Введение к работе
"1
і Тї.сІРУІпу, совпадающую о произведением двух ее /собственных/ подгрупп, называют факторизуемой этики подгруппами, или раз--^лоймои в их произведение.Аналогично можно говорить о факто-v ~|Йуемости группы несколькими попарно первстановчными под-^.''груйпами я даже бесконечным их числом. В о тли чи а от общеизвестных и играющих в теории групп весьма важную роль "классических" видов произведений, таких, например, как прямое я полупрямое произведение, в этом определении не делается каких-либо предположений о пересечении подгрупп-множителей и о способе их вложения в группу. От них не требуется, скажем, инвариантности, субнормальное или субинвариантности в группе. Понятно поэтому, что исследования, связанные с факторизу-емостыо группы ее подгруппами, с выяснением свойств группы в зависимости от внутренних свойств подгрупп-множителей в общем случае представляет значительные трудности.
Отметим, что с факторизационными задачами связаны некоторые весьма яркие результаты в теории групп. Например, известно, что группа, факторизуемая двумя конечными разрешимыми подгруппами, может быть простой группой. Однако группа, факторизуемая двумя конечными нильпотентными подгруппами, всегда является разрешимой группой /0.Кегель /I9SI/, Г.Виландт/1958//. К настоящему времени описаны все известные конечные простые группы, факторизуемые двумя разрешимыми подгруппами /Л.С.Каза-рин /1986//. Далзе, классическая теорема Ф.Холла /1937/ утверждает, что конечная группа разрешима тогда и только тогда, когда она допускает факторизацию некоторыми своими попарно перестановочными примарними силовскими подгруппами.
Исследованиям неабелевых групп, связанным с их факторизацией /в общем смысле/, по-видимому, положила напало знаменитая теорема У.Бернсайда /1904/ о разрешимости конечных бипримарных групп /бипримарная группа, как известно, является произведением двух примарних подгрупп/. В 30-50-е годи появляются результати Ф,Холла /один из них отмечен выше/, С.АЛунихина, которые дают факторизаниониыа критерии непростоты и разрешимости конечных групп, устанавливают наличие факторизации у конечных групп различных классов. В 50-х годах появляются такжа лесле-
2 доваяпя Й.Сепа, Н.Лто, Г.Вилавдга, Б.Хупперта и др. Особенно важными достижениями в этот период, по-видимому, следует считать теорему Б.Хугшврта /1953/ о сверхразрешимости конечной группы, разложимой в произведение некоторых своих попарно пе-реотановочннх циклических подгрупп, и теорему О.Кегеля-Г.Ви-ландта /1961,1958/ о разрешимости конечной группы, факторизуе-мой попарно перестановочными вильпотептными подгруппами. В дальнейшем в области факторизации конечных групп были получены многие важные результаты /Л.С.Казарин, Л.А'Шеметков, В.С.Монахов, Ц.Арад, П.Роули, В.Л.Мазуров, С.А.Сыскин и др./. Все отмеченные результаты относятся к конечным группам. Таким образом, в области конечных групп давно и интенсивно ведутся факториэационные исследования, и можно уже говорить о сложившемся факторизационном направлении.
Иначе обстояло дело с факторизационными исследованиями в области бесконечных групп. Здесь до середины 60-х годов были получены лишь отдельные изолированные результаты. Отметим основные из Них. Р.Бэр /1940/ доказал, что локально нормальная группа локально разрешима тогда и только тогда, когда она фэк-торизуется некоторыми своими попарно перестановочными силов-скими р -подгруппами по разным простым р . Л.Редей /1950/ и П.Кон /1956/ получили описание /с помощью образующих элементов и определяющих соотношений/ бесконечных групп, факторизуе-мых двумя циклическими подгруппами с равным единице пересечением. Н.Ито /1955/ установил, что произвольная группа, фактори эуемая двумя абелевыми подгруппами, имеет абелев коммутант /или, что то же, не более чем двуступенно разрешима/. К рассматриваемой тематике можно отнести некоторые результаты П.А. Гольберга. В.П.Щунков /1964/ получил исчерпывающее описание групп, которые могут быть представлены в виде равномерного произведения некоторых своих примарних подгрупп.
В конце 60-х - 70-а Годы абстрактная теория групп достигла отапени своей зрелости. Были получены многие фундаментальные ключевые результаты, определились важные и плодотворные понятия, методы исследования. Во многом это произошло благодаря вклада в ее развитие таких известных алгебраистов, как О.'О.Шглидт, А.Г.Курой, С.Н.Черников, А.И.Мальцев, Р.Бэр, Ф.Холл, П.Г.Конторович,
Б.И.ЇЇлоткин, Н.ЇІ.Кнрі'аиолов, А.Н.Кострикин, П.С.Циников, СИ. Апян, В.П.Шунков, 0.Кегель и R А.Варрриц, А.П.Олъгаанский и др. Среди наиболее важных объектов исследования видалились следующие классы групп: нильпотеитнив и локально нильпотентные группы; разрешимые, и локально разрешимые группы; /W-групгш и другие классы групп Курошз-Черникова; линейные группы; локально ступенчатие гругши; периодические группы. Определился также как один из типичных и плодотворних подходов к изучению бесконечных групп подхоц, связанный о наложением на группу различного рода условий конечности. Среди наиболее часто используемых условий конечности выделялись: условие минимальности Для всех подгрупп /или для абелевых, или для неабелевнх подгрупп/; условие минимальности для примарних подгрупп; слойняя конечность; конечность специального ранга; конечность над центром. Успехи в абстрактной теории групп создали исходную базу и во многом породелили постановку задач в факторизационних исследованиях в области бесконечных групп, где теряют силу многие фундаментальные фаты из теории конечних групп. Центральными здесь являются задачи того же рода, что и в общей теории групп в целом. Их э самом общем виде можно сформулировать так,
-
Если группа, принадлежащая к одному из указанных вшпа классов, факторизуется некоторыми своими попарно перестановочными подгруппами, удовлетворяющими тому или иному условию конечности, то н« будет ли она сама удовлетворять этому условию. Если нет, - то какому-либо более слабому из этих условий.
