Введение к работе
Обычные многочлены от нескольких переменных над некоторым полем могут рассматриваться как математические объекты с разных сторон. Прежде всего, они являются линейными комбинациями "слов'' (мономов) от нескольких "букв" (свободных порождающих), которые коммутируют между собой. С другой стороны, если поле бесконечно, то их можно отождествить с регулярными функциями на аффинном пространстве; в этом случае порождающие - это проекции на фиксированные базисные элементы, т.е., координатные функции.
Теперь предположим, что аффинное пространство Р параметризовано элементами некоммутативной (или даже неассо-циативной) алгебры А, т.е., Р - это прямая степень А. Тогда координатные функции - это в точности общие элементы алгебры А; они содержатся в алгебре функций из Р в А относительно поточечных операций и подалгебра порожденная ими и есть алгебра общих элементов алгебры А. С другой стороны, эта алгебра является свободной во многообразии порожденном А, причем общие элементы играют роль свободных порождающих.
Типичным примером является алгебра общих матриц, играющая чрезвычайно важную роль в теории колец. Одним из первых и эффектных применений этой идеи является работа Ами-цура [17], где обобщается терема Гильберта о нулях на некоммутативный случай и доказывается теорема о нильности радикала Джекобсона конечно-порожденной ассоциативной алгебры удовлетворяющей нетривиальному полиномиальному тождеству (т.е., PI алгебры). Другой яркой иллюстрацией является пример алгебры с делением не являющейся скрещенным произведением [18], отметим также теорему Размыслова-Фор-манека о центральных многочленах матричной алгебры. Уси-
лия в этом направлении привели к развитию теории ассоциативных PI алгебр [31, 32].
Алгебры общих элементов в неассоциативном случае используются также с давних пор. Они оказались полезными как в структурной теории некоторых классов алгебр (см., например, [25,37]), так и в теории многообразий алгебр [2,15, 26], в частности, при описании тождеств конечномерных алгебр и их представлений.
Фундаментальный вопрос в классической теории инвариантов - описать порождающие алгебры полиномиальных инвариантов .F[V]G некоторой данной группы преобразований G конечномерного векторного пространства V над полем комплексных чисел (алгебраически замкнутым полем характеристики 0). Этот вопрос особенно важен, когда рассматривается диагональное действие некоторой группы G < GUy) на прямой сумме нескольких копий векторного пространства У, т.е., на kV = У ф ... ф У (прямую сумму счетного числа копий мы
к обозначаем через У).
Ответ на этот вопрос хорошо известен в случае классических групп (специальной линейной, ортогональной, симплек-тической) [39]. В работе К.Прочези [30] (см. также [24, 29]) дано описание матричных инвариантов некоторых классических простых линейных групп в терминах многочленов со следом; более того, соотношения между порождающими описываются в терминах тождеств со следом матричной алгебры, доказывается, что они все следуют из тождества Гамильтона-Кэли (аналогичное утверждение было доказано Размысловым [13]). Этот результат является примером глубокой взаимосвязи между классической теорией инвариантов и теорией колец, см. также [19, 23].
В случае минимальных представлений исключительных простых линейных алгебраических групп на этот счет было известно совсем немного; порождающие были найдены только для типа Crt [16, 34, 35]. Интересно то, что этом случае ответ, как и в случае матричных инвариантов, дается в форме многочленов со следом, и, таким образом, существенно использует умножение алгебры Кэли-Диксона, хотя по характеру само доказательство является совершенно другим. На самом деле, Г.Шварц в своей работе [35] ставит вопрос о "Кэли-теоретическом" доказательстве. Более того, минимальные представления для групп других исключительных типов также связаны с определенными простыми неассоциативными алгебрами, где возможность подобного описания инвариантов выглядит вполне реальной, однако, для этой проблемы требуется новый подход.
Понятие тождества играет фундаментальную роль в теории алгебраических систем, многие важные утверждения в той или иной степени используют язык тождественных соотношений. Эффективность такого подхода объясняется следующими обстоятельствами. С одной стороны, утверждение записанное в терминах тождеств стабильно относительно основных алгебраических конструкций (декартовых произведений, факторси-стем, подсистем), что позволяет переносит некоторые свойства относительно простых объектов на более сложные. С другой стороны, язык тождеств достаточно богат и может довольно точно описать основные характеристики некоторой данной алгебраической системы. Довольно популярной иллюстрацией в этом случае служит теорема Кушкулея-Размыслова о том, что конечномерные алгебры (в некотором широком смысле) над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 описываются своими тождествами с точностью до изоморфизма, [15].
