Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Аппроксимация трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр характерами стр. 21
1 . Связь аппроксимируемости трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр характерами над полем с аппроксимируемостью компонент стр.21
2. Аппроксимация трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр характерами над полем стр. 27
3. Аппроксимация трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр рациональными характерами стр. 37
4. Аппроксимация трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр аддитивными рациональными характерами стр.41
5. Минимальность класса аппроксимации аддитивных рациональных характеров стр. 50
Глава II. Аппроксимация трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр относительно единично идеальных предикатов стр. 56
6. Аппроксимация относительно предикатов вхождения во множество единично идеальных элементов и равенства единично идеальных элементов стр. 56
7. Аппроксимация трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр относительно вхождения в единично идеальную подполугруппу стр. 70
8. Аппроксимация трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр относительно делимости и инверсности единично идеальных элементов стр. 85
Библиография стр. 89
- Связь аппроксимируемости трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр характерами над полем с аппроксимируемостью компонент
- Аппроксимация трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр характерами над полем
- Аппроксимация относительно предикатов вхождения во множество единично идеальных элементов и равенства единично идеальных элементов
Введение к работе
Теория полугрупп активно развивается в течение последних десятилетий и к настоящему времени является самостоятельной ветвью абстрактной алгебры. Настоящая работа посвящена аппроксимации трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр.
Аппроксимация - замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близким к исходным, - является одним из основных методов математики. Этот метод позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объектов, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). В математическом анализе, в геометрии, в теории чисел применяются методы аппроксимации различных объектов, а такие разделы математики, как теория приближения функций, численные методы анализа, по существу, целиком посвящены аппроксимации.
Широкое применение аппроксимационных методов в алгебре связано с именем академика А. И. Мальцева. В его работе [27] дано общее понятие аппроксимации алгебраических систем, показана связь финитной аппроксимируемости алгебраической системы относительно какого-либо предиката с алгоритмической разрешимостью проблемы этого предиката в рассматриваемой системе, что послужило толчком к исследованию аппроксимируемости полугрупп и других алгебраических систем. С начала 60-х годов прошлого века по настоящее время появилось большое количество работ, посвященных аппроксимации алгебраических систем различных классов, прежде всего групп, колец и алгебр. Этим вопросам посвящены работы как отечественных (А. И. Мальцев, М. И. Каргополов, 10. И. Мерзляков, Ю. М. Рябухин и др.), так и зарубежных (К. Гирш, Ф. Гроувз, Ф. Холл, Н. Блекберн и др.) авторов.
Аппроксимация полугрупп относительно предикатов также привлекла внимание многих исследователей и превратилась сейчас в обширную и интенсивно развивающуюся область теории полугрупп. Именно ей посвящены работы М. М. Лесохина, С. И. Кублановского, С. Г. Мамиконяна, Э. А. Голубова, М. В. Сапира, Ст. Шварца, Э. Хыоитта, Г. Цукермана, Э. П. Арояна и других алгебраистов.
Дистрибутивный закон является одним из основных, связывающих операции законов, многих алгебраических систем современной алгебры. Полукольца, кольца, поля, линейные пространства и другие, изучаемые алгеброй объекты, удовлетворяют дистрибутивному закону. Поэтому изучение дистрибутивных операций представляет значительный интерес. Дистрибутивный закон распространяется на случай, когда имеется несколько основных множеств и операций, заданных на этих множествах.
В настоящее время получили распространение многоосновные алгебры, начало изучения которых в общем виде положено Б. И. Плоткиным [29]. В многоосновных алгебрах несколько основных множеств и, кроме алгебраических операций, определенных на этих множествах, допускаются операции дистрибутивного типа, связывающие элементы из различных основных множеств.
В теории полугрупп рассмотрение многоосновных алгебр фактически начато Е. С. Ляпиным с изучения систем с внешним умножением, строение и структурные свойства которых подробно были исследованы М. М. Лесохиным [8, 13-15, 19]. Системы с внешним умножением - это ни что иное, как трехосновные полугрупповые дистрибутивные алгебры.
Определение 1, Пусть А, В, С - произвольные полугруппы, а / -отображение АхВ~*С, обладающее следующими свойствами: для любых а, ау а2 є A, b, hh Ьг є В: MbrbJ =f(a,bt)f(aM
Тогда тройку полугрупп А, В, С вместе с отображением / будем называть трехосновной полугрупповой дистрибутивной алгеброй (алгеброй) и обозначать (А, В, C.J).
На линейные пространства, полуавтоматы и М-автоматы можно смотреть, как на элементарные примеры трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр [28]. В математике существуют другие -классические примеры объектов, которые могут рассматриваться как трехосновные полугрупповые дистрибутивные алгебры.
