Введение к работе
Актуальность темы.
В свое время появление формальной логики было шагом вперед в борьбе с неопределенностью, расплывчатостью представления человеческих знаний. Логика была призвана исключить нестрогость, неоднозначность из рассуждений. Теперь же возникла насущная необходимость создания теории, позволяющей формально описывать нестрогие, нечеткие понятия и обеспечивающей возможность продвинуться в познании процессов рассуждений, содержащих такие понятия.
Ситуация ухода от нечеткости существовала до 1965 года, когда Л. Заде предложил теорию нечетких множеств [1] многообещающую теорию и технику для анализа и представления неясных или неточных понятий, используемых в утверждениях о событиях и фактах для описания отношении между объектами или действиями. Нечеткое множество - это математическая модель класса с нечеткими или, иначе, размытыми границами. В этом понятии учитывается возможность постепешюго перехода от принадлежности к непринадлежности элемента данному множеству. Иными словами, элемент может, вообще говоря, иметь степень принадлежности множеству, промежуточную между полной принадлежностью и полной непринадлежностью.
В 1972 году Заде предложил теоретико-мпожественную интерпретацию лингвистических переменных и ограничений [2] , которая отражала лингвистические аспекты отношения принадлежности в нечетких множествах. Например, если высказывание о некотором факте несет оттенок неуверенности, то его можно характеризовать лингвистически как, скажем, истипное, не истинное, очень истинное, более-менее истинное, не очень истинное и т. п., определяя каждым таким истинно-значным представлением нечеткого объекта смысл лингвистического ограничения.
Несколько позже [3] Заде предложил ввести в рассмотрение не-' четкую логику с лингвистическими, а не числовыми значениями истинности. Согласно такой логике высказывание может принимать истинное значение типа: истинно, ложно, абсолютно истинно, совсем ложно и т. п. - и каждое такое значение представляет нечеткое подмножество единичного интервала.
Далее;Заде исследовал метаязык, называемый PRUF (Possi-bilistic Relational Universal Fuzzy), чтобы отразить смысловое представление естественных языков [4] . Язык PRUF опирается на логику с лингвистическими значениями истинности, в которой неточность или неясность, присущая естественным языкам, описывается в терминах распределения возможностей. Кванторы в PRUF также выражаются с помощью лингвистических терминов. Кроме того, понятия семантической равносильности и семантического следования введены так, что PRUF может служить в качестве языка для системы "вопрос - ответ" и вывода из нечетких посылок.
Современная библиография по теории нечетких множеств, содержащая несколько тысяч единиц, охватывает не только теоретические аспекты теории, но и такие прикладные области, как распознавание образов, кластерный анализ, принятие решений, разработка роботов, медицинская диагностика, инженерное искусство, системное моделирование, процесс управления, психология, лингвистика, общественные и политические науки, управление каким-либо процессом, в том числе и наукой. Что же достигнуто с помощью теории нечетких множеств в различных отраслях человеческих знаний?
В философском плане теория нечетких множеств примечательна тем, что открывает новый подход к решению проблемы абстракции и образования понятий, обладающих богатством всевозможных оттенков [5-7].
В области анализа больших систем (например, системы управления экономикой страны, отрасли т. д.) открывается возможность моделирования неопределенности, .выраженной, в частности, в градациях информированности центра о ниже лежащих уровнях [8-13],
В области психологии - это моделирование свойств целостности, диффузности психических образов и представлений, гибкости мышления, многозначности элементов языка, присутствующих на всех уровнях отражения, регуляции и коммуникации [14,15].
В области лингвистики - это моделирование смысла предложений и текстов с помощью распределения возможностей, описываемых функциями принадлежности [16-20].
В области здравоохранения - разработка информациошю-техно-
логических методов диагностирования и создание ца их основе автоматизированных диагностирующих систем [21-24].
