Бинарные аддитивные задачи с квадратичными формами Куртова Лилиана Николаевна

Введение к работе

Актуальность темы. В теории чисел важную роль играют аддитивные задачи.

К ним относится задача Лагранжа о представлении натурального числа в виде суммы четырех квадратов натуральных чисел.

В 1926 году Х.Д. Клоостерман¹ круговым методом получил асимптотическую формулу c остаточным членом порядка 0(п¹⁷^^18+є) для числа представлений положительного целого п в виде ах² + by² + cz² + dt², є > 0 произвольно малая постоянная.

Задачу о представлении натурального числа в виде суммы, разности произведений натуральных чисел называют аддитивной проблемой делителей Ингама.

В 1927 году A.E. Ингам² поставил и решил элементарными методами задачи получения асимптотических формул для числа решений J1(ri) и J₂(n) уравнений:

Х1Х2 + Х3Х4 = Щ Х1Х2 — Х3Х4 = 1, Х1Х2 ^ Щ где Х1, Х2, Ж3, Х4 Є N.

В 1931 году T. Эстерман³, применив к задаче Ингама круговой метод, получил асимптотические формулы, в которых остаточный член имеет степенное понижение по сравнению с главным. Кроме того, он установил взаимосвязь между J1(n), J₂(n) и суммой Клоостермана:

_{± ехр (м«±^)}

1=1 У

где И* = 1 (mod q).

^loosterman, H.D. On the representation of number in the form ax² +by² + cz² + dt² / H.D. Kloosterman // Acta mathematica. - 1926. - V. 49. - P. 407-484.

²Ingham, A.E. Some asymptotic formulae in the theory of numbers / A. Ingham // J. London Math. Soc. - 1927. - V. 2(7). - P. 202-208.

³Estermann, T. Uber die Darstellung einer Zahl als Differenz von zwei Produkten / T. Estermann // J. Reine Angew. Math. - 1931. - V. 164. - P. 173-182.

В 1979 году Д.И. Исмоилов⁴ улучшил оценки остаточных членов, дополнив элементарный метод T. Эстермана оценками A. Вейля⁵ для суммы Клоостермана:

K(q,u,v)<&T(q)qV²(u,v,q)V²,

где r(q) — число натуральных делителей q.

В 1979 году другим методом ту же оценку остатка для J2(n) получил Д.Р. Хиз-Браун⁶.

В 2006 году С.А. Захаров⁷, используя круговой метод в форме СМ. Воронина, вывел явные выражения для остаточных членов в асимптотической формуле для Ji(n). При этом главный член записан в новой форме.

В 2006 году Г.И. Архипов и В.Н. Чубариков⁸ доказали, что остаток в асимптотической формуле для J₂(n) имеет порядок n^3/4ln⁴n.

В 1982 году Ж.-M. Дезуйе и Х. Иванец⁹, используя формулу Н.В. Кузнецова¹⁰ о представлении суммы сумм Клоостермана через билинейные формы коэффициентов Фурье собственных функций оператора Лапласа, доказали, что остаток в асимптотической формуле для J₂(n) порядка п^2/3+є, где є — сколь угодно малая постоянная.

В математической литературе известны многочисленные аналоги данной задачи.

В 1957 году C. Хооли¹¹ получил асимптотическую формулу для числа решений уравнения х\Х2Х% + ху = п, где Х\, Х2, Жз, х, у Є N.

⁴Исмоилов, Д.И. Об асимптотике представления чисел как разности двух произведений / Д.И. Ис-моилов // Докл. АН Тадж. ССР. — 1979. — Т. 22, №2. — C. 75–79.

⁵Weil, A. On some exponential sums / A. Weil // Proc. Nat. Acad. of Sci. — 1948. — 34. — P. 204-207. Estermann, T. On Klostermann’s sum / T. Estermann // Mathematika. — 1961. — 8. — P. 83-86.

⁶Heath-Brown, D.R. The fourths power moment of the Riemann zeta-function / D.R. Heath-Brown // Proc. London Math. Soc. — 1979. — V. 38. — №3. — P. 385–422.

⁷Захаров, С.А. Метод С.М. Воронина в задаче о числе решений диофантова уравнения x₁x₂+x₃x₄ = N / C.А. Захаров // Чебышевский сборник. — 2006. — Т. 7. — Вып. 4. — C. 35–91.

⁸Архипов, Г.И. Об аддитивной проблеме делителей Ингама / Г.И. Архипов, В.Н. Чубариков // Вестник Московского университета. Cер. 1. Математика. Механика. — 2006. — №5. — С. 32–35.

⁹Deshouillers, J.-M. An additive divisor problem / J.-M. Deshouillers, H. Iwaniec // J. London Math. Soc. — 1982. — V. 26(2). — P. 1–14.

¹⁰Кузнецов, Н. В. Гипотеза Петерсона для параболических форм веса нуль и гипотеза Линника. Суммы сумм Клоостермана / Н. В. Кузнецов // Матем. сб. — 1980. — T. 111(153). — №3. — C. 334–383. ¹¹Hooly, C. An asymptotic formulae in the theory of numbers / C. Hooly // Proc. London Math. Soc. — 1957. — 7. — P. 396-413.

Используя дисперсионный метод, Ю.В. Линник¹², а затем его ученик Б.М. Бредихин¹³ нашли полное решение аддитивной проблемы делителей:

Х1Х2 Xk + XI/ = П,

XI/ — Х1Х2 Xk = 1, Ху < П,

где Х1, Х2, ... , Xk, х, у Є N.

