. 1972. P. 46 – 58.

³⁴ChajdaI, KolarikM. Very true operators in effect algebras. // Soft Computing. Volume 16, Issue 7. July 2012. P. 1213 – 1218.

³⁵ЛяпинЕ.С. Внутреннее полугрупповое продолжение некоторых полугрупповых амальгам. // Известия вузов. Матем. №11. 1993. С. 20 – 26.

³⁶АпраксинаТ.В., МаксимовскийМ.Ю. Полигоны и частичные полигоны над полурешётками. // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 12, вып. 1. 2012. С. 3 – 7.

³⁷ПетриковА. О. Частичные полугруппы и отношения Грина. // Электр. информ. сист. №3(3). 2014. С. 65 – 72.

оперативами. Например, Н. А. Щучкин³⁸ показал, что любая конечная абелева гг-арная группа представима в виде прямого произведения примарных абелевых полуциклических гг-арных групп, что обобщает известную теорему о строении обычных (бинарных) конечных абелевых групп.

Важно, что при переходе от некоторого класса К алгебраических систем к более широкому классу К¹ одно и то же понятие может быть перенесено с К на К' различными неэквивалентными способами. Например, старинное понятие ортогональности латинских квадратов, относящееся с точки зрения современной математики к теории квазигрупп, было перенесено на гг-арные квазигруппы; причём было предложено два неэквивалентных определения: Г. Б. Белявская и Г. Л. Маллен³⁹ изучали в своей работе ортогональные п-арные квазигруппы, а спустя некоторое время Ф. М. Сохацкий и И. В. Фриз⁴⁰ ввели для гг-арных квазигрупп понятие перпендикулярности, также обобщающее ортогональность латинских квадратов, но не совпадающее в п-арном случае с понятием ортогональности.

Поэтому понятие ассоциативности также можно перенести с бинарных операций на гг-арные различными способами. Классическое определение гг-арной ассоциативности зародилось в исследованиях Э. Казнера (согласно бюллетеню Л. Г. Вельда⁴¹), Х. Прю-фера⁴², В. Дёрнте⁴³ (в своей статье он также упоминает Э.Нётер), Э. Л. Поста⁴⁴ и в настоящее время прочно вошло в общую алгебру. Универсальные алгебры с одной гг-арной ассоциативной операцией в различных работах называются гг-арными полугруппами, гг-полугруппами, или гг-ассоциативами. В связи с вышесказанным исследования п-арных группоидов, которые по тем или иным причинам кажутся похожими на полугруппы, но при этом не являются п-арными полугруппами, представляются актуальными.

Объектом исследования в работе являются решётки конгруэнций частичных универсальных алгебр и решётки Д^-конгруэнций частичных гг-арных группоидов.

Предметом исследования является строение частичных и полных универсальных алгебр, у которых решётка отношений эквивалентности совпадает с решёткой конгруэнций, частичных и полных п-арных группоидов, у которых для некоторого фиксированного значения г решётка отношений эквивалентности совпадает с решёткой Д^-конгруэнций, строение полугрупп с аналогичными ограничениями на решётку отношений эквивалентности, а также строение полугрупп и п-арных группоидов, у которых каждое отношение эквивалентности является односторонней конгруэнцией.

Цель работы. Целью данной диссертационной работы является изучение связей решёток конгруэнций (частичных) универсальных алгебр и решёток односторонних

³⁸ЩучкинН. А. Строение конечных абелевых n-арных групп. // Дискрет. матем. Т. 26, вып. 3. 2014. С. 144 - 159.

³⁹Belyavskaya G. В., Mullen G. L. Orthogonal hypercubes and n-ary operations. // Quasigroups and Related Systems. Vol. 13, no. 1. 2005. P. 73 - 86.

⁴⁰Sokhatsky F. M., Fryzl. V. Invertibility criterion of composition of two multiary quasigroups. // Commentat. Math. Univ. Carolin. Vol. 53, no. 3. 2012. P. 429-445.

⁴¹ WeldL. G. The fifty-third annual meeting of the American Association for the Advancement of Science. // Bull. Amer. Math. Soc. V. 10. 1904. P. 290 - 291.

⁴²PriiferH. Theorie der Abelschen Gruppen. I. Grundeigenschaften. // Math. Z. Bd. 20. 1924. S. 165 -187.

⁴³Dornte W. Unterschungen uber einen verallgemeinerten Gruppenbegriff. // Math. Z. Bd 29. 1929. S. 1 - 19.

⁴⁴Post E. L. Poliadic groups. // Trans. Amer. Math. Soc. V. 48, № 2. 1940. P. 208 - 350.

конгруэнций (частичных) гг-арных группоидов с (частичными) операциями самой (частичной) алгебры или (частичного) гг-арного группоида.

