Содержание к диссертации
Введение
1. Комбинаторные вопросы 10
1.1. Представления, порядки и методы перебора 11
1.2. О перечислении рисунков 13
1.3. Деревья заданного комбинаторного типа 15
2. Алгебраические системы и методы их построения 26
2.1. Деревья заданного комбинаторного типа 26
2.2. Обобщенная антивандермондова система 27
2.2.1. Основные объекты 28
2.2.2. Трансверсальность пересечения в непаразитическом случае 29
2.2.3. Об изменении свойств системы при малом изменении параметров 30
2.2.4. Комбинаторный смысл решений ОАВ 31
2.3. Дивизориальные рассмотрения: слои над якобианом 32
2.4. Случай гиперэллиптических кривых 33
2.4.1. Нормировки для гиперэллиптических пар Белого 33
2.4.2. Инварианты Игузы кривых рода 2 34
2.5. Рисунки на неособых квартиках 35
2.6. Общая система для пар Белого (в плоской модели кривой) 36
2.6.1. Исходная постановка 36
2.6.2. Параметры системы 37
2.6.3. Условия гладкости 37
2.6.4. Проекция из 'общей' точки (^i : 2 - 1) 38
3. Вычисления пар Белого 39
3.1. Общие вопросы нормировки 39
3.1.1. Нормировка торических рисунков 39
3.2. Методы редукции 42
3.3. Конкретные результаты 43
3.3.1. Набор валентностей < 5, 5,3, 3 || 6,6,1,1,1,1 > 43
3.3.2. Набор валентностей < 5,4 | 3,3,3 | *(р = 0) > 49
3.3.3. 3-валентный рисунок с валентностями граней 10,4,2,1,1 51
3.3.4. 3-валентный рисунок с валентностями граней 13,2,1,1,1 53
3.3.5. 3-валентный рисунок с валентностями граней 8,4,3,2,1 55
3.3.6. 3-валентный рисунок с валентностями граней 8,5,2,2,1 56
3.3.7. Набор валентностей < 5,3 || 7,1 > 58
3.3.8. Деревья малых степеней и теорема Везу 67
3.3.9. Набор валентностей < 6,6,2,2 || 5,5,2,2,1,1 > 68
3.3.10. Цикл длины 2 с петлями наружу 75
3.3.11. Игра Белого на плоской квартике 75
Литература 80
- О перечислении рисунков
- Об изменении свойств системы при малом изменении параметров
- 3-валентный рисунок с валентностями граней 10,4,2,1,1
- Цикл длины 2 с петлями наружу
Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация относится к теории пар Белого и посвящена задаче выбора параметров и системы уравнений для нахождения пар Белого, удовлетворяющих фиксированным комбинаторным ограничениям на детский рисунок, а также исследованию решений таких систем. Основное внимание при этом уделяется решениям, соответствующим парам Белого.
В 1979г. Г. В. Белым1 сформулирован критерий определённости кривой над Q в терминах накрытий Р , разветвлённых над не более чем 3 точками. Таким разветвлённым накрытиям отвечают функции с не более чем 3 критическими значениями, которые сейчас принято называть функциями Белого. Пара Белого состоит из кривой и функции Белого на ней. Функции Белого тесно связаны с детскими рисунками Гротендика, план исследований которых был сформулирован в 1984 году и опубликован в 1997 году2.
Теория пар Белого — развивающаяся область науки, использующая методы алгебраической геометрии и топологии. Одной из важных задач этой теории является построение уравнений алгебраической кривой и рациональной функции Белого на ней по заданному детскому рисунку. С вычислительной точки зрения эта задача до сих пор далека от полного разрешения. С ней связана задача выбора таких координат, для которых коэффициенты уравнений кривой и многочленов, задающих рациональную функцию, находятся однозначно и лежат в минимальном возможном поле. Поле определения пары Белого, которое соответствует её стабилизатору под действием группы Галуа, является нижней оценкой поля, порождённого коэффициентами. В статье Филимоненкова и Шабата3 найден пример, в котором эта оценка не достигается.
Цель работы — построение и исследование систем уравнений для вычисления пар Белого и создание элементов теории кратностей для таких систем. Вычисление пар Белого (как отдельных, так и бесконечных семейств) в терминах аффинных и проективных систем уравнений, задающих алгебраическую кривую, и отношения многочленов, задающего рациональную функцию на этой кривой.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем:
1. Для обобщённой антивандермондовой системы уравнений на пары Бе-
1Белый Г.В. О расширениях Галуа максимального кругового поля, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1979, 43:2, 267-276 2Grothendieck A. Esquisse d'un programme, London Math.Soc. Lecture Notes Series, Cambridge, 1997, vol.243, 3-43 3Филимоненков В.О., Шабат Г.Б. Поля определения рациональных функций одного переменного с тремя критическими значениями Фундаментальная и прикладная математика, 1995, том 1, выпуск 3, 781-799
лого построена учитывающая паразитические решения теория кратностей.
