Введение к работе
Предмет исследоваЕШя. Настоящая диссертация посвящена приложениям оценок тригонометрических сумм Г. Вейля [1], [2] с многочленом растущей степени в экспоненте к задачам аналитической теории чисел. Имеются в виду суммы вида
S = S(P) = J^ e27ri/(l), (1)
где f(x) — многочлен и его степень растет вместе с длиной промежутка суммирования Р.
Актуальность темы. Первым среди многочисленных возможных приложений такого рода оценок в свое время явился результат Дж. Литтлвуда [3] в асимптотическом законе распределения простых чисел [4], [5]. Именно применение метода Г. Вейля позволило ему дать первое уточнение результата Ш. де ла Валле-Пуссена [5], [6], касающегося границы нулей дзета-функции Римана. Дж. Литтлвуд получил следующее улучшение асимптотической формулы Ш. де ла Валле-Пуссена для количества 7г(х) простых чисел, не превосходящих х:
7Г(Х)= f Щ^ + O^e-V^Szbglogz) ^
где с > О — некоторая постоянная.
Исследования этой проблемы и ее обобщения на L-функции Дирихле были продолжены Э. Ландау [7] и другими (см. например, [8]-[11]). Наилучшие результаты здесь были получены методом И. М. Виноградова [12]-[15] П. Г. Чудаковым [16], [17], И. М. Виноградовым [18]-[20], II. М. Коробовым [21].
Перейдем теперь к общей постановке проблемы.
Аналитический смысл широкого круга задач теории чисел сводится к правильному учету вклада больших и малых значений функций в общую сумму. Техника рядов и интегралов Фурье позволяет свести подобные вопросы к учету осцилляции экспоненциальных функций мнимого аргумента. Таким образом возникает аналитическая проблема оценок экспоненциальных сумм с аналитической функцией в экспоненте. Но поскольку аналитическая функция сколь угодно точно приближается многочленом растущей степени, то становится ясным, что сколько-нибудь полное решение проблемы оценок экспоненциальных сумм от многочлена растущей степени с чисто мнимыми коэффициентами дает решение необозримого круга аналитических проблем. Данное направление исследовании — одно из основных в теории чисел. Но в столь общей постановке задачи современные исследования представляются достаточно скромными. В то же время сам факт наличия подобного рода результатов является крупным достижением математики. Эту мысль подтверждает пример асимптотического закона распределения простых чисел в натуральном ряде.
Отметим, что чем быстрее растет аналитическая функция, тем хуже она приближается многочленом фиксированной степени. Другими словами, при одинаковой точности приближения для быстрее растущей функции требуется, чтобы степень приближающего многочлена тоже росла быстрее. Это обстоятельство определяет актуальность задачи оценок тригонометрических сумм от быстро растущих функций в экспоненте.
Современные представления в данной проблематике и методы ее исследования разработаны А. А. Карацубой [9], [10], [23]. В частности, ему принадлежит пример быстро растущей функции
/(а:) = е<10«*>\ 1<7<|,
для которой он получил [23] нетривиальную оценку тригонометрической суммы.
Теоретико-числовые задачи, рассматриваемые в данной диссертации, связаны с оценками некоторых сумм подобного вида и их приложениями к аддитивной теории чисел.
Цель исследования. 1. Доказательство методом Адамара теоремы о современной границе нулей дзета-функции Римана. Установление зависимости между границей нулей дзета-функции Римана и ростом ее модуля в окрестности единичной прямой.
-
Получение оценок тригонометрических сумм специального вида с функцией в экспоненте, растущей на бесконечности быстрее многочлена.
-
Оценка сверху мощности исключительного множества в задаче о представлении натурального числа в виде суммы простого числа и числа из редкой последовательности.
-
Получение асимптотической формулы для количества представлений натурального числа в тернарной задаче с двумя простыми числами и одним редким слагаемым.
Практическая и теоретическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации и методика их получения могут быть использованы в теории дзета-функции Римана, в аддитивной теории чисел, в теории оценок тригонометрических сумм с быстро растущей функцией в экспоненте.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Чебышевских чтениях 1994 года в МГУ, на семинаре по аналитической теории чисел в МГУ под руководством профессоров Г. И. Архипова и В. Н. Чубарикова.
Публикации. По теме диссертации опубликованы пять работ.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Объем работы семьдесят страниц, список литературы включает сорок четыре названия.