Центральные простые алгебры над полями рациональных функций с ветвлением на кривых специальных типов Гулецкий, Владимир Игоревич

Введение к работе

Актуальность темы диссертации. Изучение конечномерных центральных простых алгеор началось в 1843 году, когда У .Гамильтоном была построена алгебра вещественных кватернионов Н. Исследования Гамильтона вскоре нашли различные применения в механике и физике, что показало важность нового понятия. Впоследствии были установлены глубокие связи теории центральных простых алгебр с такими областями математики, как алгебраическая теория чисел, алгебраическая и арифметическая геометрия. Так в 1934 году Витт установил взаимнооднозначное соответствие между полями функций рода нуль с полем констант к и кватернионными алгебрами над к и показал, что кватерннонная алгебра является матричной если и только если соответствующее поле функций рационально. Дальнейшее развитие этих идей Шатле. Амшгуром, Рокет-том, Хойзером и Ковачем привело к сопоставлению каждой простой центральной алгебре Л над полем к некоторого проективного многообразия (многообразия Севери-Брауэра) над к. которое обладает тем свойством, что его поле fc-рационалъных функций является общим полем разложения для Л. Следует отметить, что в последнее время появились важные обобщения понятия многообразия Севери-Брауэра (Бланше, Тао).

Решающим шагом в создании теории центральных простых алгебр явилось введение группы Брауэра Br(fc) поля к, которая состоит из классов подобия простых алгебр с центром к. Эта группа устанавливает общую связь между всеми простыми алгебрами над к с точностью до подобия. Дальнейшие исследования показали, что ее изучение чрезвычайно важно не только для получения новой информации об алгебрах, но и для приложений в других областях математики. Согласно результату Фробениуса группа Брауэра поля вещественных чисел является группой порядка два. Группа Брауэра поля комплексных чисел тривиальна. В тридцатые годы Хассе, Брауэром, Нетер и Албертом было получено полное описание групп Брауэра локальных и числовых полей. Подчеркнем, что в основе проведенных исследований лежал локально-глобальный метод. В рамках теории полей классов этот результат формулируется следующим образом. Если к - локальное поле, то Br(fc) = Q/Z. Для

числового поля к имеет место точная последовательность О — Вг(А) — UBr(Jfc.) — Q/Z -> 0 ,

где v пробегает множество попарно неэквивалентных абсолютных значений на к. Другими словами, группа Брауэра числового поля вкладывается в.копроизведение групп Q/Z и ее образ при этом вложении, то есть группа систем локальных инвариантов алгебр над к, полностью описывается законом взаимности.

Дальнейшее развитие теории групп Брауэра связано с трактовкой осної ного поля как поля функций на многообразии. Если F - поле fc-рациональ-ных функций на некотором проективном геометрически неприводимом многообразии, определенном над полем к. то к является полем констант по отношению к F. -Если размерность многообразия равна нулю, то F = к. Так что переход от к к F и, соответственно, от группы Br(fc) к группе Br(jF) является геометрическим обобщением рассматриваемых вопросов. Однако при переходе от Br() к Br(F) ситуация заметно усложняется. Развитие многомерной теории полей классов и доказательство теоремы Меркурьева-Суслина привели к появлению многих важных ре-зл'льтатов о группе Br(.F). Тем не менее до сих пор отсутствует завершенное описание таких групп для более или менее общих классов полей арифметико- геометрического типа.

Описав группу Брауэра поля F для многообразий размерности ноль, естественно обратиться к многообразиям размерности один, то есть к кривым. В 1951 году Д.К.Фаддеевым впервые была выдвинута и развита идея изучения группы Брауэра поля функций F = к(С) на кривой С посредством локально-глобального метода, подобно тому, как это делалось в числовом случае. Здесь уже в качестве глобального поля выступает поле F, а в качестве локального - его пополнение F_p в точке р поля F/k. Под точкой поля F/k понимается идеал кольца нормирования в F, содержащего поле констант (= простой ^-рациональный дивизор на кривой). Рассмотрим эту ситуацию подробнее. Пусть k_v - поле вычетов в точке p. Gp - его абсолютная группа Галуа и x{Gp) ~ группа непрерывных характеров группы G_p. В статье 1936 года Витт доказал, что если поле к_р совершенно, то группа Br(F) изоморфна прямой сумме Вг(А:_р) Э x(G>). Пусть

а_р:Вг(Л-х(Ср)