Например, предложенное в 1894 году Т. Стилтьесом обобщение понятия определенного интеграла. Пусть D - аддитивная полугруппа вещественных функций, интегрируемых и дифференцируемых на отрезке [а, Ь], если интеграл Стилтьеса рассматривать как отображение DxD->R, b построенное по правилу: Vu{x),v{x)є D:I(u,v)= ju(x)dv(x), тогда система (D,D,RJ) является трехосновной полугрупповой дистрибутивной алгеброй.
Пусть V, W - векторные пространства над некоторым полем, как известно, существует тензорное произведение (т,Т), где T="V0W -пространство над тем же полем, билинейное отображение x:VxW—>T, удовлетворяющее определенным условиям, то есть (V,W,V0W,t) -трехосновная алгебра. Классическое тензорное произведение линейных пространств можно рассматривать как тензорное произведение групп, но в таком случае можно говорить об обобщении этого понятия и рассмотрении тензорного произведения полугрупп. Изучение тензорных произведений полугрупп было начато в конце 60-х годов прошлого века, первые результаты в этом направлении были получены Т. Хедом (1967), П. Грийе (1969), Р. Фулпом (1970).
Вопросами, связанными с билинейными отображениями полугрупп занимался А. В. Попырин, который нашел условия невырожденности билинейных отображений полугрупп [35], то есть условия существования невырожденной алгебры с совпадающими тремя компонентами.
Определение 2. Гомоморфизмом алгебры (Ai,Bi,Ci,fi) в (A2,B2,C2lf2) называется тройка ff=(a,/3,)) гомоморфизмов а:А]~>А2, р:В}->В2, у:Сі~*С2, которая обладает свойством: }{fi(a,b))=f2(a(a),^(b)), для всех а єАі, Ъ єВ,.
Одним из важнейших производных объектов, связанных с какой-либо данной полугруппой, является полугруппа характеров с операцией поточечного умножения. Основоположником теории характеров полугрупп является Ст. Шварц, важной составной частью этой теории являются работы Л. С. Понтрягина, М. М. Лесохина, И. Хъюэтта, X. Цукермана. Изучению строения полугруппы Нот(А, К), где К -полугруппа, полученная внешним присоединением нуля к мультипликативной группе всех комплексных корней из единицы, вопросам аппроксимации полугрупп комплексными характерами посвящены работы Ст. Шварца [51-53], И. Хъюэтта и X. Цукермана [54].
Рассматривая полугруппу обобщенных характеров коммутативной полугруппы Л/, мы фактически получаем алгебру (М, Hom(M,L), L,fo), где L - некоторая іюяутрупт,/о(т,%)=х(т)> для любых тєМ, %єНот(М, L).
М. М. Лесохиным в работе [15] показано, что системы вида (М, Hom(M,L), L,fo) обладают свойством правильности по второй компоненте, то есть разные элементы второй компоненты осуществляют разные гомоморфизмы полугруппы М в полугруппу L, и, что путем отождествления элементов второй компоненты, которые осуществляют одинаковые гомоморфизмы, можно любую систему привести к системе правильной относительно этой компоненты. Если выполнено следующее условие: из того, что (А, В, C,J) - правильна относительно В и является подсистемой системы (A, B',C,f), правильной относительно В\ следует что В-В, то (А, В, C,J) называется полной. М. М. Лесохин [14] показал, что алгебра (М, Hom(M,L), L,/q) полна. В связи с такими «хорошими» свойствами этих алгебр, он в дальнейших работах [19-23] изучал влияние полноты второй компоненты на свойства других компонент и алгебр в целом.
Вопросам аппроксимации полугрупп комплексными характерами посвящены работы Хъюэтта и Цукермана [54], Лесохина [9-12, 21-23], Попырина [34]. Классической алгеброй характеров называется [20] алгебра вида (М, Hom(M,L), L.fo), где М - произвольная коммутативная полугруппа, L - мультипликативная полугруппа поля, fo - каноническое билинейное отображение. Можно говорить о классических алгебрах различного вида, в зависимости от их третьей компоненты. Но так же можно рассмотреть алгебры характеров, в которых в качестве L будут выступать некоторые части L или другие известные полугруппы. Поскольку полугруппы характеров достаточно хорошо изучены, то представляет интерес аппроксимировать произвольные алгебры в классах алгебр вида (М, Hom(M,L), L,fo), где М - произвольная коммутативная полугруппа, a L - одна из хорошо известных полугрупп: мультипликативная полугруппа некоторого числового поля или какая-либо важнейшая числовая полугруппа (полугруппа корней из единицы с нулем, полугруппа неотрицательных вещественных чисел, мультипликативная полугруппа рациональных чисел и другие).