Задачи исследования. В диссертационной работе были решены следующие задачи.

1. Пусть G - группоид, содержащий не менее четырёх элементов, у которого каждое отношение эквивалентности является односторонней конгруэнцией. Доказать, что в этом случае либо все отношения эквивалентности на G являются правыми конгруэнциями, либо все они - левые конгруэнции.

2. Характеристика универсальных алгебр, у которых каждое отношение эквивалентности является конгруэнцией, изветна. Найти как можно более широкий класс частичных алгебр, для которых аналогичная характеристика оставалась бы справедливой.

3. Выяснить, существуют ли п-арные группоиды G при п > 3, содержащие не менее четырёх элементов, такие, что каждое отношение эквивалентности на G является его односторонней конгруэнцией, но но при этом ни для какого значения г решётка отношений эквивалентности на G не совпадает с его решёткой Д^-конгруэнций.

Научная новизна В ходе выполнения диссертационной работы получен ряд новых научных результатов:

1. найдены необходимые и достаточные условия того, что каждое отношение эквивалентности группоида является его односторонней конгруэнцией;

2. получена характеристика частичных универсальные алгебр А, у которых любое отношение эквивалентности является конгруэнцией, при дополнительном условии на А, названном в диссертации квазиполнотой;

3. построены примеры п-арных группоидов G, содержащих не менее четырёх элементов, у которых каждое отношение эквивалентности является односторонней конгруэнцией, а решётка отношений эквивалентности ни при каком значении г не совпадает с решёткой Д^-конгруэнций на G.

Положения, выносимые на защиту.

1. Доказано, что для группоида G, содержащего хотя бы 4 элемента, каждое отношение эквивалентности на G является правой или левой конгруэнцией тогда и только тогда, когда либо все отношения эквивалентности на G являются правыми конгруэнциями, либо все они являются левыми конгруэнциями;

2. Доказано, что для частичной универсальной алгебры А с набором частичных операций Е, удовлетворяющей условию «для любой частичной операции / Є Е (обозначим её арность через п), для любого индекса к, для любых элементов х\, ..., Xk-\,Xk+\, ..., х_п Є А, значение f(x\, ..., Xk-\,y, Xk+i, ..., х_п) определено по крайней мере для трёх различных значений у» (это условие названо в диссертации квазиполнотой), если каждое отношение эквивалентности на А является конгруэнцией, то каждая частичная операция / Є Е является либо константой, либо проекцией;

3. Доказано, что для любого п > 3 существуют п-арные группоиды G, содержащие ровно 4 элемента, у которых каждое отношение эквивалентности является односторонней конгруэнцией, но при этом ни для какого знчения г решётка отношений эквивалентности не совпадает с решёткой Д^-конгруэнций.

Достоверность результатов исследований. Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, определяется обоснованными теоретическими выкладками и строгими математическими доказательствами.

Апробация работы. Основные теоремы были представлены и обсуждались на семинаре «Кольца, модули и матрицы» кафедры высшей алгебры механико-тематического факультета МГУ, на семинаре «Алгебраические системы» кафедры алгебры и дискретной математики Уральского федерального университета. Кроме того, многие результаты диссертации были изложены в докладах во время выступлений на следующих научных конференциях:

1. на 16-й Всероссийской межвузовской научно-технической конференции студентов и аспирантов «Микроэлектроника и информатика - 2009». Москва, МИЭТ, 2009;

2. на VII Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвящённой памяти профессора А.А.Карацубы. Тула, ТГПУ им. Л.Н.Толстого 2010;

3. на Всероссийской конференции, посвящённой 110-летию математического факультета МПГУ. Москва, МПГУ, 2011;

4. на 8-й Международной алгебраической конференции на Украине, посвящённой памяти профессора В.М.Усенко. Луганск, 2011;

5. на Международной математической конференции по случаю 70-летия профессора В.В.Кириченко. Николаев, Украина, 2012;

6. на VIII Международной конференции, посвящённой 190-летию проф. П. Л. Чебышева и 120-летию проф. И.М.Виноградова. Саратов, 2013;

7. на Международном симпозиуме «Абелевы группы», посвящённом 100-летию со дня рождения проф. Л. Я. Куликова. Москва, МПГУ, 2014;

8. на Международной конференции «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения», посвящённой 85-летию со дня рождения профессора С. С. Рышкова. Тула, ТПГУ, 2015;

9. на Междунродной конференции «Математика и информатика». Москва, МПГУ, 2016;

10) на VII Международной научно-технической конференции «Информатика, управляющие системы, математическое и компьютерное моделирование». Донецк, ДонНТУ, 2016.

