Электронная библиотека диссертаций и авторефератов России
dslib.net
Библиотека диссертаций
Навигация
Каталог диссертаций России
Англоязычные диссертации
Диссертации бесплатно
Предстоящие защиты
Рецензии на автореферат
Отчисления авторам
Мой кабинет
Заказы: забрать, оплатить
Мой личный счет
Мой профиль
Мой авторский профиль
Подписки на рассылки



расширенный поиск

Алгебраические свойства решений дифференциальных уравнений и их применение в теории трансцендентных чисел Салихов, Владислав Хасанович

Данная диссертационная работа должна поступить в библиотеки в ближайшее время
Уведомить о поступлении

Диссертация, - 480 руб., доставка 1-3 часа, с 10-19 (Московское время), кроме воскресенья

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Салихов, Владислав Хасанович. Алгебраические свойства решений дифференциальных уравнений и их применение в теории трансцендентных чисел : автореферат дис. ... доктора физико-математических наук : 01.01.06.- Москва, 1992.- 19 с.: ил.

Введение к работе

!

~" Актуальность темы. Изучение арифметических свойств зна-
эний аналитических функций, удовлетворяющих линейным диффе-
энциальным уравнениям, является одной из ватлых классичес-
лх задач теории трансцендентных чисел. Еще в 1873 г, Ш. Эр-
игу удалось использовать функциональное ( f(^i^^z)
- f(Zi)
-f^i) ) и дифференциальное ( f (z) - f(-z)j
равнения для показательной функции ffs) —Є и устано-
кть трансцендентность числа Є . В 1882 г. Ф.Линдеман^ с
эмощьп развития метода Эрмита доказал трансцендентность зна-
зний функции в в алгебраических точках 2 = О t ,

г>едовательно, трансцендентность значений функции "і? в
игебцаических точках 2 \> 1у . Тем самым была доказана
рансцендентность числа ЗГ , и получено отрицательное ре
зине известной проблемы квадратуры круга. Ф. Линдеыану принад-
зжчт также первое утверждение об алгебраической независимости
зскольких чисел: Если «^f,..., «^ алгебраические числа,

шейно независимые над полем Q , то числа е. *...,е. "" ігебраически независимы.

В 1929 г. К. Зигель . опубликовал метод доказательства ал-збраической независимости значений одного класса целых функ-ій, названных им Е-функциями, удовлетворяющих линейным диффе-

Hermite Ch. Sur la function exponentielle // C.R. Acifl.

Soi. (Paris).-1873.-V.77.-P. 18-24, 74-79, 221-223,

285-293; Qeuvrea.-V.3.-P. 150-181.

Lindemann P. Ober die Zahl37/ Math. Ann.-1882.-Bd.20-

5. 213-225.

Siegel K.L. Ober oinige Ansrendungen Diophantisoher

Approximationen ft Abh. Preuaa. Acad. Wins..Pbya.-Math. XI.-

t92S-1930.-N.1.-S.1-70.

ренциальным уравнениям с коэффициентами из (Lfe) . В качестве основного объекта'применения своего метода К. Зигель указал обобщение гипергеоыетрические функции

ие'п.

и их последовательные производные. |

функция (I) является Е-^ункцией, если все ее параметры \l, Vj Є <} . Кроме того, функция (І) является решением линейного дифференциального уравнения порядка +С

i=f . ' (2)

В 1949 г. К. Зигель изложил свой метод в форме общей теоремы об алгебраической независимости чисел где f, (*0, —»-г>>. 1*0 - совокупность Е-функций, удовлетворяющих системе т. линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с коэффициентами из

о(. - алгебраическое число, отличное от нуля и особых точек этой системы. Общая теорема Зигеля сводила доказательство указанного арифметического утверждения к проверке некоторого аналитического условия нормальности для совокупностей произведе-

ий степеней рассматриваемых функций. Проверить выполнение словия нормальности. К. Зигелю удалось только для функций идя (I), удовлетворяющих однородным дифференциальным урав-іениям первого и второго порядков. Заметим, что в случае 171 ~> Z* подобная проверка для обобщенной гипергеометри-еской Е-функции и ее последовательных производных впервые далась лишь в 1988 г. Д. Браунвеллу, Ф. Бейкерсу и F. Хек-юну , создавшим новый метод, использующий средства теории редставлений групп Ли. Это позволило им с помощью общей еоремы К. Зигеля получить ряд результатов относительно ал-ебраической независимости совокупности значений произволь-< ых обобщенных гкпергеометричесютх Б-функций и их последо- . . -ельных производных.