Характером алгебры (А, В, C,J) над полем Р будем называть гомоморфизм (A, B,C,J) в какую-либо алгебру вида (М, Нот(М,Р*), Р*,/о), где М - произвольная коммутативная полугруппа, а Ґ -мультипликативная полугруппа поля Р.
Периодическим комплексным характером (A,B,C,J) будем называть гомоморфизм трехосновной полугрупповой дистрибутивной алгебры (А, В, C,f) в алгебру (М, Нот(М,К), K,/q), где М- произвольная коммутативная полугруппа, а К - полугруппа, полученная внешним присоединением нуля к мультипликативной группе всех комплексных корней из единицы.
Положительным вещественным характером (А, В, C,f) будем называть гомоморфизм (A,B,C,j) в алгебру вида (М, Hom(M,R+), R+,fo), где М - произвольная коммутативная полугруппа, a R+ -мультипликативная полугруппа неотрицательных вещественных чисел.
Алгеброй аддитивных рациональных характеров назовем класс алгебр вида (М, Нот(М, Q+), Q%,fo), где М- произвольная коммутативная полугруппа, a Ql - полугруппа, полученная внешним присоединением нуля к аддитивной группе всех рациональных чисел.
Расширенной алгеброй периодических комплексных характеров назовем класс алгебр вида (М, Нот(М,К2'),Kz, f0), где М- произвольная коммутативная полугруппа, а К1 - полугруппа, полученная внешним присоединением нуля z к полугруппе К.
Вопросами аппроксимации алгебр начали заниматься лишь в последние десятилетия прошлого века. Этой тематике в разной мере посвящены работы СИ. Кублановского [2], А.В. Попырина [34].
Определение 3. Пусть Ф - некоторое множество гомоморфизмов алгебры (A,B,CJ) в какие-либо трехосновные полугрупповые дистрибутивные алгебры, пусть 0- двуместный предикат, определенный на парах подмножеств произвольной полугруппы (одноэлементные подмножества при этом отождествляются с элементами полугруппы). Алгебра (А, В, C,f) аппроксимируема относительно предиката & по первой компоненте гомоморфизмами из Ф, если для любых подмножеств At, А2 полугруппы А из области задания предиката & таких, что ЩАиАії -ложно, найдется гомоморфизм р=(а, Д у) из Ф, при котором Ща(Аі),а(А^) - ложно. Алгебра (A,B,C,f) аппроксимируема относительно <9по второй компоненте гомоморфизмами из Ф, если для любых подмножеств В{, Ъг полугруппы В из области задания таких, что ЩВі,В$ - ложно, найдется /і'=(а', р, /) из Ф, при котором Щр(В{),р(В^)-ложно. Алгебра (A,B,CJ) аппроксимируема относительно 0по третьей компоненте гомоморфизмами из Ф, если для любых подмножеств С), Сг полугруппы С из области задания 0таких, что ЩС},С^ - ложно, найдется гомоморфизм /j"=(a",/3",у") из Ф, при котором {f (С{),/'(С^)- ложно.
Если Ф множество всех гомоморфизмов (А, В, C,j) в определенный класс алгебр Н, то говорят об аппроксимации (А, В, C,f) в классе Н по первой, второй или третьей компоненте относительно предиката 0.
В работе рассматриваются два вида двуместных предикатов: элементарные и единично идеальные. Существуют классический набор [1] элементарных двуместных предикатов: равенство; вхождение элемента в подполугруппу; вхождение элемента в идеал; вхождение элемента в подгруппу; вхождение элемента в максимальную подгруппу; обобщенная делимость; отношения Грина.
Хорошо известно, какую важную роль в теории полугрупп играют понятия единицы и нуля полугруппы. Эти понятия довольно естественно обобщаются в понятие единично идеального элемента. Интерес к таким элементам определяется с точки зрения понятия единично идеальной подполугруппы (обобщение понятия идеала) полугруппы, введенного Е. С. Ляпиным [24] и играющего важную роль при изучении зависимостей между подполугруппами полугруппы.
В работах Плотниковой Н. В. [30-33] найдены необходимые и достаточные условия аппроксимируемости трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр относительно таких предикатов, как: равенство, вхождение элемента в идеал, вхождения элемента в подполугруппу, делимость.
Как следует из работ М. М. Лесохина [6, 15] мы не можем увеличить класс алгебр обобщенных характеров, рассматривая его элементы как подалгебры некоторых других алгебр, без потери его основополагающих свойств. Но возникает тогда противоположный вопрос: можно ли сузить этот класс, без потери свойств алгебр, аппроксимируемых в нем? Можно дать ответ на этот вопрос, исследовав минимальные классы аппроксимации алгебр относительно тех или иных предикатов.
