Введение к работе
Актуальность теш. Понятие автоморфизма является общим в математике. Оно имеет смысл для любого ипояеетва,наделенного некоторой структурой. Для любого типа алгебраических систем - полей,колец,модулей,групп - симметрии соответствующих инокеств,сохраняющие основные операции,назнвавтся автоморфиз-маш. Поскольку симметрии являются вакнейгшда характеркстика-ки математических ( добавим: не только татетагэтесках.но также физических,хпгяческлх...) объектов,описание автоморфизмов является актуальной задачей. АвтоморсГхгзш, а их совокупность в классических случаях образует группу относительно операгпш кошозлцип, интересны не только как выразители симметрии. Вак-ше классы групп ( напрлмер.латричяне группы ) воплощаются в образе групп автоморфизмов. В ряде случаев их изучение прпзо-дпт к созданию глубоких теорий. В 'современных исследованиях роль автоморфизма как классифвдирущего инструмента расширяется. Так, например,ішогие понятия теории моделей - ^-категоричность, стабильность теорий - иогно сторцулзровать па языке автокорйззыов.
Евд результатов об автоморфизмах з теории групп,как-то: теорег,ш Нпльсеяа и Уаитхеда об автошрфизках свободных групп, Гапьаца - о существовании внесшего авгоморїизка у конечной нециклическое р-грушш,Тбі.шсо:іа - о нильпотентности группы,до-. пускащей регулярный автоморфизм простого порядка.пркзнаяы классическая ( сгл. [2зЗ , [24] , [25^ ). Из сравнительно-недавних достижении большой резонанс вызвала теорема Іерстена [26] о конечной порогденности группы неподвижных точек авто-корйизш свободной, грушш конечного ранга,высоко оценена классификация автоморфизиов свободных групп, осуществленная Бествя-
ной л Яанделем С271 .Интересны описания конечных груш автоморфизмов свободных груш,полученные в Новосибирске В.ДЛДазу-ровым и Д.Т.Храмцовым [2б]-$30] . Эти х другие результаты по автоморфизмам груші отражены автором в обзоре [Зї] ( сіл. танке 125] ).
Современная теория разрешали групп иногии обязана А.И.Мальцеву и К.И.Каргаполову,определнвшы ваяние направления еа-раз-вптия,в том числе и в изучения групп автоморфизмов. Из математиков, ввесшх вклад в наші представленая о группах автоморфизмов разрешимых групп,коано оплетать Бахнута я 1'очязуки [32]- С.353 исследования которых наиболее близки автору,а гакне Андрег дакиса,Брайнта,Гроувза,К.Іупгіг,КігІІ.!Іерзлякова,Д.Робіінсона,*^й-некена и Лдбека,А.Я.Емелькана ( см. tv^-j^-i} ).Изучение проб-леш эндэморфной сводаиости вызвано к гпзші одіпп.: обіїсл вопросов ІИЕДона [45] ( cw. гакяе [46] ). Наконец,исследование груші автомор&зшв проконечных групп,провсда.;ое в диссертации, относится к сравнительно новому ваправлевзпо.вклвчащеиу работы Лю-бопкогс [47] .С.В.Мельникова {48] , XepSopra п Рзбса {.49] » лерсшктевкость которою обусловлена как связям рассг-атрлвае-кнх вопросов с теорией поле,так и наличие:.: прогрет* последова ккй.восходяеєЕ к Хрстекдику н Двлинп.
Цель таботы.Яредставзть :.:егод шгтеппретацпп дтс^аптошз: урав^ нений б разрешимых группах и в свободных кольцах,дать его прпло-яеккя: з решеншг проблем экдоглорЗной сводзлоетп и разреппкостн' бескоэййяциентннх уравнений в указанных снстешх.Бзестп группы катряц вычетов ж описать с ах послоцью группы авгог.:оргёз.'.:ог свободных метабелевнх групп конечных рангов,включая- репенпе пзгест ной прсбяеш о конечной: порожденное?:! этих групп ддя $гхга боль
его 3. Описать примитивные системы элементов В СВОбОДНЫХ!»-
абеленых и в свободных метабелевых тигьпотентннх группах,ре-ив вопрос об их ивдуцированности со овободной группы. Описать ормачыше автоілорїизш свободных разрешимых трупп. Цінить лроб-еілу Любоцкого о породцаегсосги групп автоморфизмов сзободных ро-р-групп ка основе нсследоаания породдаегдостп групп автомор-нзмов свобо.шых штабелевнх про-р-групп. Решить проблемы : .И.Каргаполова о существовании конечно порожденной кшгьпотект-ой группы с неразрешимой универсальной теорией,Уилсона - о ш-ипе вербальных подгрупп псшэдиклических груш.Бахмута и Мочизу-и - о выполнении альтернативы Тптса дая групп автоморфизмов ко-ечно пороаденних раэрешмшх групп. Научная новизна.Все осповпве результаты диссертации являются
ОБЫШ.
Практическая цоішость. Лиссертедия носит теоретический харак-ер. Получеипке результаты могут быть использовала в научной ра-оте в теории групп к в теории колец.
Публикации.Сснознне результаты диссертация опубликовала в ра-отах,список которых приведен в конце автореферата.
Апробация работы.Результаты диссертации докладывались ка Иеа-рпародннх коиГереициях по алгебре ( Новосибирск S8S ) Баргаул DCI }, на !G и 1С Псасогаянз алгебраических конференциях, на б, ,Г Всесоюзних сілатозиугах по теории групп,на Сколах в Барнауле
I9C8 ) п Споке ( ICC5 ),ла алгебраических семінарах в !й! СО Щ,НІУ,ІЯУ,7рІ7,АІУ,:&зІУ,з:П7,-а такте на сеипнарах ушаерся-этрэ "апптоба ( Знкяяпег ) к Карлетон ( Оттава ) в ІСападе.
Cfoei.r и струптута габоты.Ддссертация содержит 229 страниц натопленого текста и состоит аз введения и 5 глаз,разбитых ка -Ї8
параграфов,а такие списка литературы,вкяэтающего 56 наженова-кий. Основные результата автора апор-зглированн в вдце 25 теорем, 23 предложений а 33 следствии,по которым использованы сквозные нумерация'. ЇЇзвестідіе п вспомогательные утверждения в виде теорем и лем.т ішеют двойную куі.тераідш. КРАТКОЕ СОДЕЕШШЕ ДИССЕРШЩ