Введение к работе
Актуальность темы. Классической задачей теории чисел является проблема Гаусса оценки сверху разности между количеством М(Я)целых точек внутри крута х1"* ^*4 Я4 и его площадью jvfi,1 , т. е. задача об оценка сверху величины д«0 = |М(я)-кк1|при Я ~*~ .
Её можно сформулировать следующим образом. Рассмотрим подгруппу движений яа евклидовой плоскости, порождаемую двумя сдвигами (0,1) z (1,0). Тогда Ы(л) будет равно количеству образов точки (0,0) при действии этой группы, которые попадает внутрь крута Xі + ^4 ^ R* .В настоящей диссертации мы получаем асимптотические формулы для количества орбит точки при действии модулярной группы и её коЕгруэнц-подгрупп, попадаидих внутрь круга на плоскости Лобачевского. Эта задача является аналогом проблемы Гаусса. Исследование её основано на методах аналитической теории чисел (тригонометрические суммы Клостермана, арифметические свойства и особенности рассматриваемых групп).
Ранее подобные задачи решались методами спектральной теории оператора Лапласа-Бельтрами. Постановка таких задач и развитие методов их исследований принадлежат А.Сельбергу ClJ , Х.Хуберу [2-3J , Ж.Дельсарту С4-5] , П.Д.Лэксу и Р.С.Фзшшпсу [6] и Б.М.Левитану Г7] .
Наилучшие результаты получена Б.М.Левитаном.
Отметим, что асимптотические формулы, содержащиеся в этих работах, зависят от дискретного спектра оператора Лвпласа-Вельт-рамя. Арифметический кетод, развиваемой в настоящей работе, дает возможность получить явные формули. Крсмэ того, наш метод
позволяет получить новые равномерные оценки остатков асимптотических формул в зависимости от характеристики конгруэнц-подгрупп. Этим же методом мы решаем задачи о попадании орбит точки при действии модулярной группы в узкое кольцо большого радиуса на плоскость Лобачевского и о попадании орбит точки при действии множества целочисленных матриц с заданным определителем в круг малого радиуса.
Научная новизна. Получены равномерные по параметру конгруэнц-подгрупп аоиштотическве формулы для количества орбит точки, попадающих внутрь круга большого радиуса. Решена задача о попадании орбит точки при действии модулярной группы в узкое кольцо
I» A- S-*C6u-4 On Тчі «ік*т<Коч o-f FourCtr CDtffiiC*.^ of mcdutar 2. H- H"W. Ugtr cLm nwt kUm ««.W.,.^*r Рі««КК«ч*п u^J.
una. ое«/«.«л.Л}8^гц.ь|,«, I// u.i» » .,., _ r.
' і-« і VAX л:,. .: *и:4; 7'7* 1і*-
4. J- $e*e.r*e Sur L ^i-ttlr |w.c.JisC«.« II CR- Ле«.4. «. -
4Jiit - T. Лі, _ p. ^, . ^3 .
5. J- $Uf;*.rtc . It J.CHer fu-e-hiitM. II DsM-vrm Ji~*. -Эе&в.кН
Т. К - P«,,.-4 , -mi , f. Sij -SUS.
6. M>. U, R.S- flMif4. ТЧс о«^ЬКч «l.-.h,-eKh-.4 oj>
4/"^« // J- of F^U. A^(. _ 13U _ V.kt, W*3 - р.ш-з«.
большого радиуса. Получена верхняя граница радиуса круга, внутрь которого попадает орбита точки при действия множества целочисленных матриц с заданным значением определителя.
Все эти результаты являются новыми.
Практическая и теоретическая ценность работы. Результаты работы носят теоретический характер и могут быть применены в аналитической теории чисел.
Апробация работы. Результата работы докладывались на Международной конференции по теории чисел, посвященной ЮО-легию со дня ровдения И.М.Виноградова, на Ломоносовских чтениях в ІЛГУ в 1991 году и на семинарах по аналитической теории чисел в МГУ под руководством профессора А.А.Карапубы и д.ф.-м.н. Г.И.Архи-пова, д.ф.-м.н. В.НЛубарикова.
Публикация. Основные результаты диссертации опубликованы в 1-ой работе автора.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, списка литературы, включающего 29 названий, и изложена на 59 страницах.