Целые формы алгебраических торов и их числа классов Фомина, Татьяна Владимировна

Введение к работе

Актуальность темы.

Многие классические теоретико-числовые задачи наиболее естественным образом формулируются на языке алгебраических групп, что существенно обогащает их содержание. В связи с этим встаёт задача определения объектов, приспособленных к разрешению разнообразных вопросов арифметического характера. Это вопросы редукции алгебраических групп по простому модулю, проблемы вычисления числа классов, практического применения формул Зигеля-Тамагавы и др.

При рассмотрении линейных алгебраических групп над чисдовым полем к естественно возникает вопрос о существовании модели этой группы над кольцом целых элементов поля А. Вопрос о классификации О-форм данной к-группы G представляет собой интересную и непростую проблему. Результатов в этой области пока не очень много. Оказывается, как и в ряде других арифметических вопросов, классификация может быть редуцирована к локальному случаю, а затем к изучению редукции локальной модели по простому модулю. Далее наличие набора локальных целых форм позволяет . при соблюдении стандартных условий согласованности, получать групповые формы, определённые над кольцами целых алгебраических чисел, формы, обладающие оптимальными р-адическими слоями. Для связных односвязных разложимых полупростых А-групп такая классификация была проделана Рольфсом [4].

Также известно, что всякая связная полупростая А-группа типа Шевалле обладает гладкой О-формой [5]. Это же верно и для разложимых редуктивных групп. Нетривиальный вопрос заключается в существовании такой целой формы, чтобы редукция зависела бы только от самой группы G, а не от выбора случайного вложения группы G в полную линейную группу. В [2] для алгебраических торов предлагается конструкция локальных целых моделей, определённых внутренним образом и обладающих оптимальными свойствами. Существование канонических целых моделей для алгебраических торов было доказано Воскресенским В.Е. [2]. Редукции канонических моделей описаны там же.

В диссертации построены канонические целые модели торов вида RRk(G_m) и І^міСОщ) и изучены их редукции по простым

модулям. Аналогичные результаты приводятся в статье [3], но конструкция целых моделей в [3] совершенно иная.

Ещё одной важной характеристикой алгебраического тора является его группа классов. В диссертации получена индекс-формула для числа классов норменной гиперповерхности.

В общем случае получение оценок для числа двойных классов редуктивных групп, является очень трудной проблемой, содержащей в качестве частных случаев классические задачи о числе классов в роде квадратичных форм (Гаусс) и о числе классов идеалов числовых полей [1].

Таким образом, наличие интересных и многообещающих проблем делает данную тематику актуальной для изучения.

Литература:

1. Воскресенский В.Е. Целочисленные структуры в алгебраических торах и группы классов числовых полей // Семинар по арифметике алгебраических многообразий. Саратов; СГУ, 1979, с. 8-15

2. Воскресенский В.Е., Фомина Т.В. Целые структуры в алгебраических торах // Изв. Р.А.Н., Сер. матем., 1995, т.59, №5.

3. Nart Е., Xarles X. Additive reduction of algebraic tori II Arch. Math. 57,1991, p.460-466.

4. Rohlfs J. Uber maximate arithmetisch defmierte gruppen II Math. Ann., 234, p.239-252.

5. Семинар по алгебраическим группам. M.: Мир, 1973. ⁽

6. Воскресенский В.Е. Алгебраические торы. М.: Наука, 1977.

7. Алгебраическая теория чисел // под ред. Дж.Касселса и
А.Фрёлиха, М.: Мир, 1969.

8. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.:Наука,1985.

9. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии: в 2-х т. М.: Наука, 1988. >

Цель работы

Построить канонические модели торов специального вида, определённых над полными неархимедрвыми расширениями поля алгебраических чисел. Изучить строения этих моделей.

Построить минимальные модели торов специального вида над кольцами целых полей алгебраических чисел и вычислить число классов некоторых моделей.

Основные результаты работы

1. Построены канонические целые модели торов RF/*(G_m) и R-F/t(Gm), определённых над локальными полями. Описаны редукции этих моделей по простому модулю.

2. Получена индекс-формула для числа классов норменной гиперповерхности.

Методика исследования

В диссертации приходится работать с аффинными групповыми схемами, определёнными над конечными, локальными и глобальными полями, а также над кольцами. При подсчёте чисел Тамагавы алгебраических торов наобходимо строить формы объёма, обладающие оптимальными свойствами. Применяются методы гомологической алгебры, а также общие методы алгебраической геометрии и алгебраической теории чисел.

Научная новизна

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Идеи построения канонических целых моделей могут быть применены к произвольным аффинным группам, определённым над локальными полями. Индекс-формула для норменной гиперповерхности позволяет получать некоторые оценки для числа классов поля, а также судить о свойствах норменных отображений.

Апробация результатов диссертации

Результаты работы докладывались на Международной алгебраической конференции памяти Д.К.Фаддеева и на научном семинаре кафедры алгебры Самарского Государственного университета. Работа была представлена на Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Чеботарёва Н.Г. (г. Казань).

Публикации

По теме диссертации автором опубликованы четыре работы, указанные в конце реферата.

Объём и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав, разделённых на 20 параграфов, списка литературы, содержащего 29 позиций.

Нумерация формул, лемм и теорем, а также параграфов ведётся отдельно для каждой главы. Диссертация занимает 89 страниц машинописного текста.