Для применения своей общей теорэкы К. Зигель развил етод доказательства алгебраической независимости над Jo0^) и «70 (U) , где С/0() - функция Бесселя, od - отличное от нуля алгебраическое число.

В 1955 г. А.Ь. Шидловский существенно обобщил метод . Зигеля. Ему удалось найти необходимое и достаточное ус-овіїе алгебраической независимости значений совокупности

Пеикегз P., BroVtaawelJ. D., Heofcnaa G. 3iegol noraalit3//Ann. of Uath.-1938.-V.127.-P.279-208.

. Шидловский А.Б. О критерии алгебраической независимости значений одного класса целых функций // ДАН СССР.-1955.-Т.І00, 1?2. - С. 221-224.

Е-функцнй -*-i(2) y...t-fM fe) . составляющей решение системы дифференциальных уравнений

9 Г Q)o + 2 %^- ,j=x,...,»v, (?;, е^). (3)

Таким условием алгебраической независимости чисел
fл(и.) )...,$ы 6"0 , где U. - алгебраическое число, от
личное от нуля и полюсов всех функций Q\ji, , является ал
гебраическая независимость функций -fife) ,-, т,ы &) над

Для применения общей теоремы А.Б. Шидлсвского к конкретним подклассам Е-фун^ций естественно возникла проблема разработки методов доказательства алгебраической независимости функций над С-(г) .Такие методы после Зигеля были разрабо-, таны А.Б. Шидловским, И.И. Белогривовым, К. Малером, К. Ваана-неном, Б.А. Олейниковым, Г.В. Нестеренко и рядом других авторов. Применял критерий А.Б. Шидловского, эти авторы получили результаты об алгебраической независимости значений различных совокупностей обобщенных гипергеоыетрических Е-функций,t а также некоторых других функций, связанных с ними. Все эти результаты относились к некоторым подклассам Е-функций, причем в ряде случаев рассматриваемые функции удовлетворяли дифференциальным уравнениям произвольных порядков.

В 1977 г. автором диссертации был опубликован метод доказательства алгебраической независимости функций, применимый к обобщенным гипергеометрическим функциям (І) в случае С -О

, - произвольное простое число. Эти исследования были прожжены в ряде работ автора, опубликованных в 1980-88 г.г. Ьдробно история вопроса изложена в монографии А.Б.Шидловс-ого6.

Целью работы является

I/ разработка новых методов исследования алгебраических эоЯств решений линейных дифференциальных уравнений с коэффи-иентами из Q(z) , применимых, з частности, к обобщенным ипергеометрическим уравнениям любых порядков;

2/ доказательство алгебраической независимости совокуп-ости значений в алгебраических точках обобщенных гипергео-етрических функций и их последовательных произвольных.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из ведения, 5 глав и списка литература Объем диссертации 266 тр. Библиография включает 101 наименование.

Общая методика исследования основана на построении и зучении алгебраических свойств специальных фундаментальных кстем решений (ф.с.р.) линейных однородных дифференциальных равнений с коэффициентами из . Эти ф.с.р. строятся дифференциальных полях, являющихся расширениями поля форельных степенных рядов. В методе существенно используются ззультати аналитической теории дифференциальных уравнений и кфференциальной алгебры. Предложенная методика применяется ля исследования алгебраических свойств решений линейных ифференциальных уравнений, обладающих иррегулярной особой эчкой, з частности, для уравнений (2).

. Шидловский А.Б. Трансцендентные числа.-М.: Наука. - 1987.