Одной из центральных проблем в теории ассоциативных PI алгебр была проблема Шпехта [36] о конечности базиса тождеств для любой ассоциативной алі-ебри над полем характеристики 0. Усилия многих специалистов в этом направлении (см., например, обзор [20]) привели, в конечном счете, к положительному решению, данного А.Р.Кемером в [7]. Позже, на основе этой работы, он доказал более общий факт утверждающий, в частности, что относительно свободная ассоциативная РІ алгебра конечного ранга канонически изоморфна алгебре общих элементов конечномерной алгебры [26].
Успех в ассоциативном случае стимулировал попытки получить подобные утверждения в других многообразиях алгебр. Так, А.Я.Вайс и Е.И.Зельманов [3] доказали аналог теоремы Кемера о конечности базиса полиномиальных тождеств для конечно-порожденных йордановых РІ алгебр.
В классе алгебр Ли первый пример конечномерной алгебры не имеющей конечного базиса тождеств был построен М.Воон-Ли [38]; существенным условием было то, что основное поле бесконечно и характеристики 2. Позже, В.Дренски обобщил этот пример на случай бесконечного поля произвольной положительной характеристики [6]. С другой стороны, по теореме Бахтурина-Ольшанского [1], любая конечномерная алгебра Ли над конечным полем имеет конечный базис тождеств; это является аналогом известной теоремы Оэтс-Пауэлл в Теории Групп [28, 27]. Таким образом, случай характеристики 0 является особенно интересным, см. [5, стр. 43], [15], [20, стр. 188]; важные результаты в этом направлении были получены Ю. П. Размысловым [15], А. Н. Красильниковым и А. Л. Шмель-киным [8].
Основной целью диссертация является решение следующих проблем: а) выяснить взаимосвязь между инвариантами
групп автоморфизмов алгебр и структурой соответствующих алгебр общих элементов для обобщения известных результатов об инвариантах классических групп на случай исключительных простых линейных алгебраических групп; б) доказать конечную базируемость тождеств конечномерных алгебр Ли и их конечномерных представлений над полем характеристики 0.
В работе используются методы общей теории неассоциативных алгебр, ассоциативных PI алгебр, структурной теории алгебр Ли, теории многообразий алгебр, теории инвариантов линейных алгебраических групп.
Результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти свое применение в исследованиях по теории инвариантов алгебраических групп, в теории многообразий алгебр, а также при чтении алгебраических специальных курсов и подготовке учебников, монографий.
Результаты докладывались на Международной Алгебраической Конференции памяти А.И.Ширшова (Барнаул, август 1991), на Всесоюзной Конференции по Теории Колец, Алгебр и Модулей (Львов, август 1990), на Конференции по Йорда-новым Алгебрам (Обервольвах, Германия, август 1992 и февраль 1996), на Третьей Международной Школе по Неассоциативной Алгебре (Овъедо, Испания, июль 1993), на Конференции по Теории Ли (Сидней, Австралия, ноябрь 1994), на 15-ой Алгебраической Конференции штата Виктория (Мельбурн, Австралия, ноябрь 1997), на Национольном Симпозиуме по Алгебраическим и Аналитическим методам в Теории Ли (Канберра, Австралия, декабрь 1997), на семинаре "Алгебра и Логика" в Новосибирском госуниверситете, да семинаре по теории колец им.Ширпгова и семинаре по кольцам близким к ассоциативным (Институт математики СО РАН), на семинаре кафедры алге-
бры Московского госуниверситета, в Софийском университете (Болгария), в университете г. Сарагоса (Испания), в Австралийском Национальном университете (Канберра), в университете г.Сидней (Австралия), в Национальном университете Сингапура, в университете Париж VI (Франция).
По теме диссертации опубликовано 6 журнальных статей.
Все результаты диссертации получены автором самостоятельно, за исключением теоремы 2.2, полученной в нераздельном соавторстве с И.П.Шестаковым.
Диссертация изложена на 142 страницах и состоит из введения и пяти глав. Библиография содержит 84 наименования.