Личный вклад автора. Постановка задач выполнена совместно с научным руководителем. Доказательства утверждений, выносимых на защиту, получены лично автором. Публикации выполнены автором самостоятельно (кроме совместной с научным руководителем статьи [1], в которой автору диссертации принадлежит не менее 50% результатов).

Методы исследования. В работе использованы методы универсальной алгебры, теории решёток, алгебраической теории полугрупп.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения частичных универсальных алгебр, а также в образовательном процессе при чтении спецкурсов.

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 19 научных работ, из них 4 статьи - в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 69 наименований. Общий объем диссертации составляет 96 страниц, основной текст диссертации изложен на 71 странице.

Группоиды G с условием ConG = EqG

Изучение универсальных алгебр, у которых все отношения эквивалентности являются конгруэнциями1, начнём с частного случая унарных алгебр. По определению, унарной универсальной алгеброй называется множество с набором унарных операций. Унарные алгебры U с условием Con U = Eq U характеризуются следующей леммой (она является частным случаем теоремы 1.6, которая будет доказана позже для произвольных универсальных алгебр):

Лемма 1.1. Пусть U - унарная универсальная алгебра с набором операций Е. Все отношения эквивалентности на алгебре U являются её конгруэнциями в том и только том случае, если выполняется хотя бы одно из следующих условий: (i) \U\ 2; (ii) любая операция / Є Е является константой или тождественным отображением.

Доказательство. Достаточность любого из условий (i), (ii) очевидна. Докажем необходимость. Пусть \U\ 2и/єЕ-не константа. Тогда f(a) ф f{b) при некоторых а,Ь Є U. Так как рау, - конгруэнция иа/6, то {/(а),/(&)} = {а,Ь}. Могут представиться два случая, разберём их. 1-й случай: f(a) = b,f(b) = а. Так как \U\ 3, то существует элемент с ф а,Ь. Если /(с) ф Ь, то ввиду соотношений /(а) ф /(с) и {/(а))/(с)} Ф {а)с} мы получаем, что ра с не является конгруэнцией, а это противоречит условию леммы. Если же /(с) = 6, то аналогичным образом мы получаем, что рь с не является конгруэнцией. Полученное противоречие показывает, что 1-й случай невозможен. 2-й случай: f(a) = a, /(b) = Ь. Пусть с - произвольный элемент из U. Докажем, что /(с) = с. Пусть /(с) ф с. Если /(с) = а, то рь,с не является

Такие алгебры были описаны в работе [11], причём авторы данной работы допускали операции бесконечной арности. Однако, в нашем случае все операции являются конечноарными, что позволило существенно упростить доказательства основных утверждений. Глава 1. Универсальные алгебры, у которых все отношения... 21 конгруэнцией, а если /(с) ф а, то ра с не является конгруэнцией. Значит, /(с) = с. Итак, если \U\ 2 и какая-то операция / Є Е не является константой, то /(ж) = х при всех ж, т. е. / - тождественное отображение. 1.2 Группоиды С с условием RConG = EqG Используя лемму 1.1, получим характеристику группоидов G, удовлетворяющих условию RCon G = Eq G. Двойственным образом получается характеристика группоидов G с условием LCon G = Eq G. Теорема 1.2. Все отношения эквивалентности группоида G являются его правыми конгруэнциями в том и только том случае, если выполняется хотя бы одно из следующих условий: (i) \G\ 2; (ii) каждый элемент группоида G является его правой единицей или обобщённым правым нулём. Доказательство. Достаточность очевидна. Докажем необходимость. Группоид G можно рассматривать как универсальную алгебру с унар ными операциями fa(х) = ха (а Є G). Очевидно, правые конгруэн ции группоида (G, ) - это в точности конгруэнции унарной алгебры (G,{fa\d Є G}). По лемме 1.1 каждая операция fa является либо кон стантой, либо тождественным отображением. Если fa - константа, то а - обобщённый правый нуль, а если fa - тождественное отображение, то а - правая единица. Следствие. Все отношения эквивалентности группоида G являются его левыми конгруэнциями в том и только том случае, если выполняется хотя бы одно из следующих условий: (i) \G\ 2; (ii) каждый элемент группоида G является его левой единицей или обобщённым левым нулём.

Используя теорему 1.2, можно легко понять, как выглядит таблица Кэли конечного группоида, все отношения эквивалентности которого являются правыми конгруэнциями. В данном разделе для произвольного группоида G мы получим необходимое и достаточное условие того, что ConG = EqG. Нам понадобятся две леммы.

Лемма 1.3. Отношение эквивалентности на универсальной алгебре А с набором операций Е является конгруэнцией тогда и только тогда, когда для любой операции / Є Е (обозначим её арность через п), любого натурального , On) Доказательство очевидно2. П Следствие. Для любого группоида G справедливо следующее равенство множеств: Con G = RCon G П LCon G. Лемма 1.4. Группоид, удовлетворяющий тождеству xz = yz и имеющий левую единицу, является полугруппой правых нулей.

