Введение к работе
Актуальность темы. Следуя [16], алгеброй Шевалле LK мы называем алгебру Ли над ассоциативно-коммутативным кольцом К (с единицей) с базисом Шевалле [13, 4.4], [18], сопоставленным произвольной системе корней Ф. Подалгебру в Ск с базисом из элементов er (r G Ф+) базиса Шевалле называем нильтреугольнои и обозначаем через НФ(К). Для типа Ап_i она изоморфна алгебре Ли, ассоциированной с алгеброй NT(n, К) (нижних) нильтреугольных п X n матриц над К. Предметом диссертации является проблема
(A): Описать автоморфизмы нильтреугольных подколец МФ(К) ал)ебр Шевалле Ск.
Исследования автоморфизмов классических линейных групп отражаются в известных обзорах [5], [15] и др., а для алгебр и групп Шевалле см. [17], [7], [11]. Взаимосвязанное описание автоморфизмов кольца NT(n,К), его ассоциированного кольца Ли (т.е. лиева кольца NФ(К) типа Ап_г) и присоединенной группы, изоморфной унитреугольной группе UT(n,K), найдено в [4].
Автоморфизмы унипотентного радикала U в подгруппе Бореля групп лиева типа над полем К описал в 1970 году Дж. Гиббс [14] при К = 2К = Ш, см. также [1 , Проблема (1.5)]. Завершил их описание в 1990 году В.М. Левчук [3]. Задача (A) ставилась в [3] и была решена там же для типа D±.
С теориями автоморфизмов и изоморфизмов линейных групп и колец связаны восходящие к А.И. Мальцеву [6] теоретико-модельные исследования [8], [10]. Для групп UT(n,K) и колец NT{n,K) см. О.В. Белеградек [9] и ссылки там же. Тесно связанные вопросы описания автоморфизмов и элементарных эквивалентностей групп U, алгебр и колец Ли NФ(К) отмечаются в обзоре [2].
В работе [12] изучается следующая проблема
(B): Описать автоморфизмы алгебр Ли МФ(К))
1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант 16-01-00707.
Известно, что при переходе от алгебр к кольцам Ли группа автоморфизмов расширяется. Так, добавляются кольцевые автоморфизмы, индуцированные автоморфизмами основного кольца, расширяется подгруппа центральных автоморфизмов, т.е. действующих тождественно по модулю центра.
Вопрос (B), как и вопрос об Ant U в статье Гиббса [14], исследовался в [12] при K = 2K = ЗК, а для некоторых типов при более слабых ограничениях; во всех случаях аннулятор Л2 элемента 2 в K нулевой и появляется только один тип исключительных автоморфизмов.
Оказывается, когда Л2 = 0, как раз и появляются разнообразные исключительные автоморфизмы, что потребовало в [3] ввести для их систематизации гиперцентральные автоморфизмы. Автоморфизм группы или кольца Ли R, являющийся единичным по модулю m-го гиперцентра и внешним автоморфизмом по модулю (га — 1)-го гиперцентра, называют гиперцентральным высоты га или, кратко, гиперцентральным автоморфизмом, когда R не совпадает с га-м гиперцентром.
Ступень нильпотентности кольца Ли NФ(K), а поэтому и функция х = х(Ф,K) наивысшей высоты его гиперцентральных автоморфизмов ограничены числом Кокстера h = к(<$>) системы корней Ф. Ограниченость функции высоты х(Ф,K) константой установлена в описаниях Ant NФ(K) для типа An в [4] и описаниях автоморфизмов групп U над полем в [3]. Естественно, возникает вопрос о наилучшей оценке функции х(Ф, K) и, в частности, следующий вопрос.
(C): Всегда ли функция х(Ф,K) ограничена константой, не зависящей от ранга Ф ?
Цель диссертации - исследовать проблемы (А), (B) и (C) для классических типов.
Методы исследования. Наряду с классическими методами общей теории групп и колец, используются методы исследования алгебр Шевалле и групп лиева типа, разработанные в красноярской алгебраической школе.
Научная новизна и практическая ценность. Все основные результаты диссертации являются новыми. Работа носит теоретический характер.
Апробация диссертации. Результаты диссертации апробировались на семинаре "Теория групп"(Новосибирск, ИМ СО РАН им. С.Л. Соболева), на Красноярском алгебраическом семинаре при СФУ и на международных конференциях ”Алгебра и логика: теория и приложения” (Красноярск, 2013), ”Алгебра и приложения” (Нальчик, 2014), "Мальцевские чтения"(Новосибирск, 2015), "Молодежь и наука"(Красноярск, 2016).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1*] - [8*] и включают статьи [1*], [2*] и [3*] в изданиях из перечня ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 75 страницах, состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы, включающего 37 наименований. Номер теоремы, леммы и др. включает последовательно номер главы, параграфа и порядковый номер в параграфе.