Арифметические свойства рядов некоторых классов в полях с неархимедовыми нормированиями Чирский, Владимир Григорьевич

Введение к работе

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Основная часть работы посвящена распространению одного из важных современных методов теории трансцендентных чисел - метода Зигеля-Шидловского на новый класс рядов. Вкратце изложим историю развития этого метода и сформулируем основные результаты, полученные с его помощью.

В 1873 году Ш.Эрмит создал аналитический метод, используя который ему удалось доказать трансцендентность одной из классических постоянных- числа е.

Напомним, что число а называется алгебраическим, если оно является корнем отличного от нуля многочлена Р(х) - а_лх" +.. ,+а,х + а₀ с рациональными коэффициентами. Комплексное ( в частности, действительное) число а называется трансцендентным, если оно не является алгебраическим.

Развивая метод Эрмита, Ф. Линдеман в 1882 году доказал трансцендентность числа я , тем самым получив отрицательное решение проблемы квадратуры круга. Линдеман сформулировал, а КВейерштрасс доказал теорему, которая полностью решала вопрос о трансцендентности и алгебраической независимости значений показательной функции в алгебраических точках.

Комплексные числа а „..., я „ называются алгебраически зависимыми, если существует отличный от тождественного нуля многочлен P(x_t,...,x_m)C рациональными коэффициентами, для которогоР(а„...,a J =0. В противном случае эти числа называются алгебраически независимыми ( в частности, каждое из этих чисел является трансцендентным ).

Теорему Линдемана -Вейерштрасса можно сформулировать так Если а „...,а „ — алгебраические числа, линейно независимые над полем рациональных чисел, то числа е ",..., е- — алгебраически независимы.

Развивая и обобщая классический метод Эрмита - Линдемана, К. Зигель¹ в 1929 году опубликовал новый метод доказательства трансцендентности и алгебраической независимости значений в алгебраических точках аналитических функций некоторого класса, содержащего, в частности, е*. Основной результат, полученный К.3игелем, относится к функции

¹ Siegel C.L.Uber einige Anwendungen Diophantischei Approxiimtionen II ., Phys.-Math.Kl.-1929-1930.-Nl.P-l-70.

удовлетворяющей линейному дифференциальному уравнению второго порядка

2\+1 y"+—j~y'⁺y^s0-

Функция ,(г)отличается от известной функции Бесселя /,(z) только множителем——- ~\ , гдеГ(г)- функция Эйлера ,а ЛГ„(г)=J₀(z).

К. Зигель доказал следующую теорему: Если Л — рациональное число, отличное от половины нечётного числа, 4*0,4 — алгебраическое число, то числа К_г(\К1(.)~ алгебраически независимы.

Предложенный Зигелем метод можно применять к одному классу целых функций, названному им Е-функциями.

Аналитическая функция

" г"

называется Е-функцией, если

1. с„ єК, п = ОД,..., где К —некоторое алгебраическое числовое поле конечной степени над полем Q рациональных чисел

2. Для любого е> О

0 = 0(О,П->со,

где для алгебраического числа а символ \а | обозначает наибольшую из

абсолютных величин самого числа а и всех алгебраически сопряжённых с ним чисел.

3) Существует последовательность { такая, что q„c_k «=Zk- кольцу целых чисел поля К, = 0,1,..., л, л = 0Д,2,... и

Простейшие примеры Е-функций — многочлен с алгебраическими коэффициентами, e'.sin г, cos г .Е-функции образуют кольцо функций, замкнутое относительно операций дифференцирования, интегрирования в пределах от 0 до г и замены аргумента г на Дг, где X — алгебраическое число. Е-функции с коэффициентами из поля К называют КЕ-функциями.

В 1949 году ЬСЗигель изложил свой метод в виде общей теоремы, сводящей доказательство утверждения об алгебраической независимости значений Е-функций в алгебраических точках к проверке некоторого достаточного аналитического условия, названного им условием нормальности, для совокупностей произведений степеней рассматриваемых функций.