Доказательство очевидно. Теорема 1.5. Все отношения эквивалентности группоида G являются его двусторонними конгруэнциями в том и только том случае, если выполняется хотя бы одно из следующих условий: (i) \G\ 2; (ii) G - полугруппа с нулевым умножением; (iii) G - полугруппа левых нулей; (iv) G - полугруппа правых нулей. Доказательство. Достаточность. Предположим, что для группоида G выполняется какое-либо из условий (i)-(iv). Тогда каждое отношение эквивалентности на G является одновременно правой и левой конгруэнцией. По следствию из леммы 1.3 получаем ConG = EqG.

Необходимость. Пусть G - группоид, у которого любое отношение эквивалентности является конгруэнцией, и пусть \G\ 2. Тогда по теореме 1.2 мы получаем, что каждый элемент группоида G является правой единицей или обобщённым правым нулём. Разберём два случая. 1-й случай: все элементы группоида G - обобщённые правые нули. Тогда возможны два случая: Случай 1.1: ху = uv для любых x,y,u,v Є G. В этом случае G -полугруппа с нулевым умножением, т.е. выполнено условие (ii). Случай 1.2: ху = uv для некоторых x,y,u,v Є G. Так как иу = ху = uv, то и не является обобщённым левым нулём. Применяя следствие из теоремы 1.2, получаем, что элемент и - левая единица. Так как все элементы - обобщённые правые нули, то по лемме 1.4 полугрппа G является полугруппой правых нулей, т.е. выполнено (iv). 2-й случай: не все элементы группоида G являются обобщёнными правыми нулями. Тогда по теореме 1.2 в G есть правая единица, по следствию из теоремы 1.2 каждый элемент группоида G является левой единицей или обобщённым левым нулём. Если все элементы из G - обоб щённые левые нули, то, рассуждая так же, как в 1-м случае, мы получим, что G - полугруппа с нулевым умножением или полугруппа левых нулей, а значит, выполнено (ii) или (iii). Поэтому далее мы будем считать, что в G есть левая единица. Итак, в G есть правая и левая единицы. Хорошо известно, что в этом случае G имеет двустороннюю единицу, скажем, е, и никаких других левых или правых единиц, кроме е, в группоиде G нет. Следовательно, все элементы из G\{e} являются обобщёнными левыми нулями и одновременно обобщёнными правыми нулями. Так как \G\ 3, то существуют элементы а = b такие, что а,Ь = е. Так как а – обоб щённый левый нуль, то ah = ае = а, а так как b - обобщённый правый нуль, то ab = eb = Ь. Отсюда а = Ь, что противоречит выбору элементов а, Ь.

Свойства а-группоидов (продолжение)

2-й случай: \/х ф а (ех = х) . Для доказательства того, что е - левая единица, достаточно доказать, что еа = а. Пусть еа ф а. Тогда вви ду (1.30) еа = е. Так как \G\ 4, то существует элемент Ъ Є G\{e,a,a2}. Так как е {а, Ь} = {е, 6}, то отношение ра не является левой конгруэн цией. Ввиду условия (1.17) ра - правая конгруэнция. Имеем: {а, 6} b = {a2,b2}. Так как а2 ф {а,Ь}, то Ъ2 = а2. Наконец, равенства {е,Ь} Ъ = {Ь, а2} и е- {а, а2} = {е, а2} показывают, что отношение ре,ь V ра,о? не явля ется ни правой, ни левой конгруэнцией группоида G, что противоречит условию (1.17). Таким образом, е - левая единица. Лемма 1.21. Если G - а-группоид с единственным идемпотентом, то G является R- или L-группоидом.

Доказательство. Предположим, что G - а-группоид с единственным идемпотентом е, не являющийся ни R-, ни L-группоидом, и приведём это предположение к противоречию. Докажем, что а2 = е для всех а Є G. Пусть это не так, тогда а2 ф е при некотором а. Очевидно, Й / е. Так как е - единственный идемпотент, то а2 ф а. Отсюда по лемме 1.19 а – обобщённый левый или обобщённый правый нуль. Без ограничения общности можно считать, что а - обобщённый левый нуль. Ввиду леммы 1.18 группоид G не имеет неидемпотентных обобщённых правых нулей. Таким образом, все элементы из G\{e} - обобщённые левые нули. Кроме того, по лемме 1.20 е - левый нуль или левая единица. Отсюда по теореме, двойственной к теореме 1.2, получаем, что G - L-группоид.

Итак, а2 = е при всех а Є G. Можно считать, что все элементы из G\{e} - обобщённые левые нули. Если х Є G\{e}, а у - любой элемент из G, то так как х - обобщённый левый нуль, имеем: ху = х2 = е.Таким образом, (С\{е}) G = {е}.

