Введение к работе
Актуальность темы. Одним из основных разделов аналитической теории чисел является теория мультипликативных и аддитивных функций. Исследование этого вопроса далеко продвинуто для случая кольца целых рациональных чисел Z. Для алгебраических полей степени д^2 соответствующие теории менее разработаны, ввиду более сложной арифметики этих полей. Тем не менее, ряд труднейших задач классической теории чисел получили свое разрешение" благодаря методам, развитым в многомерной аналитической теории чисел. Первые важные результаты в многомерной аналитической теории чисел были получены в работах Э.Гекке, Х.Радемахера, К.Зигеля. Много новых результатов принадлежат Й.П.Кубилюсу и его ученикам. Но в большинстве исследований, касающихся распределения значений мультипликативных и аддитивных функций целых алгебраических чисел в арифметических прогрессиях, разность прогрессии предполагалась фиксированной. Поэтому можно считать актуальной разработку методов построения асимптотических формул для сумм значений мультипликативных или аддитивных функций целых гауссовых чисел, принадлежащих узким секторам и арифметической прогрессии с растущей по модулю разностью прогрессии.
Цель работы. Исследование распределения значений мультипликативной функции делителей %(а.) и аддитивной функции w(a), пред-ставляющуй собой число различных простых делителей с, в кольце целых гауссовых чисел. Для функции t(a) изучается распределение ее значений в арифметической прогрессии с растущей нормой разности прогрессии и в узких секторах. Для функции w(a) рассматривается распределение ее значений в узких и коротких секториальшх областях.
Научная новизна. При исследовании распределения значений мультипликативных функций мнимого квадратичного поля в арифметических прогрессиях, как правило, используется аппарат ^-функций Гекке с характером группы классов идеалов по модулю некоторого идеала А. Поэтому для выделения данной арифметической прогрессии вводится дополнительное суммирование по всей группе характеров той А, а это при отсутствии достаточно хороших-оценок сумм характеров обычно существенно ухудшает остаточный член асимптотической формулы для сумматорной функции изучаемой мультипликативной функции. В диссертации с помощью обощенной 2-функции Гекке
Z(a,\,b,b0) = > є , Бе з > 1
возникает возможность исследовать доведение ряда мультипликативных функций гауссовых чисел в арифметических прогрессиях ч в узких секторах без дополнительного суммирования по характерам. Этим методом в работе изучается только функция делителей і(а), но этот подход применим для достаточно широкого класса мультипликативных функций, производящие ряда которых могут быть выражены через Z-функцйи Гекке. Функциональное уравнение для обощенной Z-фуякции Гекке не обладает свойством симметричности (что иу>ет место для обычной 2-функции Гекке); но это осложнение удается обойти с помощью сумм Клостермана для поля гауссовых чисел.
Практическая значимость. Развитыми в диссертации методами можно построить асимптотические формулы для сумматорной функции делителей произвольного мнимого квадратичного поля, а также исследовать локальное и интегральное поведение целого класса аддитивных функций g(n) в узких секторных слоях, если только произво-
дящие ряды для соответствующих мультипликативных функций zs(n), zeQtn, z - постоянное число, удовлетворяют аналогу теоремы Рама-чандры, о которой идет речь в приложении диссертации.
Апробация. Полученные в диссертации результаты докладывались на семинаре по теории чисел в Московском государственном университете, на Всесоюзной конференции по теории трасцендентных чисел и ее приложениям (Москва, 1983), на Всесоюзной конференции по теории чисел и ее приложениям (Тбилиси, 1985), на Всесоюзной школе по теории чисел и ее приложениям (Минск, 1989), на Республиканской конференции по теории чисел (Ташкент, 1990), на Республиканской конференции, посвященной 125-летию со дня рождения А.М.Ляпунова (Одесса, 1982), на семинаре по теории чисел Одесского государственного университета, на семинаре по теории чисел в Институте математики АН Б, на общегородском семинаре "Алгоритмические и структурные вопросы алгебры и теории моделей" в Алматинском государственном университете им. Абая.
Публикации. По теме диссертации опубликовано одиннадцать работ, из них семь выполнены в соавторстве. Список публикаций приводится в конце реферата.
Объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и напечатана на 109 страницах машинописного текста, включая список литературы из 44 названий. Приложения помещены на 19 страницах.