В 1954 году А.Б.Шидловским² была опубликована теорема, аналогичная теореме Зигеля, в которой условие нормальности было заменено менее ограничительным условием неприводимости.

В 1955 году А.Б.Шидловский опубликовал критерий алгебраической независимости значений в алгебраических точках Е-функций, удовлетворяющих системе линейных дифференци -альных уравнений.

В формулировке критерия содержатся понятия, которые часто используются в дальнейшем. Пусть V-поле, a W - коммутативное кольцо или поле, содержащее поле V.

Элементы а „...,а„ eW называются алгебраически зависимыми над тюлем V, если существует отличный от тождественного нуля многочлен P(x_lt...,x_m)c коэффициентами из поля V такой, что Р(а„...,а „)=0. В противном случае а „..., а _я называются алгебраически независимыми над полем V.

В случае, когда поле V представляет собой поле алгебраических чисел, а поле VV - поле комплексных чисел С, говорят просто об алгебраической зависимости ( соответственно, алгебраической независимости ) чисел а_х,...,а_т є С

Пусть аналитические функции /](г) /„(г)составляют решение

системы линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка

y-_t=ZQ_t..y„k = l...,m,Q_kJ (1)

а г = Т{г) єС[:]—многочлен, являющийся общим наименьшим знаменателем всех рациональных функций Q_tt.

Сформулируем первую основную теорему А.Б.Шидловского ([Трансцендентные числа,с.91]): Пусть совокупность Ъ-функций /,(г),..., /„{2)составляетрешение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (1) и однородно алгебраически независима над C(z),алгебраическое число, Г( ) *0.

Тогда числа/J(/„(*!;) однородно алгебраически независимы.

В случае, когда рассматриваемые Е-функции составляют решение системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений

^г Поскольку в книге А.Б.Шидяовский. Трансцендентные чист.М.:Науха,1987 содержится систематическое изложение теории Е-функний, а также очень подробная библиография, в дальнейшем при ссылках на результаты, содержащиеся в ней, вместо данных оригинальных статей мы приводим номера соответствующих страниц этой книги.

имеет место аналогичный результат, носящий название второй основной теоремы([Трансцендентные числа, с. 127]).

В 1970 г. А.И.Галочкин³ опубликовал теорему об алгебраической независимости значений Е-функций в трансцендентных точках, допускающих достаточно хорошие приближения алгебраическими числами.

Развивая метод, А.Б.Шидловский обобщил его в направлении, позволяющем получать арифметические результаты относительно совокупностей Е-функций, алгебраически зависимых над полем рациональных функций.

Пусть, как и выше, V-поле, a W - коммутативное кольцо или поле, содержащее поле V. Если Uc W и наибольшее количество алгебраически независимых над V (однородно алгебраически независимых над V ) элементов U равно/, то число /называется степенью трансцендентности множества U над V {однородной степенью трансцендентности множества U над V) и обозначается tr deg _VU( tr deg _v U).

Сформулируем третью основную теорему((Трансцендентные числа,с.143]): Пусть совокупность Е-функций /,(z),...,/„(z), т ^ 2, (те 21) составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (\)(системы линейных дифференциальных уравнений {2)) и степень однородной трансцендентности (степень трансцендентности) функцийf_x(2),...,f_m(z)Had С{z)равна І, Ойііт, — алгебраическое число, Т($}*0(многочлен T{z) представляет собой общий наименьший знаменатель коэффициентов системы (1Х( 2))).

Тогда степень однородной трансцендентности(стгпень трансцендентности) чисел f_t(.4),—,f.(4) также равна I.

В теории трансцендентных чисел кроме качественных понятий иррациональности, трансцендентности и алгебраической независимости существуют важные количественные понятия меры линейной и алгебраической независимости.