Пусть П - некоторый класс алгебр, 0 - некоторый предикат вхождения. Класс Е() алгебр вида (М, Hom(M,L), L,fo), гДе М -произвольная коммутативная полугруппа, называется минимальным классом аппроксимации по первой (второй, третьей) компоненте для алгебр класса О относительно предиката если произвольная алгебра из П аппроксимируема относительно предиката 0 по первой (второй, третьей) компоненте в классе E(L), и для произвольной собственной подполугруппы V полугруппы L найдется алгебра (А, В, C,J)eO, не аппроксимируемая относительно предиката 0 по первой (второй, третьей) компоненте в классе E(L').
В связи со сказанным выше представляется важным и интересным рассмотрение аппроксимации трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр относительно предикатов различными характерами.
Целью работы было исследование аппроксимируемости трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр в классах алгебр, у которых первая компонента является произвольной коммутативной полугруппой, а вторая полугруппой обобщенных характеров. В рамках реализации данной цели в диссертации решаются следующие задачи: описание алгебр, аппроксимируемых относительно некоторых важных предикатов (эквивалентность Грина, вхождение элемента в подгруппу, вхождения элемента в максимальную подгруппу, единично идеальных предикатов) различными характерами; выявление связи между аппроксимируемостью алгебр и аппроксимируемостью самих компонент в некоторых классах полугрупп; нахождение минимальных классов аппроксимации алгебр относительно некоторых предикатов.
Основой исследования в настоящей работе является изучение и установление связей между полугруппой обобщенных характеров и гомоморфизмами алгебр. При этом используются следующие методы: построение гомоморфизма алгебры с помощью гомоморфизмов исходных полугрупп, продолжение гомоморфизма максимальной подгруппы коммутативной полугруппы до гомоморфизма всей полугруппы в группу с внешне присоединенным нулем, вложение связки коммутативных полугрупп с сокращением в регулярную коммутативную полугруппу.
Основные результаты работы
Диссертация состоит из двух глав, первая из которых посвящена аппроксимации трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр различными характерами относительно классических элементарных двуместных предикатов.
В первом параграфе показана связь аппроксимируемости алгебр классическими характерами над полем с аппроксимируемостью компонент. Причем рассмотрен широкий класс предикатов, названный предикатом вхождения, в который попадают предикаты равенства, вхождения элемента в подполугруппу, в идеал, в подгруппу, в максимальную подгруппу, обобщенная делимость, отношения Грина, единично идеальные предикаты.
В частности показано, что аппроксимируемость алгебр относительно произвольных предикатов по первой компоненте характерами над полем напрямую связана с аппроксимируемостью полугрупп в классе всех коммутативных полугрупп. Эти вопросы составляют отдельное хорошо изученное направление, поэтому вопрос аппроксимируемости алгебр по первой компоненте характерами можно считать закрытым.
Удалось выявить так же связи между аппроксимируемостью алгебр по второй и третьей компоненте характерами над произвольным полем и аппроксимируемостью самих компонент в этом поле.
Во втором параграфе получены необходимые и достаточные условия аппроксимируемости алгебр относительно конкретных предикатов: эквивалентности Грина, вхождения элемента в подгруппу, вхождения элемента в максимальную подгруппу. Результаты эти получены при помощи установленных в первом параграфе связей.
В третьем параграфе найдено общее достаточное условие, накладываемое на вторую компоненту алгебр, для аппроксимируемости их рациональными характерами относительно произвольного предиката вхождения, то есть целого класса предикатов, по второй компоненте. Для предикатов равенства и вхождение в подполугруппу это условие является необходимым и достаточным.
Теорема 1. Дня произвольной алгебры (A,B,CJ) следующие условия эквивалентны:
1) (A,B,CJ) аппроксимируема по второй компоненте относительно вхождения в подполугруппу рациональными характерами; (A,B,CJ) аппроксимируема по второй компоненте относительно равенства рациональными характерами;
В - коммутативная сепаративная полугруппа без кручения, и типы элементов, отличных от единицы в подполугруппе дробей полугруппы В, имеют вид (0,0,...,0,...).
Как следует из работ М.М. Лесохина [6, 15] мы не можем увеличить класс алгебр обобщенных характеров (М, Hom(M,L), L,fo), рассматривая его элементы как подалгебры некоторых других алгебр, без потери его основополагающих свойств.
Но возникает тогда противоположный вопрос: можно ли сузить этот класс, без потери свойств алгебр, аппроксимируемых в нем? В некоторой мере ответ дают четвертый и пятый параграфы работы. В них исследуется алгебра аддитивных рациональных характеров, с точки зрения возможности замены полугруппы Ql той или иной ее подполугруппой с сохранением аппроксимируемости в новом классе тех алгебр, которые были аппроксимируемы аддитивными рациональными характерами.