Докажем, что е - левый нуль или левая единица. Пусть это не так. Тогда еа ф а при некотором а Є G. Положим еа = х. Если х ф е, то равенства е-{е, а} = {е, х} и {е, а}-а = {х, е} покажут нам, что отношение ре а не является ни левой, ни правой конгруэнцией, а это противоречит условию (1.17). Пусть х = еа = е. Так как е не является левым нулём, то eb ф b при некотором b Є G. Очевидно, b ф {е, а}.Положим eb = у. Если у ф Ь, то равенства е {е, 6} = {е, у} и {е, 6} b = {у, е} показывают, что отношение ре,ь не является ни левой, ни правой конгруэнцией. Если у = Ь, то возьмём элемент с Є G\{e, b, с}.Имеем: е {а, Ь} = {е, 6}, {е, с} b = {b, е}, поэтому отношение Рагь V рЄ;С не является ни левой, ни правой конгруэнцией. Мы опять получили противоречие, а значит, доказано, что е - левый нуль или левая единица. Так как все элементы из G\{e} -обобщённые левые нули, а элемент е - левый нуль или левая единица, то

Доказательство. Предположим, что выполнены условия леммы, но G не является ни R-, ни L-группоидом. По лемме 1.19 все элементы из G\E - обобщённые правые или левые нули. Ввиду леммы 1.18 множество G\E не может содержать одновременно обобщённый правый и обобщённый левый нуль. Значит, мы можем без ограничения общности считать, что все элементы из G\E - обобщённые левые нули.

Докажем, что существует идемпотент е такой, что х2 = е для всех х Є G\E. Действительно, если есть два элемента х,у Є G\E такие, что х2 ф у2, то для любого идемпотента е либо х2 ф е, либо у2 ф е, а значит, по лемме 1.20 е - левая единица или левый нуль. Тогда по теореме, двойственной теореме 1.2, получаем, что G - L-группоид. Далее мы можем считать, что х2 = у2 при всех х,у Є G\E. Если этот элемент х2 не принадлежит Е, то по лемме 1.20 все элементы из Е - левые единицы или нули, и мы можем снова применить теорему, двойственную теореме 1.2. Осталось рассмотреть случай, когда существует элемент є Є Е такой, что х2 = е при всех х,у Є G\E. По лемме 1.20 все элементы из Е\{е}- левые единицы или нули. Для завершения доказательства леммы достаточно доказать, что элемент е является левой единицей или левым нулём.

Заметим, что х2 Є {е,ж} при всех х Є G (действительно, х2 = х при х Є Е и х2 = е при х Є G\E). По лемме 1.8(ii) мы отсюда получаем, что ех Є {е,ж} при всех х Є G. Если е не является левой единицей или ле вым нулём, то найдутся такие элементы х,у Є G\{e}, что ex = є, еу = у. Очевидно, х ф у. Возьмём элементы / Є Е\{е} и а Є G\E. Рассмот рим отношение те. Имеем: (х,у) Є те, (ех,еу) = (е,у) те, (/, а) Є те, (//, а/) = (f,a2) = (/, е) ф ае. Эти соотношения показывают, что ае не является ни левой, ни правой конгруэнцией, что противоречит усло вию (1.17).

Леммы 1.21 и 1.22 показывают, что если а-группоид содержит как идемпотенты, так и неидемпотентные элементы, то он является R- или L-группоидом. Ранее мы видели, что а-группоид без идемпотентов также обладает этим свойством. Осталось рассмотреть случай идемпотентного группоида, т.е. группоида, у которого все элементы являются идемпо-тентами.

Лемма 1.23. Идемпотептпый а-группоид с нулём является R- или L-группоидом. Доказательство. Предположим, что G - идемпотентный а-группоид с нулём 0. Утверждение леммы очевидно для коммутативного группои да. Поэтому далее будем считать, что группоид G некоммутативный. Возьмём элементы a, b такие, что ah ф Ьа. По лемме 1.8(iv) ху Є {х, у} для любых х,у Є G. Поэтому мы можем считать без ограничения общ ности, что ab = а, Ьа = Ь. Ясно, что Й,6 / 0. Покажем, что в этом случае каждый ненулевой элемент является правой единицей. Так как а {0, 6} = {0, а}, то отношение ро,ь не является левой конгруэнцией. То гда по условию (1.17) ро,ь – правая конгруэнция. Возьмём любой элемент і / 0. По лемме 1.8(iv) bx ф 0. Так как р0,ь – правая конгруэнция и {0, 6} х = {0, Ьх}, то Ьх = Ь. Аналогично доказывается, что ах = а для всех і / 0. Предположим, что некоторый элемент х / 0 не является правой единицей. Тогда сх ф с для некоторого элемента с Є G\{0,a,b}. Значит, сх = х. Равенства а {0,с} = {0,а} и {0,с} х = {0,х} показы вают, что отношение ро,с не является ни левой, ни правой конгруэнци ей, что противоречит условию (1.17). Таким образом, каждый ненулевой элемент - правая единица. Следовательно, все без исключения элементы группоида G - правые единицы или правые нули. Отсюда по теореме 1.2 получаем, что G - R-группоид.