Пусть а,,..., о,,иг2- действительные или комплексные числа. Мерой линейной независимости чисела_х,...,а„тг2 .называется функция

і=Да„...,а„;Я) = тп^а,+...а_та_я[ где Я—натуральное число, а_к -целые числа, удовлетворяющие неравенствам|o»|sИ,к =\...,т, |а,)+...+|л,„|>0и минимум берется по всем числам а_к, удовлетворяющим указанным неравенствам.

³ Галочкин А-И. Об алгебраической независимости значений Е-функций в некоторых трансцендентных точках//УМН.-1970.-Т.25,№4.-С.168.

Очевидно, что качественный результат — линейная независимость — означает, что для любого натурального числа //справедливо неравенством >0.

Мера алгебраической независимости чисела„...,о:,,,т2:1 определяется аналогично. Первая и вторая основные теоремы допускают количественные уточнения об оценках мер линейной и алгебраической независимости.

Приведём несколько упрощённую теорему о мере линейной независимости, формулировка которой существенна для дальнейшего. Пусть К;, j = 1,...,h —алгебраические поля, сопряжённые с полем К, причём Ki=K Этим сопряжённым полям соответствуют возможные продолжения абсолютной величины| | с поля Q на поле К. Для є К пусть ,,...,,,-сопряжённые с . Для совокупности КЕ-функций /l(z),...,/„(z) пусть /,Дг),...,/„Дг) обозначают функции, которые получаются из исходных заменой всех коэффициентов их степенных рядов по степеням г на сопряжённые им числа из поля К,. Аналогично, для отличной от тождественного нуля линейной формы /(z,,...,z„) с коэффициентами -целыми числами из поля К, обозначим /,(z„...,z„) линейные формы, получающиеся из формы / = /, после замены всех её коэффициентов на сопряжённые числа из поля К,. Пусть є — любое число из интервала

Теорема, приведённая в книге [Трансцендентные числа, с.354] гласит: Пусть совокупность КЕ-функций f_s(z),...,f„(z) составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (1) и линейно независима над С( г), ~ алгебраическое число, Т( ) *0.

Тогда существуют поле К, и существует постоянная Ь, зависящая от функций /,(z),..., /„(z), чисел ти и поля К такие, что

І'л^д-.А.афбя¹--. (3)

Заметим, что для упрощения получения оценок мер целесообразно немного изменить определение Е-функции, заменив при некотором о 1 условие \с_П\ = 0(п^т),п—> на условие \с„\ = 0(с" ),л—»«= иусловие^, =<Э( л"), л -»= на условие ?„ = 0(с"), л -* со .соответственно. Такие Е-функции часто называют Е-функциями в узком смысле.

Кроме того, для IE-функций (символом I обозначают либо поле Q, либо некоторое мнимое квадратичное поле над Q ) показатель 1 - т-є можно улучшить, заменив число е>0 убывающей и стремящейся к нулю функцией от Я.

В работах А.Б. Шидловского, его учеников и ряда других авторов (достаточно полный обзор приведён в вышеупомянутой книге) построена

стройная теория арифметических свойств значений в алгебраических точках Е-функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям.

В 1929 г. К.3игель указал, что его метод можно применять при исследовании некоторых арифметических свойств значений ещё одного класса аналитических функций. Степенные ряды, определяющие эти функции, имеют конечный радиус сходимости. Он назвал эти функции G-функцгоши.

Функция

л»)-2 с,*-

называется G-функцией, если коэффициенты «^удовлетворяют тем же условиям, что приведены в определении Е-функции в узком смысле. G-функции образуют кольцо функций, замкнутое относительно операций дифференцирования, интегрирования в пределах от 0 до г и замены аргумента г на. Лг, где А — алгебраическое число.

В 1974 году А.И.Галочкин⁴ опубликовал теоремы, доказанные им для G-функций, обладающих так называемым условием сокращения факториалов.

В 1984 г.Г.В.Чудновский⁵ доказал, что это условие выполнено для всех G-функций: Пусть G-функуии/(г),...,/„(^составляют решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (1)и линейно независимы над С( г ) вместе с 1.