Теорема 2. Для того чтобы алгебра была аппроксимируема относительно равенства и вхождения в подполугруппу по второй компоненте аддитивными рациональными характерами, необходимо и достаточно, чтобы вторая ее компонента была коммутативной, сепаративной, степенно сократимой полугруппой. Для того чтобы алгебра с коммутативной первой компонентой была аппроксимируема относительно равенства и вхождения в подполугруппу по третьей компоненте аддитивными рациональными характерами, необходимо и достаточно, чтобы третья ее компонента была коммутативной, сепаративной, степенно сократимой полугруппой.
Пусть О] - класс алгебр, у которых первая компонента коммутативная полугруппа, ( - класс алгебр, у которых вторая компонента коммутативная, сепаративная, степенно сократимая полугруппа. Обозначим через Q3 - класс алгебр, у которых первая компонента коммутативная полугруппа, а третья компонента коммутативная, сепаративная, степенно сократимая полугруппа.
Показано, что алгебра аддитивных рациональных характеров не является минимальным классом аппроксимации по первой компоненте для алгебр П; относительно предикатов равенства и вхождения в подполугруппу. Но верна следующая теорема:
Теорема 3. Алгебра аддитивных рациональных характеров является минимальным классом аппроксимации относительно предикатов равенства и вхождения в подполугруппу для алгебр Q2 по второй компоненте и алгебр Ц? по третьей компоненте.
Вторая глава работы посвящена аппроксимации относительно единично идеальных предикатов, которые играют очень важную роль в теории полугрупп.
Первые два из единично идеальных предикатов есть некоторые аналоги равенства. Аппроксимации относительно них, то есть вхождения во множество единично идеальных элементов и равенства единично идеальных элементов характерами над полем, периодическими комплексными, положительными вещественными, рациональными характерами, и посвящен первый параграф второй главы. В большинстве случаев найдены необходимые и достаточные условия аппроксимируемости алгебр относительно вхождения во множество единично идеальных элементов и равенства единично идеальных элементов перечисленными характерами.
Третий единично идеальный предикат есть частный случай предиката вхождения в подполугруппу.
Теорема 4. Для того чтобы (A,B,CJ) была аппроксимируема по второй компоненте относительно вхождения в единично идеальную подполугруппу периодическими комплексными характерами, необходимо и достаточно, чтобы полугруппа В являлась инверсной вполне регулярной.
Теорема 5. Если (A,B,CJ) с коммутативной первой компонентой аппроксимируема по третьей компоненте относительно вхождения в единично идеальную подполугруппу периодическими комплексными характерами, то полугруппа С является инверсной вполне регулярной.
Теорема б. Если (A,B,CJ) имеет коммутативную первую и инверсную вполне регулярную третью компоненты, причем совокупность Ее всех идемпотентов полугруппы С является нулевой подполугруппой С, то (A,B,C,f) аппроксимируема по третьей компоненте относительно вхождения в единично идеальную подполугруппу периодическими комплексными характерами.
Теоремы 5 и 6 являются более общими, нежели утверждения, опубликованные автором в своих работах [40, 41], так как удалось избавиться от условия коммутативности третьей компоненты. Цель же рассмотрения расширенных характеров - показать, что регулярность компонент в алгебрах является «основным» необходимым и достаточным условием для аппроксимируемости их относительно вхождения в единично идеальную подполугруппу. Пусть О - класс алгебр, у которых первая компонента коммутативна, а третья - коммутативная регулярная полугруппа.
Теорема 7. Расширенная алгебра периодических комплексных характеров является минимальным классом аппроксимации по третьей компоненте относительно вхождения в единично идеальную подполугруппу для алгебр класса О.
Следующими двумя теоремами закрывается вопрос об аппроксимируемости трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр относительно оставшихся трех единично идеальных предикатов, являющихся различными сужениями предиката обобщенной делимости.
Теорема 8. Для любого поля Р произвольная алгебра (A,B,CJ) аппроксимируема по второй компоненте относительно предикатов делимости и инверсности единично идеальных элементов характерами над полем Р.
Теорема 9. Для любого поля Р произвольная алгебра (A,B,CJ) с коммутативной первой компонентой аппроксимируема по третьей компоненте относительно предикатов делимости и инверсности единично идеальных элементов характерами над полем Р.
Таковы основные результаты диссертации. Для более точной формулировки решаемых нами задач приведем все необходимые определения.
Понятия и определения, используемые в работе
Приведем ряд известных сведений, которые используются в работе без особых ссылок.
Под идеалом полугруппы S будем понимать ее двусторонний идеал. Идеал I называется вполне изолированным (вполне простым), если из того, что аЬєїследует, что ає/или ЬєІ.
Полугруппа S называется нулевой полугруппой, если S является коммутативной полугруппой с нулем 2 и SS={z}.