Частичные унарные алгебры А с условием Con А = EqA

В данном разделе мы найдём необходимое и достаточное условие того, что при некотором фиксированном г каждое отношение эквивалентности частичного гг-арного группоида G является Д -конгруэнцией на G. Нам понадобится следующее очевидное утверждение:

Предложение 2.10. Пусть G - частичный п-арный группоид. Зафиксируем какое-либо значение і Є {1,...,п}. Набор элементов а = (а\, ..., CLi-i, ai+i, ..., ап) Є Gn l является Ri-единицей частичного п-арного группоида (G,f), в том и только том случае, если когда частичная операция Рг,а, определённая соотношением (2.2), является проекцией в частичном унарном группоиде (G,tpa); набор а Є Gn l является обобщённым Ri-нулём в (G, /) тогда и только тогда, когда ipi a - константа в (G, fi,a) Теорема 2.11. Пусть і Є {1, ..., п}. Все отношения эквивалентности частичного п-арного группоида (G, /) являются его Ri-конгруэнциями в том и только том случае, если для каждого элемента а Є Gn l выполняется хотя бы одно из следующих условий (г) а является Ri-единицей; (И) а является обобщённым Ri-нулём; (Ш) частичная операция fi,a определённая соотношением (2.2), удовлетворяет следующему условию: для некоторых элементов х ф у выполняются равенства Pi a(%) = У и Рі,а(у) = х, а для других аргументов значение частичной операции ірі а не определено. Доказательство. Все отношения эквивалентности на G тогда и только тогда являются Д -конгруэнциями, когда все они являются конгруэнци ями каждой из частичных алгебр (G,ipi a). Из теоремы 2.9 следует, что частичная операция ip либо является константой, либо является про екцией, либо удовлетворяет условию (iii). Используя предложение 2.10, замечаем, что для этого необходимо и достаточно выполнения хотя бы одного из условий (i) - (iii) теоремы.

Следствие. Пусть частичный п-арный группоид (G, /) является квазиполным в смысле определения 2.1. Каким бы ни было значение г, все отношения эквивалентности на G являются Ri-конгруэнциями в том и только том случае, если для каждого набора элементов а Є Gn l: выполняется хотя бы одно из следующих условий: (i) а является Щ-единицей; (ii) а является обобщённым Ri-нулём. При п = 2 получаем описание частичных бинарных группоидов, у которых каждое отношение эквивалентности является правой конгруэнцией:

Теорема 2.12. Все отношения эквивалентности частичного бинарного группоида G являются его Ri-конгруэнциями (то есть правыми кон-груэнциями) в том и только том случае, если для каждого элемента а Є G выполняется хотя бы одно из следующих условий: (i) а является правой единицей (в соответствии с определением 2.2); (ii) а является обобщённым правым нулём; (iii) частичная унарная операция р(х) = ха удовлетворяет следующему условию: для некоторых элементов х ф у выполняются равенства f{x) = у и piy) = х, а для других аргументов значение частичной операции ір не определено. Отметим ещё одно следствие теоремы 2.11: Предложение 2.13. Пусть G - квазиполный п-арный группоид и і Є {І, ..., п}. Тогда любое отношение эквивалентности на G является его Ri-конгруэнцией в том и только том случае, если G можно дополнить до полного п-арного группоида, у которого любое отношение эквивалентности является Ri-конгруэнцией на G.

Доказательство. Достаточность очевидна. Докажем необходимость. Рассмотрим произвольный набор элементов а Є Gn l. По следствию из теоремы 2.11 набор а является Д -единицей или обобщённым Д -нулём. Ясно, что в первом случае fa дополняется до проекции на г-ю компо ненту, а во втором случае - до константы. Тогда G будет дополнен до полного группоида, в котором каждый элемент а Є Gn l является R единицей или обобщённым -Rj-нулём. По теореме 2.11 это будет полный группоид, у которого каждое отношение эквивалентности является Ri конгруэнцией.