В диссертации рассматриваются бинарные аддитивные задачи с квадратичными формами, которые обобщают классическую теорему Лагранжа и проблему делителей Ингама.

Объектом исследования диссертационной работы являются бинарные аддитивные задачи с квадратичными формами. Предметом исследования являются уравнения с квадратичными формами.

В тексте диссертации введены обозначения: d — отрицательное бесквадратное число, F = Q(yd) — мнимое квадратичное поле, др — дискриминант поля F; Q1(m), Q2(k) — бинарные положительно определенные примитивные квадратичные формы с матрицами А1, А2; det А1 = det А₂ = —6f, є > 0 произвольно малое число.

Цель работы состоит в получении асимптотических формул для числа решений уравнений с квадратичными формами, остаточные члены которых имеют оценки, соответствующие современных оценкам остаточных членов в асимптотических формулах для классических аддитивных задач.

Задачи работы. В соответствии с целью выделим следующие задачи:

1. Получить асимптотическую формулу с остаточным членом порядка
_п3/4+_є для числа решений уравнения

Q1(m) + Q₂(k) = п,

где п Є N.

2. Получить асимптотическую формулу с остаточным членом порядка

¹²Линник, Ю.В. Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах / Ю.В. Линник. -Л. : Изд-во ЛГУ, 1961. - 208 c.

¹³Бредихин, Б.М. Дисперсионный метод и бинарные аддитивные проблемы определенного типа / Б.М. Бредихин // Успехи математических наук. - 1965. - T. 20. - Вып. 2(122). - C. 89-130.

_п³/⁴+^є для суммы

Q 1 (m)+ Q 2 (fc)
Р п

Q₁{m)-Q₂{k)=h

где п Є N, h Є N, /і < п^є.

3. С использованием оценок для суммы сумм Клоостермана получить
асимптотическую формулу с остаточным членом порядка п^2/3+є для суммы
из второй задачи в случае, когда дискриминант поля — нечетное число, и
для суммы

m-i +mo+L +^0

т\+т\— к\—k\=h

где п Є N, h Є N, /і < п^є.

4. Уточнить в частном случае остаток в асимптотической формуле вто
рой задачи.

Актуальность диссертационной работы следует из того, что решение выше перечисленных задач с квадратичным формами является обобщением имеющихся классических аддитивных задач.

Методы исследования. В работе применяются методы элементарной и аналитической теории чисел (в частности, круговой метод), методы математического анализа.

Научная новизна работы. В диссертации представлены доказательства асимптотических формул для числа решений уравнений с квадратичными формами, для остаточных членов которых даны современные оценки. Результаты, изложенные в диссертации, являются новыми.

Положения, выносимые на защиту:

1. Доказательство асимптотической формулы с остаточным членом порядка п^3/4+є для числа решений уравнения Qi(fn) + Q₂(k) = щ где п Є N.

2. Доказательство асимптотической формулы с остаточным членом порядка п³/^4+є для числа решений уравнения Q^m) - Q₂{k) = h с "весами" exp(-(Qi(m) + Q₂(k))M где п Є N, h є N, h < n.

3. Доказательство оценки 0(п²/^3+є) остаточного члена в асимптотической формуле для числа решений уравнения Q^m) - Q₂(k) = h с "весами" exp(-(Qi(m) + Q₂(k))/n) при условии, что дискриминант поля 6_F

нечетное число.

4. Доказательство асимптотической формулы с остаточным членом порядка n^2/3+ для числа решений уравнения m²₁+m²₂-k₁²-k₂² = h с "весами"

exp(-(m?

5. Уточнение остатка в асимптотической формуле для числа решений

уравнения Q_x(m) - Q₂(k) = h с "весами" exp(-(Qi(m) + Q₂(k))/n) в случае, когда дискриминант поля 6р = —ро, где ро — простое число, ро —> оо с ростом основного параметра п, а параметр /г удовлетворяет условиям: h = p₀h_h (h_upo) = l, h^p⁴₀.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в дальнейших исследованиях, посвященных аддитивным задачам, а также при разработке специальных курсов по теории чисел.

Достоверность. Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, определяется обоснованными теоретическими выкладками и строгими доказательствами, опирающимися на методы элементарной и аналитической теории чисел.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах и международных конференциях:

Семинар «Аналитическая теория чисел и приложения» под руководством профессора В.Н. Чубарикова и СА. Гриценко, Механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова (2013-2014 гг.)

Международная конференция по алгебре и теории чисел, посвященная 80-летию В.Е. Воскресенского, Самара, 21-25 мая 2007 г.

Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов - 2008», Москва, 8-11 апреля 2008 г.

Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов - 2011», Москва, 11-15 апреля 2011 г.

Международная конференция «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел», Белгород, 17-21 октября 2011 г.

+ ml + kf + k1)/n), где n Є N, h Є N, /і ^ п^є.

Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения», Белгород, 26-31 мая 2013 г.

XI Международная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», Саратов, 9-14 сентября 2013 г.

Личный вклад автора. В диссертации изложены результаты, полученные автором самостоятельно.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах автора, в том числе 4 статьи в журналах из списка ВАК РФ. Список статей приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Список литературы содержит 28 наименований. Общий объем диссертации — 110 страниц машинописного текста. Диссертация содержит 2 таблицы.