Полугруппа S удовлетворяет коммутаторному условию, если для любых а,Ъ eS найдутся такие элемеоты Х},х2 eS, что аЬ =xj -а=Ь Xj.
Два элемента а и Ь полугруппы 5" называются ^-эквивалентными (Z--эквивалентными), если они порождают один и тот же главный правый (левый) идеал. Отношения Ли L коммутируют и /)-экви валентностью называется отношение RL=LR. Пусть S! - полугруппа с единицей, понимаемая в смысле [1]. Для любых ее элементов а и b будем говорить, что они находятся в отношении Грина D (отношение эквивалентности), если найдется с из Атакой, что aS! ~ cS1 и S'c = S'b.
Подполугруппа N полугруппы S называется фильтром (выпуклой подполугруппой), если для любых a, b eS из того, что а Ь eN следует, что aeN и beN. Это условие выполняется, очевидно, тогда и только тогда, когда N=S\I, для некоторого (необходимо вполне изолированного) идеала/, или N=S.
Пусть S - произвольная полугруппа. Для произвольного элемента xeS обозначим через Щх) минимальный фильтр, его содержащий. Рассмотрим на полугруппе S отношение ц : xtjy <> N(x)=N(y). Отношение jj является отношением конгруэнтности, а фактор-полугруппа S/n - полурешеткой. Обозначим ^-класс элемента х через Nx> он, очевидно, является фильтром.
Полугруппа S называется сепаративной (отделимой), если для любых a,beS из того, что a2=ab=b2 следует, что а=Ь.
Полугруппа 5 называется степенно сократимой, если для любых a,beS из того, что ап=Ъ" следует, что а=Ь, для произвольного натурального п.
Элемент а абелевой группы имеет тип (а^ аз,.,.,Ор,...), щор- простое число, ар - целые неотрицательные числа или символ со, если уравнение раР раР*1 хи =а разрешимо, а уравнение ху —а неразрешимо в группе. Если уравнение хр =а разрешимо для любых натуральных п, то ар=оо. Причем, известно, что если типы не идемпотентных элементов группы имеют вид (0,0,...,0,...), то группа вкладывается в прямое произведение бесконечных циклических групп [3, с. 178].
Пусть С - множество комплексных чисел, р - простое число. Множество {хеС\Ъ keN: z^ -\} является мультипликативной группой и называется группой Ср , все ее подгруппы имеют вид CpK={zeC\zP =\).
Полугруппа S называется архимедовой полугруппой, если для всяких элементов a,b eS найдутся такие элементы xh х2 є S, что при некотором натуральном п будем иметь: a"=xrb=b-x2.
Элемент а полугруппы S называется регулярным элементом, если существует элемент b из такой, что a-a-b-а. Полугруппа S называется регулярной полугруппой, если каждый ее элемент регулярен.
В полугруппе S элемент Ъ называется инверсным к элементу а, если а=а-Ь-а и Ъ-Ъ-аЪ. Полугруппа S называется инверсной полугруппой, если каждый ее элемент обладает единственным инверсным к нему элементом.
Элемент а полугруппы S называется вполне регулярным, если существует элемент b из S такой, что а=а-Ь-а и Ь-а=а-Ь. Полугруппа S называется вполне регулярной полугруппой, если каждый ее элемент вполне регулярен.
Непустое подмножество М полугруппы S называется единично идеальной подполугруппой полугруппы S (е.и.п.), если для произвольных aeS, кєМверно следующее: а-кеМ тна-к-а, к-аеМ или к-а=а.
Одноэлементная е.и.п. называется единично идеальным элементом (е. н.э.).
Пусть S* - множество всех единично идеальных элементов. Определим следующие единично идеальные предикаты на полугруппе S: Pi - вхождение в множество е.и.э.; Р\(а,Ь) - ложно <=> а*Ь, a eS* или b eS*; Pi - равенство е.и.э.; Р2(а,Ь) - ложно о a^b, a eS* и b eS*; Р3 - вхождение в е.и.п.; Р$(а,М) - ложно <3 agM, М- е.и.п. S; P4,Ps - предикаты делимости е.и.э.;
Р4(а,Ь) - ложно « а не делится на Ь, а єБ*; Ps(a,b) - ложно -» а не делится на й, a eS* и b eS*; Рб - инверсность е.и.э.; Рь(а,Ь) ~ ложно О а-Ь-ат или Ь-а-ЬтЬ, a,beS*.
В предикатах Р4 и Pj имеется ввиду обобщенная делимость, то есть в полугруппе S элемент а делится на элемент Ь (элемент Ь является делителем элемента а), если существует такая пара элементов с и d из S1, что a=c-b-d.