Тогда для любого е > 0 и любого отличного от нуля

числа г = ~,а eZ, 6 eN такого, что

числа 1,/0-),...,/„(г) линейно независимы над Q. Более того, длялюбых \,...,h„& Z ,удовлетворяюіцихусловию

Я=тах(|й4...,|А„|)>С₄, имеет место неравенство

k+K№+»'+KfM >Й ,

где С, = С,(/„ ...,/„, )>0, С₄ =С₄(/„...,/_я,г,г )>0~ эффективно вычисляемые постоянные.

Можно рассматривать не только действительные или комплексные значения G-функций. Имеются исследования о свойствах р-аднческих

* Галочкин А.И. Оценки снизу от значений аналитических функций одного класса//Мат.сб.-1974.-

Т.95(І37У6 3(ІІ).-С.39б-417.

⁵ChudnovskyG.V. Onappl5.

" Tschakaloff L.Aiithme1ische Eigenschaften. ..//Math. Arai-1921 .-V.80,P.62-74.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Построение теории, описывающей арифметические свойства значений некоторого нового класса степенных рядов, используя р-адическую модификацию классического метода Зигеля-Шидловского в теории трансцендентных чисел. В том числе: получение естественного решения задачи об отсутствии глобальных соотношений в алгебраических точках для этого класса рядов - доказательство отсутствия линейных, алгебраических глобальных соотношений при естественных условиях, доказательство отсутствия нетривиальных глобальных соотношений, соответствующих количественных результатов. Расширение понятия глобального соотношения на случай точек, представляемых во всех локальных полях с неархимедовым нормированием одним и тем же сходящимся рядом. Применение доказанных общих теорем к обобщённым гипергеометрическим рядам в случае рациональных параметров. Использование аппроксимаций Эрмита-Паде для доказательства отсутствия линейных глобальных соотношений для рядов с иррациональными параметрами. Построение аппроксимаций Эрмита-Паде для q-базисных гипергеометрических рядов и доказательство с их помощью линейной независимости значений рядов с двумя различными параметрами в числителе. Исследование арифметических свойств значений функций, удовлетворяющих некоторым функциональным уравнениям, принимаемых ими в совокупности полей с неархимедовыми нормированиями. Доказательства общих теорем об алгебраической независимости элементов поля о_р - пополнения алгебраического замыкания поля р - адических чисел

Q_p - над полем Q_p и примеры применения этих теорем к конкретным совокупностям чисел.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты работы являются новыми.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. Развита р-адическая модификация классического метода Зигеля-Шидловского в теории трансцендентных чисел, использованы аппроксимации Эрмита-Паде, вариант метода Шнайдера, предложен новый метод доказательства алгебраической независимости элементов поля Ci_p- пополнения алгебраического замыкания

поля р - адических чисел Q_p - над полем Q_p .

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты работы носят теоретический характер. Они могут найти применение в неархимедовом анализе, в теории трансцендентных чисел, при исследовании базисных гипергеометрических рядов.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы неоднократно докладывались в МГУ на заседании научно-исследовательского семинара по теории чисел, на заседании семинара по спектральной теории дифференциальных операторов под руководством академика

В.АСадовничего в 1999 г, дважды(в1999,2000гг) в Математическом институте Кёльнского университета(Германия),на Всесоюзной конференции "Теория чисел и её приложения" в 1985г. в г. Тбилиси, на Всесоюзной школе" Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел" в 1989 г. в г. Минске, на Международной конференции по теории чисел, посвященной 100-летию со дня рождения академика И.М.Виноградова в 1994г.в г. Москве, на конференции по теории чисел, посвященной 60-летию со дня рождения профессора А.А.Карацубы в 1997г.в г. Москве, на Международной конференции "Трансцендентные числа" в 2000 г. в г. Москве.

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 18 работ [1]-[18], содержащих все результаты диссертации. Работ, выполненных в соавторстве и включённых в этот список, нет.