- гомоморфизм, являющийся композицией гомоморфизма Br(F) —+ Br(F_p), индуцированного расширением скаляров от F до F_v, изоморфизма, установленного Виттом, и проекции прямой суммы на второе слагаемое. Если А - алгебра с центром F и [А] - ее класс в Br(F), то характер а_р([.4]) называется локальным инвариантом класса [.4.] (или алгебры .4) в точке р. Порядок локального инварианта равен индексу ветвления алгебры А в точке р. Фаддеев показал, что алгебра А может быть разветвлена только в конечном числе точек. Поэтому совокупность всех гомоморфизмов а_р индуцирует гомоморфизм ас/к ^нз группы Брауэра поля функций в копроизведение групп x(Gp) ^по всем точкам р поля F/k. Рассмотрим следующую последовательность групп и гомоморфизмов

Br(F) 2 U Х(С,) ^ х(0 ,

в которой G - абсолютная группа Галуа поля к. х((7) - ее группа непрерывных характеров, a fc/k суммирует коограничения характеров из копроизведения. Изучение группы Брауэра Br(F) в значительной мере сводится к описанию ядра и образа гомоморфизма Qc/к- Если кривая С гладкая и char(k) = 0, то это ядро, то есть неразветвленная группа Брауэра Br_nr(F). изоморфно группе Брауэра Вг{С) кривой С и является важным алгебро-геометрическим и арифметическим инвариантом кривой С. Несмотря на большое количество работ, посвященных изучению Вг_пг(і^г), в настоящее время не существует полного описания этих групп, связанного с представлением их элементов алгебрами.с делением. Проблема описания образа іт(ас/к) также далека от своего завершения. Д.К.Фаддеевым было доказано, что набор локальных инвариантов призвольного класса алгебр из Вг(і^г) удовлетворяет закону взаимности, то есть іт(а_С/_к) С ker([3_cj_k). Если С - кривая рода ноль, то гт(ас/к) — кег(3с/к)- Однако в общем случае это не так, что приводит к необходимости изучения факторгруппы Х(С/к) = ^ег(,3сд)/^гт(^ас/«г)! ^то есть группы препятствий к реализации наборов характеров, удовлетворяющих закону взаимности, в качестве систем локальных инвариантов классов алгебр из Br(f). Вычисление Х(С/к) доставляет информацию о том, насколько ker{p_Cj_k) "больше", чем г'т(а_Сд). Для описания образа im(ac/k) нужно установить необходимые и достаточные условия того, когда набор характеров из кег(,3_С/_к) лежит в im(ac/t), то есть установить

"дополнительные законы взаимности¹'. Б.М.Беккер доказал¹, что если к - числовое поле, а кривая С обладает А-точкой, то Х(С/к) - группа показателя два, тривиальная в случае чисто мнимого к. Предлагаемая работа посвящена решению задачи о реализации наборов характеров в качестве систем локальных инвариантов классов алгебр для кривых рода один, определенных над чи слов ьш полем к, допускающим вещественные вложения. Кроме того, рассматривается случай кривой произвольного рода с к -рациональным два-кручением якобиана.

Заметим, что в настоящее время исследования по теории центральных простых алгебр над полями функций проводятся большим числом математиков (Колье-Телен. Солтыан, Ван Гил, Тиньоль, Меркурьев. Ян-чевский и дрзтие). Причем локальные инварианты выступают в качестве одного из основных инструментов изучения. Интенсивность современных исследований в этом направлении отражена,- например, в трудах симпозиума "К-Theory and Algebraic Geometry: Connections with Quadratic Forms and Division Algebras" в Санта-Барбаре (см. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. - University of California, Santa Barbara, 1992. Vol.58). Это указывает на то, что тема предлагаемой диссертационной работы - изучение локальных инвариантов центральных простых алгебр над полем функций числовых кривых рода один - связана с большим современным научным направлением, которое находится на стыке алгебраической геометрии и теории центральных простых алгебр. Недавние результаты о 2-кручении в неразветвленной группе Браузра локальных эллиптических и гиперэллиптических кривых (Сужата. Янчев-ский, Марголин) делает все вопросы, связанные с инвариантами алгебр над полями функций кривых, особенно актуальными.

Цели и задачи исследования. Предлагаемая диссертационная работа имеет следующие цели: вычислить группу препятствий А* (С/к) и установить необходимые и достаточные условия реализации наборов характеров, удовлетворяющих закону взаимности, в качестве систем локальных инвариантов классов алгебр из Br(F) для произвольной кривой С рода один, определенной над числовым полем к. При этом рассматриваются только такие числовые поля, которые допускают вложения в поле вещественных чисел (например, поле Q), так как в случае чисто мнимого к группа Х(С/к) тривиальна. В работе доказывается теорема о

¹Беккер Б.М. Законы взаимности для алгебр ка^ полями функции. Мат. заметки. - 1975. - 17. - 3. - С.419-422.