Под предикатом вхождения в полугруппе будем понимать всякий двуместный предикат 0, заданный на множестве некоторых пар подмножеств произвольной полугруппы (одноэлементные подмножества отождествляются с самими элементами), так что в произвольной полугруппе А для пары ее подмножеств (Аи А^ из области задания соотношение 0{Ah А^ - ложно означает, что существует а/&4/такой, что аі^а2, Для произвольных агєАг. Очевидно, что предикат вхождения 0, определенный таким образом, обладает следующими (используемыми в работе без особых ссылок) свойствами: (І)Если 7- гомоморфизм полугруппы А в полугруппу В, и пара подмножеств (А], А$ полугруппы А принадлежит области задания 0, то iwpa(
ЩА\, АІ) - ложно тогда и только тогда, когда 0(<р(Аі), <р(А$ - ложно.
Мы будем рассматривать следующие важные предикаты вхождения: равенство; вхождение элемента в подполугруппу; вхождение элемента в идеал; вхождение элемента в подгруппу; вхождение элемента в максимальную подгруппу; обобщенная делимость; отношения Грина; единично идеальные предикаты Р, - Р6,
Связь аппроксимируемости трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр характерами над полем с аппроксимируемостью компонент
Напомним, что характером алгебры (A,B,CJ) над полем Р будем называть гомоморфизм (A,B,CJ) в какую-либо алгебру вида (MflomfM,! ),? / , где М- произвольная коммутативная полугруппа, а Рх - мультипликативная полугруппа поля Р.
Пусть 0 - это некоторый предикат вхождения, заданный на некоторых парах подмножеств полугруппы S. Важно отметить, что для всех этих предикатов, очевидно, верно следующее: при произвольном изоморфизме р: S xp(S), если (Si.S - ложно, для некоторых подмножеств 5;, S2 полугруппы S из области задания 0, то пара ( p(Si), (tfSd) входит в область задания 0 на множестве пар подмножеств p(S) и 0( p(Si),(p(S2)) тоже ложно.
Предложение 1.1. Для произвольного предиката вхождения 0 алгебра (A,B,CJ) аппроксимируема характерами над произвольным полем Р относительно 0 по первой компоненте, тогда и только тогда, когда полугруппа А аппроксимируема относительно предиката вхождения Э в классе коммутативных полугрупп.
Доказательство.
Необходимость. Пусть для некоторого произвольного поля Р алгебра (A,B,CJ) аппроксимируема относительно какого-либо предиката вхождения 0 по первой компоненте характерами над Р, тогда для произвольных пар подмножеств At, Аг полугруппы А из области задания предиката 0 таких, что ЩАиАд ложно, найдутся коммутативная полугруппа М, гомоморфизм алгебр (л=(а,р,у): (A,BtCJ)- (M,Hom(M,P ),P f$, для которых верно y(f(a,b))=fo(a(a),ft(b))t для всех ає А, ЬєВ, такие, что 0(a(Aj),a(Az)) также ложно. Следовательно, полугруппа А аппроксимируема относительно предиката вхождения 0 в классе коммутативных полугрупп.
Достаточность. Пусть полугруппа А аппроксимируема относительно предиката вхождения 0 в классе коммутативных полугрупп, то есть, для любых пар подмножеств Aj, А2 полугруппы А из области задания 0, если 0(А\,А2) - ложно, найдутся некоторая коммутативная полугруппа М и гомоморфизм а:А М такие, что &(а(А!) а(А2)) также ложно. Для произвольного поля Р рассмотрим гомоморфизм рС-Ю єР и отображение $:В Нот(М,Ґ) установленное по следующему правилу для любого ЬєВ: p(b)=j30eHom(M,Px), где VmeM: fofa OeP . Очевидно, что /? -гомоморфизм, причем для любых а из А и b из В выполнена следующая цепочка равенств y(f(a,b)) = 0 = ро(а(а)) = ЩЬ)(а(а)) =f0(a(a),p(b)). Таким образом, тройка гомоморфизмов }л=(а,р,у) является гомоморфизмом (A,B,CJ) в алгебру (MfHom(M$Px),FJc), при котором верно следующее: если ЩАі,Аі} - ложно, то Ща(Аі),а(Аі)) также ложно, то есть для произвольного поля Р алгебра (A,B,Cj) аппроксимируема относительно предиката 6 по первой компоненте характерами над этим полем.
Аппроксимация трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр характерами над полем
В данном параграфе рассматриваются условия аппроксимируемости полутрупповых дистрибутивных алгебр относительно конкретных предикатов: эквивалентности Грина, вхождения элемента в подгруппу, вхождения элемента в максимальную подгруппу. Результаты этого параграфа получены, как применения утверждений, доказанных в первом параграфе. Предложение 1.1 показывает, что аппроксимируемость алгебр относительно произвольных предикатов по первой компоненте характерами над полем напрямую связана с аппроксимируемостью полугрупп в классе всех коммутативных полугрупп. Эти вопросы составляют отдельное хорошо изученное направление, поэтому далее мы не будем рассматривать аппроксимируемость алгебр по первой компоненте.
