Бипримарные подгруппы конечных групп Монахов, Виктор Степанович

Введение к работе

Актуальность темы диссертации. Бипримарные группы, т.е. конечные группы порядка p^aq^b, где р и q - различные простые числа, находятся в поле зрения алгебраистов на всем протяжении развития теории групп. Еще на рубеже 20 века в работах Гёльдера, Миллера, Фробениуса рассматривались группы порядка p^aq^b при малых значениях а и Ь. В 1904 г. Бернсайд [1] установил разрешимость бипримарных групп, а через год он опубликовал вторую статью [2] о бипримарных группах, в которой сделана попытка конкретизировать порядки нормальных подгрупп.

В 1947 г. Д.К.Фаддеев [3] рассмотрел структуру групп порядка pⁿq и показал, что при фиксированном п существует лишь конечное число групп порядка вида pⁿq без нормальных неединичных силовских подгрупп. В этой же работе он поставил задачу о распространении полученного результата на произвольные конечные разрешимые группы, которую в 1969 г. решил ДА.Шеметков [4]. В частности, из теоремы Л.А.Шеметкова следует, что при фиксированных а и b существует лишь конечное число неметанильпотентных групп порядка вида p^aq^b.

Стандартное классическое доказательство разрешимости бипримарных групп использует теорию характеров и вытекает из теоремы о непростоте конечной группы, обладающей классом сопряженных элементов, порядок которого равен степени простого числа. В 1990 г. Л.С.Казарин [5] показал, что такой класс сопряженных элементов порождает разрешимую подгруппу. Без использования теории характеров разрешимость бипримарных групп установлена в работах Томпсона, Гольдшмидта, Мацуямы, Бендера, см. [6, с.250-256].

К бипримарным группам относятся и группы Шмидта. Группой Шмидта называют конечную ненильпотентную группу, все собственные подгруппы которой нильпотентны. Начало изучению таких групп положила работа О.Ю.Шмидта [7] 1924 г. Определяющие соотношения и универсальные накрывающие групп Шмидта найдены Ю.А.Гольфіандом [8], а описание нормальных силовских подгрупп получили В.Д.Мазуров, С.А.Сыскин и А.Х.Журтов [9,10].

Возможности больших приложений групп Шмидта впервые обсуждались в работе С.А.Чунихина 1929 г. [11], обратившего внима-

ниє на то, что каждая конечная ненильпотеитная группа обладает г крайней мере одной подгруппой Шмидта. Он обнаружил, что iumhj товские подгруппы могут быть применены для нахождения призні ков нильпотентности и обобщенной нильпотентности, а также дл нахождения ненильпотентиых подгрупп у конечных групп. Таким о( разом, строение конечной группы тесно связано с наличием у нее то или иной системы шмидтовских подгрупп. На свойствах групп Шмидта основывается также доказательство классической теорем; Виландта о вложении подгрупп в конечной группе с нильпотентно холловской подгруппой. Обзор результатов этого направления, тіолі ченных к началу 70-х годов, имеется в статье Л.А.Шеметкова [12].

В последние два десятіїлетия развитие структурной теории кс нечных групп в значительной, степени стимулировалось результате ми, связанными с бипримарными группами. Достаточно вспомнит теорему В.Д.Мазурова [13] о конечных группах с единичной 1 длиной разрешимых подгрупп, из которой вытекает [9] описани простых групп с силовской 2-подгруппой, изоморфной неабелево силовской подгруппе из группы Шмидта; результат Глаубермана [< с.273] о 8₄-свободных группах, из которого следует описание просты 3'-групп; решение по модулю классификации конечных просты групп Арадом, Уордом [14] и Гроссом [15] проблем Ф.Холла 1957 г. разрешимости конечной группы с {р^}-холловскими подгруппам для всех р и q и сопряженности холловских подгрупп нечетного ПС рядка в произвольных конечных группах; теоретико-групповое докг зательство р\}^Ъ-теоремы Бернсайда и др. Бипримарные группы и, частности, группы Шмидта, находят широкие приложения также теории формаций и в теории классов Фиттинга.

Связь работы с крупными научными программами и темам} Диссертация выполнена в рамках госбюджетной темы Гомельског государственного университета им. Ф.Скорины "Развитие формащ онных методов теории групп и других алгебраических систем", вхс дящей в перечень важнейших по Республике Беларусь и темі "Структурная теория формаций и других классов алгебр", финансь руемой Министерством образования и науки Республики Беларусь.