В области техники теория нечетких алгоритмов стимулирует развитие гибких автоматизированных производств и робототехпи-ческих комплексов, в частности, роботов, способных выполнять отдельные интеллектуальные действия человека [25-28]. Это дало толчок как развитию командного управления (выполнение нечетких инструкций), так и созданию управляемых систем с повышенной автономностью. Открытость системы, взаимодействие с внешней средой ставят целый ряд новых проблем при конструировании соответствующих моделей. Эти проблемы связаны с неопределенностями, неизбежными при описании состояния внешнего мяра. Источниками неопределенности такого представления являются: невозможность сколь угодпо точного измерения реальных величин; невозможность полного и четкого описания многих физических объектов и ситуаций; принципиальные ограничения по точности и большие погрешности выполнения сенсорных или перцептивных действий; неточность исполнительских действий, которые зачастую не достигают цели; недостаточность размерности модели, не позволяющая отразить все значимые свойства объективного мира.
Эти рассуждения наталкивают на мысль о несовершенстве метода нечетких множеств для формализации окружающего нас мира. Общество нуждается в новых способах борьбы с неопределенностью, расплывчатостью представления человеческого знания, которые в совокупности с методом нечетких множеств дали бы нам возможность создания более приближенных к действительности формальных систем.
С множеством неопределенностей такого рода справляется интервальный анализ. Непосредственное применение интервальных методов в вычислитсльпых процессах позволяет заключить в интервалы решения задач, о входных данных которых известно лишь то, что они лежат в определенных интервалах [30]. Однако, при точном определении входньис данных задачи, получаемые решения так же являются точными значениями.
В природе же часто встречаются процессы, в которых не объекты, а действия над ними содержат нечеткость. Так, например, связь между шжолевиями осуществляется через гепы, которые
определяют развитие того или иного признака. Обозначим ген, определяющий доминантлый признак буквой А, а соответствующий ему рецессивный геи - буквой а. Тогда каждый из двух предков обладает гаметой АА, либо Аа, либо аа.
Гипотеза чистоты гамет устанавливает, что закон расщепления есть результат случайного сочетания гамет, несущей ген А или же а, при условии равной жизнеспособности гамет и равного их количества, одинаково вероятного контактирования. При случайном характере соединения гамет общий результат оказывается закономерным. Здесь видна статистическая закономерность, определяемая большим числом равновероятных встреч гамет.
В этом примере мы имеем конкретные объекты, действия производимые над которыми расплывчатые. Вопросам исследования алгебраических систем, содержащих нечеткие операции, и посвящена настоящая работа.
Цель работы.
-
Описать принцип построения нечеткой операции, т. е. операции, результатом действия которой является не один объект, а целое множество объектов, каждый из которых задается с некоторым предпочтением.
-
Исследовать структуру и основные свойства алгебр с нечеткими операциями.
Научная новизна.
Все результаты, полученпые в диссертации, являются новыми и снабжены подробными доказательствами.
Теоретическая и практическая ценность.
Полученные результаты имеют теоретическую ценность и могут быть использованы в дальнейших исследованиях алгебраических систем с нечеткими операциями, а так же может использоваться при описании объектов с нечетким выполиепием операций.
Апробация работы.
Результаты диссертации докладывались на:
* международной конференции по математике, посвященной
памяти Л. Д. Тайманона (г. Алматы, 1998),
международной конференции по математической логике, по
священной 9С)-летию со дня рождения А. И. Мальцева (г. Но
восибирск, 1999),
в международной конференции "Логика и приложения", посвященной 60-летию академика Ю. Л. Ершова (г. Новосибирск, 2000),
в заседаниях объединенного семинара лабораторий программных систем и лаборатории логических основ программирования института информационных технологий и прикладной математики СО РАН
в заседаниях Алматипского городского семинара но алгебре и математической логике,
в заседаниях семинара "Прикладные вопросы математики" института теоретической и прикладной математики HAH РК
в заседаниях семинара "Вопросы языкознания" филологического факультета АГУ им. Абая
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 103 наименований и занимает 102 страницы машинописного текста.