-
Если группа, принадлежащая к классу 3 „йакторизуетоя некоторыми своими попарно перестановочными подгруппами из класса 7>J , то не будет ли она входить также и в класс 0Л .
Рменио в конце 50-х - ?0-е годы происходит оживление в исследовании бесконечных факторкзуемнх групп. Г! наиболее интересным результатам здесь о, л'--чует отнести результаты Н.Ф.Сесе-кииа, О.Кигйлл, Б.Ак'бврга, ІІ. Г. Васильева, Д.И,Зайцева, послужившие стимулом для ііальнеі'чіих активных исследований.
Суі'іястйгіїьиііі сдвиг в Фачторизчшютшх исследованиях бесконечных групп произошел і! ппелеиіне 10-11 пег. Пе каеппсь ;»з-зультяточ автора, которое будут охарн"терияопш<ч иигя, отмч-тим здесь ричупьтптн Д.И.і'акцена, .Я.С.Назаринн, Б.Лнберга,
Дж.Леннокса и Дк.РоузблеАда, Д,К.Робинсона, Н.К.Сучкова, РЛо-улетта, С.В.Иванова, Я.П.Снопка, В.И.Сушанского.Дж.Уилсона.
Прежде чем перейти непосредственно к содержанип диссертации, напомним, что в наяшх исследованиях но наллгаптся какие-либо ограничения на способ вложения в факторизуемуга группу подгрупп--множиталей. В связи с этим заметим, что исследованию свойств групп, факторизуемых инвариантными подгруппами, в зависимости от свойств подгрупп-множителей посвящено немало работ. Глубокие результаты здесь получены, прежде всегО^Б.Юлоткиным и его учениками, а также Р.Бэром, Ш.С.Кемхадзе, К.Грюнбергом, К.Гиршем и др. Доловие инвариантности оказывается существенным: снятие его влечет за собой и потерю соответствующих свойств всей группой./
Реферируемая диссертация носит теоретический характер. Она посвящена исследовании бесконечных групп, факторизуемых подгруппами с теми Или иными заданными свойствами. Б ней решается различные задачи, постановка которых в общем виде охарактеризована выше /см. пп. I и 2/. Диссертантом получен ряд результатов принципиального характера, связанных с классами групп и условиями конечности, которые были отмечены виио.
Результаты автора с учетом результатов других исследователей, упомянутых ранее, позволяют говорить об определившемся к настоящему времени и в области бесконечных групп факторизацион-ном направлении исследований.
Автором использовались в основном методы и результаты абстрактной теории Групп. Особенностью его подхода к исследованию является выделение и активное использование широкой системы подгрупп, факторизуемых относительно рассматриваемого разложения всей группы.
Результаты диссертации являются новыми. Они могут быть использованы при'дальнейшем развитии факториаационного направления в общей теории групп, при исследовании обобщенно разрешимых групп, групп с заданными условиям конечности.
Результаты диссертации докладывались ее автором на семинаре по теории групп при Институте математики АН УССР /Киев/, на алгебраическом семинаре при Киевском госуниверситзте, на семинаре по теории групп при Институте математики и механики
УрО АН СССР /Свердловск/, на алгебраическом семинаре при Уральском госуниверситетв /Свердловск/, на семинаре "Алгебра и логика"/Новосибирск/, на алгебраическом семинаре Московского госуниверситета,на семинарах по теории групп при Гомельском и при Красноярском госуниверситетах, на алгебраическом семинаре при Рижском госуниверситете, на объединенном алгебраическом семинаре при ШЛИ АН СССР и Ленинградском университете. Автор выступал с докладами на УП-ІХ Всесоюзных симпозиумах по теории групп /Шушенское, 1980 г.; Сумы, 1982 г.; Москва, 1984г./, на ХУ1І1 Всесоюзной алгебраической конференции /Ш-гаинев, 1985 г./, на Международном математическом конгрессе /Варшава, I98S г./, на Международной алгебраической конференции /Новосибирск, 1989 г./.
Результаты диссертации опубликованы в одной монографии, 24 статьях в научных изданиях; часть из них была анонсирована в сборниках тезисов докладов конференций и симпозиумов. Список публикаций приведен в конце реферата.
Диссертация состоит из введения, трех глав /разбитых на параграфи 1-6, 7-Ю, 11-16/ и списка литературы, включающего 170 наименований. Общий объем диссертации 261 стр.машинописи,