Цель и задачи исследования. Развитие методов исследовани структурной теории конечных групп с помощью бипримарных nor

групп и, в частности, подгрупп Шмидта. Для этого решаются следующие задачи:

установление точных нижних границ порядков нормальных подгрупп бипримарных групп;

нахождение новой информации о существовании подгрупп Шмидта и бипримарных подгрупп в произвольных конечных группах;

разработка приложений бипримарных групп и, в частности, групп Шмидта к исследованию нормального строения конечных -рупп с заданной факторизацией и к перечислению конечных групп с таборами подгрупп ограниченного индекса.

Научная новизна полученных результатов. Все результаты диссертации являются новыми, впервые полученные автором.

Практическая значимость полученных результатов. Диссертация имеет теоретическое значение, вошедшие в нее результаты и разработанные методы исследования могут быть использованы при описании структурных свойств различных классов конечных групп. Отчасти результаты диссертации уже использовались в работах других авторов, см., например, [16-19].

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Обнаружена и исправлена ошибка в доказательстве теоремы
эернсайда 1905 г. о порядках нормальных подгрупп бипримарных
~рупп. Установлено, что за тремя исключениями в группах порядка
)^aq^b при р^а > q^b существует неединичная нормальная р-подгруппа.
Зсе исключения описаны, а также указаны начальные значения чисел
і и Ь, с которых возникают исключения.

2. Получена новая информация о существовании подгрупп
Имидта:

установлено, что в любой конечной группе, за исключением разрешимых групп 2-длины < 2, существует недополняемая сверх-эазрешимая подгруппа Шмидта четного порядка и четного индекса;

установлено, что за некоторыми исключениями, которые полностью описаны, в любой конечной группе существует несверхраз-зешимая подгруппа Шмидта четного порядка и четного индекса;

установлено, что за некоторыми исключениями, которые пол-юстьго описаны, в любой конечной неединичной группе с тривиальным разрешимым радикалом каждое добавление к любой подгруппе

Шмидта ненильпотентно и не группа Шмидта (решение проблем Л.А.Шеметкова 1973 г.).

1. Разработаны приложения групп Шмидта к описанию классе конечных групп с наборами подгрупп заданного индекса. В части сти, перечислены конечные группы со сверхразрешимыми подгру пами непримарного или четного индекса.

2. Разработана методика исследования строения конечных фа торизуемых групп с заданными сомножителями. В частности:

- решена проблема Хупперта-Скотта 1957 г. о нормальне
строении конечной факторизуемой группы, у которой множители с
держат циклические подгруппы индекса < 2;

установлено нормальное строение конечных групп, фактор: зуемых разрешимой и сверхразрешимой подгруппами нечетных и дексов;

описано нормальное строение конечной неразрешимой групп) факторизуемой разрешимой подгруппой и циклической.

Личный вклад соискателя. Все результаты диссертации нолуч ны автором самостоятельно и опубликованы без соавторов.

Апробация результатов диссертации. Результаты исследоваш автора, включенные в диссертацию, неоднократно докладывались і Всесоюзных и Международных алгебраических конференциях ( К шинев, 1971 г.; Свердловск, 1973 г.; Гомель, 1975. г.; Новосибирс 1977 г.; Красноярск, 1979 г.; Ленинград, 1981 г.; Минск, 1983 г.; К шинев, 1985 г.; Львов, 1987 г.; Новосибирск, 1989 г.; Барнаул, 1991 і Красноярск, 1993 г.; Казань, 1994 г.), на Всесоюзных симпозиумах і теории групп (Краснодар, 1976 г.; Черкассы, 1978 г.; Шушенскс 1980 г.; Сумы, 1982 г.; Москва, 1984 г.; Гомель, 1986 г.; Кунгурк 1989 г.), на VI и VII конференциях математиков Беларуси (Гродн 1992 г.; Минск, 1996 г.), на Международных математических конф ренциях, посвященных 25-летию Гомельского госуниверситета и 9 летию академика С.А.Чунихина (Гомель, 1994 г., 1995 г.). Результаї диссертации цитировались и применялись в работах других авторе см., например, [16-19].

Опубликовашюсть результатов. Все результаты диссертаці опубликованы автором в 1970 - 1996 гг.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из впеде-чя и трех глав. Полный объем диссертации - 176 страниц, список :пользованных источников -115 наименований.