Условия аппроксимируемости алгебр относительно таких предикатов, как: равенство, вхождение элемента в идеал, вхождения элемента в подполугруппу, делимость, были получены Плотниковой Н. В. [31-33], мы будем ссылаться на эти результаты.
Первые два предложения данного параграфа посвящены аппроксимации алгебр относительно эквивалентности Грина характерами над произвольным полем, найдены необходимые и достаточные условия аппроксимируемости по второй и третьей компаненте.
Предложение 2.1. Для того, чтобы алгебра (A,B,CJ) была аппроксимируема по второй компоненте относительно D-эквивалентности характерами над произвольным полем Р, необходимо и достаточно, чтобы полугруппа В была коммутативной связкой своих D-классов.
Доказательство.
Согласно следствию 2 для произвольного поля Р алгебра (A,B,CJ) аппроксимируема относительно D-эквивалентности по второй компоненте характерами в Р, тогда и только тогда, когда полугруппа В аппроксимируема относительно D-эквивалентности гомоморфизмами в {0,1}. Докажем, что для того, чтобы В была аппроксимируема относительно / -эквивалентности в полугруппе {0,1} необходимо и достаточно, чтобы полугруппа В являлась коммутативной связкой своих D-классов [47].
Аппроксимация относительно предикатов вхождения во множество единично идеальных элементов и равенства единично идеальных элементов
Пусть S - множество всех единично идеальных элементов полугруппы S. Напомним, что:
Pi - вхождение в множество е.и.э.; Р\(а,Ь) - ложно о arf , a eS или Ъ eS ; Pj -равенствое.и.э.;Р:(агЬ)-ложнооa b, aeS nbeS .
Напомним также, что множество Cent(S)={xeS\a X=x-a, VaeS1} называется центром полугруппы S. Множество Cent(S) является подполугруппой полугруппы S. Предложение 6.L Если алгебра (A,BfC,f) аппроксимируема по второй компоненте относительно вхождения во множество единично идеальных элементов характерами в произвольное поле, то каждая архимедова компонента полугруппы 5, содержащая единично идеальный элемент, является группой. Доказательство.
Пусть для некоторого поля F алгебра (A,B,CJ) аппроксимируема относительно предиката Р/ по второй компоненте характерами в поле F. И пусть ЬєВ . Покажем сначала, что для любого хеВ: b-x=x-b. Из xb = b v xb - х, определения единично идеального элемента следует, что [bx-bvbx x.
Предположим, что b-x x-b. Рассмотрим случай, когда b-x=b, а х=х-Ь. Так как Ь хеВ и b-хіїсЬ) то по условию найдутся коммутативная полугруппа М, гомоморфизм ц=(а,р,у): (A,B,CJ)- (M,Hom(M,FУ /о), такие, что выполнено /3(Ьх)?Р(хЪ), то есть Р(Ь)ф(х) Щх)ф(Ь) что противоречит коммутативности Hom(M,F ). Случай Ь-х=х, Ь=хЬ рассматривается аналогично. Итак, B cCent(B).
Пусть ВІ (ієі) - архимедова компонента полугруппы В, содержащая единично идеальный элемент Ь. Так как Ьеб , то для всякого х из В; такого, что b х, найдутся коммутативная полугруппа М, гомоморфизм алгебр {i=(a,/3j): (A,B,CJ)- (М,Нот(М,Р),РМ, такие, что p(b) fflx). По определению единично идеального элемента и из доказанного включения B cCent(B) следует, что b-x=x-b b или bx=x-b=x.
Допустим, что b-x=x-b=b. Так как b - идемпотент, то верно включение /3(Ь)єНот(М,{0,1}). Равенство P(bx)=fi(xb)=P(b) верно только в случае, когда для произвольных теМ верно fi(b)(m)=0. Тогда из того, что ВІ - архимедова компонента, следует /}(В (т)={0},а значит, f%x)=p(b), что противоречит условию. Если же выполнено условие b-x=x-b=x, то b -единица ВІ, а следовательно, 5,- группа. Что и требовалось доказать.
Предложение 6.2. Если полугруппа В удовлетворяет коммутаторному условию и каждая архимедова компонента Я, содержащая единично идеальный элемент, является абелевой группой, то алгебра (A,B,Cj), имеющая полугруппу В своей второй компонентой, аппроксимируема по второй компоненте относительно вхождения во множество единично идеальных элементов периодическими комплексными, положительными вещественными и рациональными характерами.