Приведены несколько систем и подходов к вычислению для пар Белого малых родов.
Обоснован способ построения систем для рисунков с заданными наборами валентностей (в частности, кривых сколь угодно большого рода).
Описаны множества детских рисунков и пар Белого для некоторых наборов валентностей. В общей сложности, в работе получены пары Белого для 29 рисунков и 2 серий рисунков.
Основные методы исследования. В работе используются методы комбинаторной топологии и теории алгебраических кривых, а также разработанная автором техника вычисления пар Белого с помощью дифференциала Муласе-Пенкавы .
Теоретическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в работе результаты могут быть использованы в задачах теории детских рисунков Гротендика, а также в её приложениях к теории алгебраических кривых и к теории Галуа. Методы, рассмотренные в диссертации, были успешно применены для подсчёта многих пар Белого, вошедших в каталог5.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре "Графы на поверхностях и кривые над числовыми полями" (Москва, 2007 и 2008) и на "Научно-исследовательском семинаре по алгебре" кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ им. Ломоносова (Москва, 2008), на "Международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию МГУ им. М.В. Ломоносова и 75-летию кафедры высшей алгебры" (Москва, 2004), на "Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Г. Куро-ша" (Москва, 2008) и на международной конференции "The Grothendieck-Teichmiiller Theory of Dessins d'Enfants" (Edinburgh, 2008).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах автора, список которых приведён в конце автореферата [1-5].
Структура и объём диссертации. Диссертационная работа изложена на 81 странице и состоит из введения и трёх глав. Библиография включает 22 наименования.
4M.Mulase, M.Penkava Ribbon Graphs, Quadratic Differentials on Riemann Surfaces and Algenraic Curves Defined over Q Asian journal of mathematics, 1998, vol.2, number 4, 875-920
8H. M. Адрианов, H. Я. Амбург, В. А. Дрёмов, Ю. Ю. Кочетков, Е. М. Крейнес, Ю. А. Левицкая, В. Ф. Насретдинова, Г. Б. Шабат Каталог функций Белого детских рисунков с не более чем четырьмя рёбрами, Фундаментальная и прикладная математика, 2007, том 13, выпуск 6, 35-112
О перечислении рисунков
Существуют многочисленные результаты (например, работа [15]) о количествах рисунков в разного вида объединениях комбинаторных типов рисунков. Основная часть точных результатов связана с понятием взвешенной суммы рисунков, а именно: каждый рисунок считается с коэффициентом, обратным к порядку его группы автоморфизмов. Именно такую сумму оказывается возможным вычислить в общем виде. Я занимался проблемами явного перечисления и подсчёта рисунков, осуществимого с помощью алгоритмов, сложность которых ненамного превышает количество получаемых рисунков по порядку величины. Эта деятельность важна в контексте поиска и изучения отдельных экземпляров рисунков, обладающих специальными свойствами, относительно легко вычислимыми по соответствующим рисунку перестановкам (порядок группы симметрии, самодвойственность, и другие). Такие рисунки часто приходится искать среди необозримых семейств, имея информацию о каких-то комбинаторных свойствах рисунка, и потому компьютерный поиск оказывается одним из самых удобных инструментов. Важна и возможность выбирать экстремальные в различных смыслах рисунки с данным числом рёбер, для последующего изучения их комбинаторных типов, системы уравнений на пару Белого в таких случаях зачастую также имеют необщий вид и потому чаще поддаются непосредственному изучению (например, симметричные склейки, изученные в работе [19]). Мы знаем, что рисунку из соответствует тройка перестановок (ро, р±, р2) с цикленными типами (v0 l, V0,2, ственным произведением popiP2 — Id (см. например [11]). С помощью этого соответствия вопрос о перечислении рисунков с заданными наборами 0 и 1-валентностей сводится к вопросу о перечислении пар перестановок заданных типов, определяющих транзитивное дей- ствие и заданных с точностью до общего сопряжения (перестановка /?2 задаётся как (poPi)-1)- "Утверждение 1. Описанный ниже алгоритм порождает хотя бы по одному представителю, но не более чем по d представителей из каждого класса сопряженности пар перестановок ро, р\ Є Sd с заданными цикленными типами. а) Применим сопряжение, чтобы упорядочить циклы ро по воз растанию длины и представить каждый из них в виде (а, а + 1,а + 2,... ,а -\— 1), где число а - минимальный элемент цикла, а число s - длина цикла. б) Зададим последовательно циклы pi и мнооюество использо ванных элементов X С {1, 2,..., d} следующей индуктивной процедурой: 6.1) На первом шаге у нас X — 0, а циклы р\ не заданы.
