Введение к работе
Актуальность темы
Аппроксимация алгебраических систем относительно тех или иных предикатов к настоящему времени представляет собой одно из актуальных направлений в исследовании алгебраических систем.
Широкое применение аппроксимационных методов в алгебре связано с именем академика А. И. Мальцева. В его работах сформулировано общее понятие аппроксимируемости алгебраических систем относительно предикатов и получен ряд основополагающих результатов. С начала 60-х годов XX века по настоящее время появилось большое количество работ, посвященных аппроксимации алгебраических систем различных классов, прежде всего групп колец и алгебр. Интерес к этим вопросам нашел отражение в работах как российских (М. И. Каргаполов, А. Ю. Ольшанский, В.П.Платонов, В. Н. Ремесленников, А. Кемер, С. И. Кублановский, Зайцев, Канель-Белов и других), так и зарубежных (G.Baumslag, N.Blacburn, W.Magnus, R. McKenzie и других) алгебраистов.
Аппроксимация полугрупп относительно предикатов также привлекла внимание многочлисленных исследователей и превратилась сейчас в обширную развивающуюся область теории полугрупп. Формированию этого направления способствовало рассмотрение гомоморфизмов полугрупп в полугруппы с заданными свойствами, в частности, наложение на полугруппы тех или иных условий конечности позволяет изучать бесконечные полугруппы сведением их к конечным полугруппам. Аппроксимации полугрупп посвящены работы J.Gerhard, Э. А. Голубова, С. И. Кублановского, G. Lallement, М. М. Лесохина, С. Г. Мамиконяна, М. В. Сапира и многих других исследователей.
Важность введенного А. И. Мальцевым понятия в значительной степени определяется связью с алгоритмическими проблемами. Как отметил А. И. Мальцев, финитная аппроксимируемость конечно определенной алгебраической системы в многообразии, заданном конечным набором тож-
деств относительно некоторого предиката, влечет алгоритмическую разрешимость проблемы этого предиката в рассматриваемой системе. Например, аппроксимационными методами С. И. Кублановским в 1980 году был положительно решен вопрос алгоритмической разрешимости проблемы делимости в целой серии многообразий полугрупп. В 1981 году М.В.Сапир установил эквивалентность для ряда многообразий полугрупп проблемы равенства слов и финитной аппроксимируемости конечно определенных полугрупп.
Как уже отмечалось выше, целесообразно рассматривать гомоморфизмы полугрупп в те полугруппы, свойства которых хорошо известны, например, периодическая часть мультипликативной полугруппы коплексных чисел. Вопросам аппроксимации полугрупп комплексными характерами посвящены работы Ст. Шварца, E.Hewitt и H.Zukerman, М. М. Лесохина, Э. П. Арояна и других.
Ст. Шварц в 1954 году нашел необходимые и достаточные условия аппроксимации конечных полугрупп комплексными характерами, Е. Hewitt и H.Zukerman нашли необходимые и достаточные условия аппроксимации коммутативных полугрупп комплексными характерами, в 1967 году М.М.Лесохин исследовал отделимость подполугрупп комплексными, а в 1985 году Э. П. Ароян - вещественными характерами.
Выбор того или иного предиката обусловлен ролью, которую он играет в теории определенных классов алгебраических систем. Так например, в группах важнейшими предикатами являются: предикат равенства, регулярной сопряженности, предикат вхождения элемента в подгруппу, в конечно порожденную подгруппу. В кольцах и алгебрах важную роль играют предикаты равенства, нильпотентности, вхождения элемента в подкольцо (подалгебру). В полугруппах исследовались предикаты делимости, отношения Грина, предикаты равенства и вхождения элемента в различного вида подсистемы (идеал, подполугруппу, подгруппу и т.п.).
Указанные предикаты явились объектом многочлисленных исследований и с точки зрения алгоритмической разрешимости проблем этих преди-
катов, и с точки зрения аппроксимации. В полугруппах особо значимым является предикат делимости. На язьже делимости определяются отношения Грина, регулярность и ее модификации распознаваемости и другие важные свойства полугрупп. Следует отметить, что последнее свойство распознаваемости полугрупп систематически изучается целым рядом алгебраистов, таких, как G. Lallement, S.Rankin, C.Reis, Т. Tamura, G.Thierrin и других в связи с потребностями теории кодирования.
В последние десятилетия широко ведется изучение свойств алгебраических систем, наделенных дополнительными структурами, в частности топологической. В теории полугрупп такое систематическое изучение началось с выходом монографии А. В. Paalman-de-Miranda "Topological semigroups" в 1964 году. Интерес к изучению топологических полугрупп объясняется тем, что наличие топологической структуры обеспечивает присутствие некоторых свойств, отсутствующих в общем абстрактном случае. Так например, всякая компактная топологическая полугруппа имеет идем-потент.
Цель работы. Целью данной диссертации является нахождение необходимых и достаточных условий финитной аппроксимации полугруппы идеальными гомоморфизмами относительно предикатов равенства, делимости, вхождения элемента в подполугруппу, идеал, подгруппу, относительно предикатов Грина; исследование условий аппроксимации независимого произведения полугрупп, нахождение критериев аппроксимации полугруппы комплексными характерами и критериев аппроксимации компактной топологической полугруппы непрерывными комплексными характерами относительно единично идеальных предикатов.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.
Методы исследования. В работе использованы методы аппроксимации полугрупп, метод разложения полугруппы в коммутативную связку неразложимых компонент (теорема Tamura-Petrich), метод продолжения гомоморфизма максимальной подгруппы до гомоморфизма всей полугруп-
пы в группу с внешне присоединенным нулем.
Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты диссертации представляют интерес для исследований по теории аппроксимации полугрупп, они могут быть использованы при подготовке спецкурсов и спецсеминаров для университетов и пединститутов.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на I международной конференции "Полугруппы и их приложения, включая полугрупповые кольца" в честь Е. С.Ляпина (июнь 1995 года, Санкт-Петербург), на III международной конференции по теории чисел (сентябрь 1996 года, Тула), на международной алгебраической конференции памяти Д. К. Фаддеева (июнь 1997 года, Санкт-Петербург), на Герценовских чтениях в РГПУ им. А. И. Герцена (апрель 1997 года, Санкт-Петербург), на городском алгебраическом семинаре по теории полугрупп (апрель, октябрь 1998 года, октябрь 1999 года, Санкт-Петербург), на II международной конференции "Полугруппы: теория и приложения" в честь профессора Е. С. Ля-пина (июль 1999 года, Санкт-Петербург), на алгебраическом семинаре им. Д. К. Фаддеева в ПОМП РАН (апрель 2008 года).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях, перечисленных в конце автореферата.
В статье [2] соискателю принадлежит лемма о наследственности; теоремы 1,2,3 в которых найдены критерии SHI - финитной аппроксимируемости полугруппы относительно равенства, делимости, вхождения элемента в моногенную подполугруппу. Остальные результаты принадлежат соавтору. Статья [7] опубликована в журнале, входящем в перечень ВАК на момент публикации.
Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 71 странице машинописного текста, состоит из введения и двух глав, содержащих шесть параграфов. Библиография включает 60 работ российских и зарубежных авторов.