Алгебры, удовлетворяющие кососимметрическим тождествам Зубрилин, Константин Анатольевич

Введение к работе

Актуальность темы. Общеизвестна взаимосвязь между структурой алгебры и ее тождествами. Достаточно вспомнить теорему Брауна- Камера - Раэмкслова о радикале конечно порожденной PI-алгебры. Наряду с тождествами алгебр все более активно рассматриваются тождества представлений, или слабые тождества [і].

Одним из важных классов тождеств являются кососсмметричес-кие тождества, среди которнх можно выделить тогсдества Калелли произвольной сигнатуры, слабые тождества Капелли пар (представлений) алгебр произвольной сигнатуры и стандартные лиевы тождества.

Впервые тождества Капелли были введены в рассмотрение Ю.П.Размысловнм в связи с решением проблема радикала;конечно порожденной Р1-алгебры [2] (см. также [3]).

Важной структурной характеристикой алгебры является представимость. Основы теории представимости были заложены А.И.Мальцевым в 1943 г. [4]. В работах Ш.Амидура [5], Л.Смолла [б],

1. Размыслов Ю.П. Тождества алгебр и их представлений. М.: На-ука,1989. ' ' "

2. Размыслов Ю.П. О радикале Яжекобсона в Р1-алгвбрах// Алгебра и логика. 1974. т.13. КЗ. с.337-360.

3. Размыслов Ю.П. Алгебры, удовлетворяшие тождественным соотношениям типа Капелли// Изв. АН СССР. Сер. мат. 1981. т.45. М. с.143-166

4. Мальцев А.И. 0 представлениях 'бесконечных алгебр// Матем. сборник. 1943. т.13. №2-3. с.263-286.

5. Amitsur S.A. A non-commutative Hilbert basis theorem and subrings of matrices// Trans. Amer. Math. Soc. 149(1970), p. 133-142.'

6. Small L.W. An example in PI-rines// J. Algebra, 17(1971), p.434-436..

К.Прочеэи [7], Р.Ирвинга [8] были предприняты попытки найти достаточные условия для представимости конечно порожденной ассоциативной алгбры, удовлетворяю/лей всем тождествам. некоторой матричной алгебры. Представимость ассоциативных PI-алгебр к их многообразий изучалась А.З.Ананышым, В.Т.Марковым. Представимости неассоциативных алгебр посвящены работы М.В.Зайцева (алгебры и супералгебры Ли), С.В.Пчелшщева (альтернативные алгебры), К.Прочези (алгебры со следом) .

Представимость в іп-меряой алгебре влечет выполнение тож-дзотз Капелли порялкащ+і, обратное не верно.

Структурная теория алгебр конечной сигнатуры, удовлетворя
ющих тождествам Капелли, над полем нулевой характерисики постро
ена Ю.П.Размысловым [3], в том числе получено обобщение класси
ческих результатов Голди [9,10] о структуре нетеровых асеоци-
.ативных полупервичных алгебр и их колец частных на случай полу-
первичных алгебр конечной сигнатуры, удовлетворяилих тождествам
.. Капелли. ... .. ' ...

,7. Procesi С. Rings with . polynomial identities. Dekkef, N.I.,1973.

8. Irving R.S. Affine Pi-algebras not embeddable in matrix
rings// J. Algebra, 82(1983), p.94-101.

9. Goldie A.W. The structure of prime rings under ascending
' chain conditions// Proc. Lond. Math. Soc, 8(-1958),.p.589-608.

10..Goldie A.W. Semi-prime rings with maximum conditions// Proc. lond. Math. Soc, 10(1960), p.201-220.

' ~N

В первой главе диссертации исследуется структура алгебр коночной сигнатуры, удовлетворяющих тождествам Капелли, в модулярном случае, а также изучается препятствие для прелставкмостии таких алгебр.

В настоящее время в теории представлений активно изучаются представления алгебр сигнатурнії^ в алгебрах сигнатуры52. .

Понятие тождества ассопиативно-лиевой пары было введено А.И.Кострикиннм [11,12]. Именно ассоциативно-лиевы пары и их тождества исследуются наиболее активно [і]. Ассоциативно-лиевы парн были применены Ю.П.Размыеловым при доказательстве теоремы о базисе тождеств алгебрн Ли s6_ над полем нулевой характеристики.

Структурная теория ассоциативно-лиевых пар и пар сигнатуры < конечного тиса над полем нулевой характеристики, удовлетворяющих слабым тождествам Капелли, получена в работе И.П.Размыслова [3].

Вторая глава диссертации обобщает результаты работы [3] на случай произвольного поля и произвольного нетерового кольца.

То, что в алгебре Ли полиномиальных векторных полей на прямой \ХЛ выполняется стандартное лиево тождество пятой степени-было замечено Г.Бергманом, Ю.П.Размыеловым, -Е.А.Суменковнм. В [13] Ю.П.Размыслов доказал, что в простых алгебрах Ли, удовлет-

11. Кострикин А.И. Кольца Ли, удовлетворяющие условию Знгеля//-Изв. АН СССР. Сар. мат. 1957. т.21. #4. с.515-540.

12. Кострикин А.И. О проблеме Бернсайда// Изв. АН СССР. Сер. мат. 1959. т.23. М. с.3-24.

13. Размнслов Ю.П. Простые алгебры Ли, удовлетворяющие стандартному лиеву тождеству степени 5// Изв. АН СССР. Сер. мат. 1985. т.49. ИЗ. с.592-634.

6*

воряющих стандартному тождеству степени 5, выполняются все тождеству алгебры Ли полиномиальных векторных полей на прямой \ХА -Тождества алгебры Ли \J(/ изучались также в [14]. Вопрос о базисе тождеств алгебры Ли W, остается открытым.

Б третьей'главе диссертации доказано, что всякое тождество алгебры Wj» с точностью до некоторой степени нетривиального фиксированного множителя, является следствием стандартного лиева тождества пятой степени.

Цель работы. Структурная теория и исследование представимости конечно порожденных алгебр конечной сигнатуры, удовлетворяших тождествам Капелли, в модулярном случае и в случае произвольного нетерового кольца, структурная теория пар, удовлетворяющих ела-; бым тождествам Капелли, исследование тождеств алгебры Ли полиномиальных векторных полей на прямой.

Методы исследований- Используются методы теории алгебр-с тождественными соотношениями и теории представлений. Применяются также комбинаторные методы и -некоторые результаты из теории графов.'

иЯунддЯ НОЬиЗКЗ... juCS GCKGEKKS рсЗуЛЬЇлТН ДйССерТаШШ — Н0ВЫ6.

Теоретическая и практическая ценность. диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в структурной теории алгебр, теории алгебр Ли с тождественными соотношениями и теории представлений.

Апробация.-' Основные результаты диссертации докладывались на Третьей Международной конференции по Алгебре (Красноярск, 1993г.), на "Научно-исследовательском семинаре по алгебре" под

14. Молев А.И. Об «алгебраической структуре алгеОрн Ли векторных полей на прямой// Мате'м. сборник. 1987. т.184. Ж1. с.82-92.

рук. чл.-корр. РАН, проф. А.И.Кострикина и на семинаре "Избранные вопросы алгебры" под рук. чл.-корр. РАН, проф. А.И.Кострики-на и проф. Ю.А.Бахгуркна в hffy.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в. работах, список которые приведен в конце автореферата. Обгем и структура работа. Диссертация состоит из введения, трех глав к библиографии (66 наим.), изложенных на 83 страницах.