Замечание. Пусть G - квазиполный п-арный группоид. Если каждое отношение эквивалентности на G является квазиконгруэнцией, то из предложения 2.13 следует, что для любого значения г частичный п-арный группоид G можно дополнить до полного п-арного группоида, у которого все отношения эквивалентности являются Щ-конгруэнция-ми. Однако, как показывает следующий пример, не обязательно G дополняется до полного п-арного группоида, у которого любое отношение эквивалентности является Ri-конгруэнцией при всех і:

Пример 2.5. Пусть на множестве G = {а\, ...,ап} (п 6) частичное умножение задано следующим образом: aiaj = щ, если оба индекса г, j являются чётными; aiaj = ctj, если оба индекса i, j являются нечётными; иначе a aj не определено. Тогда эта частичная операция не является ни константой (а\а\ = ai / аг = 0,20,2), ни проекцией на первый аргумент (а\аз = os ф о\), ни проекцией на второй аргумент (й204 = й2 ф 04). Поэтому данный частичный группоид нельзя дополнить до полного группоида, у которого каждое отношение эквивалентности является одновременно правой и левой конгруэнцией (см. теорему 1.6; напомним, что для полного группоида понятия конгруэнции и квазиконгруэнции совпадают). В то же время, легко видеть, что для каждого х Є G произведение f(x,y) определено не менее, чем для трёх значений у, для каждого у Є G произведение f(x,y) определено не менее, чем для трёх значений х, а каждое отношение эквивалентности на G является квазиконгруэнцией.

Об гг-арных группоидах G с условием UiRiConG = EqG

Теперь рассмотрим полугруппы, у которых любое отношение эквивалентности является правой или левой конгруэнцией. Будем использовать определения и обозначения из главы 1.

В целях достичь большей общности будем считать, что односторонними конгруэнциями полугруппы S заведомо являются отношения ра5) где а ф Ь, на другие отношения эквивалентности мы этого требования налагать не будем. Конечно, если все отношения рагь - левые конгруэнции, то все без исключения отношения эквивалентности являются также левыми конгруэнциями, и аналогично, если ра Є RConS при любых а ф Ь, то RCon S = EqS. А что будет в случае, когда ра Є LConS U RConS при всех а ф 6? Оказывается, в этом случае либо все отношения эквивалентности - правые конгруэнции, либо все они - левые конгруэнции. Но это утверждение нам представляется не очевидным и будет доказано лишь в конце раздела. Итак, в леммах 3.9 - 3.16 будем предполагать, что полугруппа S удовлетворяет условию Va, b Є S(a ф b = patb Є LCon S U RCon S). (3.4) Через E будем обозначать множество идемпотентов полугруппы S. Связкой называется полугруппа идемпотентов, т.е. полугруппа, удовлетворяющая тождеству а2 = а. Полурешётка - это коммутативная связка, т.е. полугруппа, в которой а2 = а и ab = Ъа. Прямоугольная связка - это полугруппа, удовлетворяющая тождествам а2 = а и abc = ас. Хорошо известно, что прямоугольная связка - это в точности прямое произведение полугруппы левых и полугруппы правых нулей. Полугруппа S называется связкой полугрупп, если S = U{Sa\a Є Y}, где Y -связка, Sa П Sp = 0 при а ф f3 и SaSp С Sap при любых а, /З Є Y. В случае, когда Y - полурешётка или цепь, полугруппа S = U{Sa\a Є Y} называется полурешёткой или цепью полугрупп Sa соответственно.

Лемма 3.9. Для любого а Є S имеют место включения а3 Є {а, а2} и а2 Є Е.

Доказательство. Тот факт, что а? Є {а, а2}, следует из леммы 1.8(i). Если а3 = а, то а4 = а2, а если а3 = а2, то а4 = а3 = а2; следовательно, а2 Є Е.

Из леммы следует, что всякая полугруппа с условием (3.4), а значит, и всякая R V L-полугруппа является периодической. Для произвольной полугруппы S и каждого идемпотента е2 = є Є S определяются классы

Глава 3. К вопросу об альтернативном определении... кручения К (є) = {х Є S\3n хп = є}. Хорошо известно, что периодическая полугруппа является объединением попарно не пересекающихся классов кручения: S = U{K(e)\e Є Е}. В нашем случае ввиду леммы 3.9 имеем: К{е) = {х Є S\ х2 = є}.

Лемма 3.10. Для каждого є Є Е множество К(е) является либо полугруппой с нулевым умножением, где е - нуль, либо группой из 2 элементов, в которой е- единица.

Доказательство. Очевидно, К(е) = {е} U К\ U К2, где К\{е) = {х Є К{е)\ х ф е, Xі = х2}, і г(е) = {х Є К{е)\ х ф е, Xі = х}. Ясно, что элементы х Є К\ удовлетворяют равенствам хе = ех = е, а элементы у Є К2 - равенствам уе = еу = у.

