Введение к работе
Актуальность исследования.
Настоящая работа посвящена аппроксимации и абстрактной характеристике полугрупп характеров, т.е. полугрупп гомоморфизмов исходной полугруппы в мультипликативную полугруппу некоторого ПОЛЯ Р.
Широкое применение аппроксимационных методов в алгебре связано с именем академика А.И.Мальцева, который в работе "О гомоморфизмах на конечные группы" дал общее понятие аппроксимации алгебраических систем и показал связь финитной аппроксимируемости атгебранческой системы относительно какого-либо предиката с алгоритмической разрешимостью проблемы этого предиката в рассматриваемой системе.
С начала 60-х годов и по настоящее время появилось много работ, посвященных аппроксимации полугрупп относительно различных предикатов. Они касались как финитной аппроксимации полугрупп, т.е. аппроксимации гомоморфизмами в конечные полугруппы — работы М.М. Лесохина, СИ. Кублановского, С.Г. Мамиконяна, Э.А. Голубова, М.В. Сапира и других, так и аппроксимации полугрупп комплексными характерами — работы Ст. Шварца, Е. Хькжтта и X. Цукермана, М.М. Лесохина, Э.П. Арояна и других.
Как следует из работ М.М. Лесохина, достаточно большой класс полугрупп не аппроксимируется характерами относительно вхождения элемента в подполугруппу. Это обусловлено, в частности, наличием в мультипликативной полугруппе поля только двух идемпотентов. Естественно возникает вопрос, нельзя ли расширить полугруппу Р* так, чтобы более широкий класс полугрупп был аппроксимирован, но расширение было минимальным. Решению этого вопроса посвящен 4 гл. 1.
Задача абстрактной характеристики полугрупп характеров предполагает нахождение области значений функтора Нот( - , Р *). На важность решения этой задачи для любого функтора указывал Л.Я.Куликов в выступлении на IV Всесоюзном математическом съезде в 1961 году. Для полугрупп идем-потентно-модулярных характеров, т.е. полугрупп гомоморфизмов в периодическую часть поля комплексных чисел, эта задача была решена М.М.Лесохиным. Полугруппы характеров конечного и алгебраически замкнутого поля являются пограничными случаями и поэтому вполне обоснованно вызывают повышенный интерес.
Цель работы,
Найти критерии аппроксимации полугруппы характеров относительно предикатов делимости, равенства, вхождения элемента в идеал, в подгруппу, в подполугруппу с помощью гомоморфизмов в мультипликативные полугруппы конечных полей (конечными характерами) и в периодическую часть мультипликативной полугруппы комплексных чисел (периодическими характерами). Решить вопрос о минимальной полугруппе аппроксимации относительно вхождения элемента в подполугруппу для класса периодических коммутативных регулярных полугрупп. Дать абстрактную характеристику полугрупп характеров конечного и алгебраически замкнутого полей.
Методы исследования.
В работе использованы методы аппроксимации полугрупп; метод продолжения гомоморфизма максимальной подгруппы до гомоморфизма всей полугруппы в группу с внешне присоединенным нулем; метод разложения коммутативной регулярной полугруппы в связку своих максимальных подгрупп.
Научная новизна.
Все основные результаты диссертации являются новыми.
Практическая и теоретическая ценность.
Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты представляют интерес для исследований по теории характеров полугрупп, в частности для нахождения условий изоморфизма полугрупп характеров, и могут быть использованы для подготовки спецкурсов и спецсеминаров для университетов и пединститутов.
Апробация работы.
Результаты диссертации докладывались на международной конференции по полугруппам, посвященной Е.С.Ляпину (июнь 1995 года, Санкт-Петербург), на Герценовских чтениях (1996-1997 гг.), на III международной конференции по теории чисел (сентябрь 1996 года, Тула), на городском алгебраическом семинаре по теории полугрупп (ноябрь 1996 года, Санкт-Петербург), на алгебраических семинарах Поморского государственного университета (1996-1997 гг.), на международной алгебраической конференции памяти Д.К.Фаддеева (июнь 1997 года, Санкт-Петербург).
Объем и структура работы.