расщеплении ядра кег(ас/ь) на образ im(3c/k) и конечную группу показателя два. изоморфную группе препятствий. Кроме того, группа Х(С/к) вычисляется для числовой кривой произвольного рода с fc-рапиональным 2-кручением ее якобиана.

Научная новизна. Как уже отмечалось, в случае числового поля к группа препятствий Х(С/к) имеет показатель два и является тривиальной, если к чисто мнимо. После получения этого результата в 1975 году, в течение последующих двадцати лет не было подлечено ни одного значительного результата в направлении решения проблемы описания группы Х(С/к) и образа гомоморфизма im{ac/k)- Таким образом, все результаты диссертационной работы являются новыми.

Применимость полученных результатов. Решение поставленных задач дает полное описание образа гомоморфизма im(ac/k), то есть группы всех систем локальных инвариантов классов алгебр из Br(F) для числовых кривых С рода один. Полученная при этом информация позволяет изучать центральные простые алгебры над полем функций по их локальным инвариантам. Тем самым возникает дальнейшее развитие локально-глобального метода для группы Брауэра поля функций на кривой. Применение теоремы 1 (критерия реализуемости) позволяет определять, какие из наборов характеров У. удовлетворяющих закон}" взаимности на числовой кривой С рода один, являются системами локальных инвариантов центральных простых алгебр над полем функций F = к(С). а какие не являются. В общем виде ответ записывается в терминах характеров из У и автоморфизмов порядка два в абсолютной группе Галуа поля констант. Теорема 3, устанавливающая расщепление группы всех наборов характеров, удовлетворяющих закону взаимности, на группу всех локальных инвариантов алгебр над F и группу препятствий Х(С/к) = (Z/2Z)', облегчает задачу определения принадлежности У образу ітп(ас/_к), потому что. согласно этой теореме, всякий набор 1" однозначно представляется в виде суммы }\ -г Уг, где У\ - система инвариантов некоторого класса алгебр из Br(F), a Ij Є (Z/2Z)'. Наконец, теоремы 2 и 4 позволяют оценивать степень отклонения кег($с/к) от гтп(а_с/к).

Связь работы с крупными научными программами, темами. Диссертация выполнена в рамках тедгы "Многообразия представлений конечно-порожденных групп, комбинаторное строенпе арифметических и проконечных групп. Группы Брауэра алгебраических многообразий п

их использование в алгебраической геометрии и теории чисел" отдела алгебры и теории чисел Института математики АНБ, входившей в республиканскую программу "Исследование алгебраических и дифференциальных свойств основных алгебраических структур" за 1995 год: а также в рамках темы "Арифметические и геометрические свойства алгебраических многообразий, связанные с алгебраическими группами и алгебрами с делением" отдела алгебры и теории чисел Института математики, входящей в республиканскую программу "Исследование алгебраических и дифференциальных свойств основных алгебраических структур", расчи-танную на 1996-2000 годы.

Личный вклад соискателя. Основные результаты установлены автором самостоятельно.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на конференции "Euroconference on Linear Algebraic Groups and Related Structures" (Бедефельд. 3-7 июля 1995 г.), на конференции "Journees Arithmetiques" (Барселона. 16-20 июля 1995 г.). на семинарах математических факультетов Лувенского католического университета (Бельгия), Гентского университета (Бельгия), Билефельдского университета (Германия), на научном семинаре Коха-Крамера- Цинка в Институте математики университета Гумбольдта в Берлине (8 мая 1996 г.), на конференции "Проблемы алгебры и кибернетики", посвяшенной памяти академика СА.Чунихина (Гомель. 1995) и на конференции "Алгебра и математическая кибернетика", посвяшенной 80-летию со дня рождения академика Д.А.Супруненко (Минск, 1995).

Опубликованность. Результаты опубликованы в тезисах двух конференций ([1]_;[2]) и в четырех статьях ([3], Щ, [5]. [6]).

Структура и объем диссертации. Диссертапионная работа состоит из четырех глав. Каждая глава разбита на параграфы. Объем диссертации - 78 страниц. Список литературы состоит из 31 наименования. Нумерация лемм, предложений и теорем сквозная на протяжении всей работы.