Покажем, что Хг 1- Действительно, пусть a, b Є К2 и а ф Ь. Имеем: ае = еа = a, be = eb = b. Без ограничения общности мы можем считать, что ра - правая конгруэнция. Так как {а, Ь} а = {е, Ьа} и е {а,Ь}, то Ьа = е. Аналогично доказывается, что ab = е. Отсюда получаем: а = ае = aab = eb = Ь, что невозможно.

Далее, покажем, что либо К\ = 0, либо К2 = 0- Пусть а Є К\, b Є К2.Тогда ае = еа = е, be = eb = b. Без ограничения общности мы можем считать, что ра - правая конгруэнция. Однако, это противоречит равенству {а, 6}е = {е,Ь}.

Если К2 ф 0, то К\ = 0, поэтому К(е) = {е} U К2 - группа из 2 элементов. Пусть теперь К2 = 0. Тогда К(е) = {е} U К\, причём хе = ех = е при любых х Є К(е). Возьмём любые элементы а,Ь Є К\. Если а = Ь, то аЪ = а2 = е. Пусть теперь а фЪ. Если ра - правая конгруэнция, то из равенства {а, Ь} b = {ab, е} мы получим, что ah = е. Если рау, -левая конгруэнция, то равенство ab = е мы получим из соотношения а {a, b} = {e,ab}. Таким образом, ab = е. Следовательно, К(е) К(е) = {е}, т.е. К(е) - полугруппа с нулевым умножением.

Лемма 3.11. Если К(е) - группа из двух элементов, то S = К(е).

Доказательство. Если К(е) - группа, то по лемме 3.10 К(е) = {е, а}, где еа = ае = а. Пусть / Є Е, f ф е. Без ограничения общности можно считать, что paj - правая конгруэнция. Так как {а, /} а = {е,/а}, то fa = е. Имеем: {е,/} а = {а,е}. Следовательно, pej не является правой конгруэнцией. Это влечёт, что pej - левая конгруэнция. Так как а- {е, /} = {a, af}, то af = а. Теперь получаем: е = а2 = (af)a = a(fa) = ае = а, что невозможно.

Глава 3. К вопросу об альтернативном определении... Лемма 3.12. ([40], п. 2.3) В полугруппе S любое непустое подмножество является подполугруппой в том и только том случае, если S является цепью подполугрупп Si : S = U{Siг Є Г}, где Г - цепь, каждое Si является полугруппой правых или полугруппой левых нулей и ab = Ьа = а для любых элементов а Є Si, b Є Sj таких, что і j.

Лемма 3.13. Пусть S - полугруппа, удовлетворяющая условию (3.4). Тогда множество Е идемпотентов этой полугруппы представимо в виде Е = Ео U Е\, где ab = Ьа = а при а Є EQ, b Є Е\ и выполняется хотя бы одно из условий: (i) Ео - полугруппа правых нулей, Е\ - пустое множество или полугруппа левых нулей; (ii) Е0 - полугруппа левых нулей, Е\ - пустое множество или полугруппа правых нулей.

Доказательство. По лемме 1.12 Е - подполугруппа полугруппы S и любое непустое подмножество полугруппы Е является её подполугруппой. Следовательно, по лемме 3.12 Е = \j{Ei\i Є Г}, где Г - цепь, ab = Ьа = а при а Є ЕІ, b Є Ej, і j, а каждое ЕІ – полугруппа правых или левых нулей. Докажем, что Г 2. Действительно, пусть i,j, к Є Г таковы, что і j к. Возьмём любые элементы а Є Ei} b Є Ej, с Є Е . Так как {а, с} b = b {а, с} = {а, Ь}, то ра с не является ни левой, ни правой конгруэнцией, что противоречит условию (3.4). Таким образом, полугруппа Е либо является полугруппой левых или правых нулей, либо Е = EQ U Е\, где ab = Ьа = а при а Є EQ, b Є Е\. Осталось показать, что при EQ І , Е\ 2 полугруппы EQ и Е\ не могут быть обе полугруппами правых нулей или обе - полугруппами левых нулей. Пусть, например, EQ и Е\ - полугруппы правых нулей (второй случай рассматривается аналогично). Возьмём элементы а,Ь Є EQ, c,d Є Е\ такие, что а фЬ, еф і.Так как {а, с} d = {a, d} и b {а, с} = {a, b}, то ра с не является ни правой, ни левой конгруэнцией, что противоречит условию (3.4).

Ввиду леммы 3.13 мы можем считать, что S = SQ U S\, где So = {К(е)\е Є EQ}, S\ = {K(e)\e Є Е\}, причём SQD S\ = 0. Без ограничения общности можно считать, что EQ - полугруппа правых нулей, а Е\ -пустое множество или полугруппа левых нулей. Ввиду лемм 3.10 и 3.11 мы можем считать, что К(е) - полугруппа с нулевым умножением для каждого є Є Е.