Мы выбираем начальное число 1. Далее мы выбираем одну из длин циклов перестановки р\ и задаём цикл этой длины, начинающийся в 1, по нижеследующей процедуре Ргос; б.и) На каждом шаге мы выбираем наименьшее число, лежаш,ее в ро Х\Х. Далее мы выбираем одну из неиспользованных длин циклов перестановки pi и задаём цикл этой длины с началом в выбранном числе по нижеследующей процедуре Ргос; Ргос Сначала мы добавляем к множеству X начало цикла. Далее мы определяем образ начала цикла и добавляем его в мнооюество X, потом проделываем ту же операцию с образом образа начала, и так далее пока не будет достигнута искомая длина цикла. При этом каждый образ, за исключением образа, равного начальному элементу строящегося рі-цикла, удовлетворяет одному из двух условий (old or new po-cycle): old образ принадлежит ро X \ X new образ является для некоторого числа I минимальным элементом среди всех циклов ро данной длины I, не содержащих элементов множества X. Утверждение следует из того, что сопрягающая перестановка для двух пар перестановок, полученных при помощи алгоритма, однозначно определяется образом 1. Мы используем систему, полученную в разделе 2.1., на стр. 27 и имеющую вид Y[{z - Ai)ai = Il(z Сг )Сі + const, Y &iAi = 0. Введём следующие обозначения: к - набор валентностей а\, 22,. -, ар Сі, С2,..., cq d , в котором мы требуем p+g = d-bl, YTj=i Lj = d, J2qj=l Cj = d;p,q 0. многообразие решений, соответствующее нашей системе, обозначим МА{к) ( all solutions); подмногообразие паразитических решений, определяемое в МА(к) уравнением Yi(z Ai)ai — ГК-2 — г)с\ обозначим МР{н) ( parasitic solutions). Дополнение МА{к)\МР(к) обозначим MD(K) ( dessin solutions). Отметим, что каждый элемент MD(K) даёт нам пару Белого и соответствует некоторому детскому рисунку.
При этом каждому рисунку соответствует лишь конечное число элементов MD{H). Следовательно, множество MD(K) конечно и является 0-мерным. Мы знаем, что произведение степеней уравнений равно (d — 1)!. Теория кратностей, которую мы ищем, должна указать разложение этого числа в сумму кратностей, вычисляемых по комбинаторным данным. Первая часть суммы — кратности изолированных точек, сумма по элементам множества MD(x) (каждый из которых соответствует детскому рисунку). Вторая часть суммы возникает из компонент множества МР{н) (из теоремы Везу [14, гл. 4, пар. 2, с. 283] несложно вывести, что сумма, отвечающая МР(?с), неотрицатель-па). Теорема Везу гарантирует разложение произведения степеней в сумму кратностей в случае трансверсального пересечения рассматриваемых гиперповерхностей, когда многообразие МА(к) имеет размерность 0. При этом часть MD(K) обязательно 0-мерна. Рассмотрим вопрос о размерности dim МР{н). Это многообразие может быть задано системой, состоящей из равенств P{z) — Yl(z — Ai)ai = Y\{z — Ci)Cl и ]Г) aiAi = 0, так как все уравнения системы для МА{х) являются следствиями этих двух равенств. Случаю P(z) = (z — a)d — z соответствует пустое множество решений системы. Случаю P{z) — (z — a) (z — b)1 с параметрами (a, b), связанными соотношением ak + bl = 0, соответствуют не более чем конечное число паразитических решений, взаимно однозначно отвечающих разбиениям наборов 0- и 1-валентностей, каждого в отдельности, на поднаборы с суммой к и суммой I. Например, для набора валентностей 3,1,1 2, 2,1 5 среди таких разбиений будет два разбиения вида 3 + l = fe = 4,1 = / = 1 для 0-валентностей и 2 + 2 = /с = 4,1 — 1 = 1 для 1-валентностей. Таким образом, паразитические решения существуют в том и только в том случае, когда в наборах аг и q можно выбрать собственные поднаборы с равной суммой. Следующее утверждение показывает, что этого нельзя сделать лишь в том случае, когда один из наборов состоит лишь из одного числа и не имеет собственных поднаборов.
Об изменении свойств системы при малом изменении параметров
Действительно, согласно теореме 2, с. 29 паразитическому решению отвечает хотя бы одно непустое подмножество S С {0,1,..., АГ — 1} такое, что Yljesaj 0. Количество различных таких подмножеств не более, чем 2 — 1. Каждое паразитическое решение лежит в одной из соответствующих этим подмножествам гиперплоскостей J2jeS % = 0- Следствие 2. В случае, если Ш. = С, а числа CLJ Є Ш, существуют сколько угодно близкие к ним в FN(aj) целочисленные CLJ, для которых все решения ОАВ является непаразитическими. Гипотеза, для любого непаразитического решения ОАВ над С существует такая окрестность в пространстве N(XJ) xPAr(aJ-) xFN(kj), в которой все решения ОАВ a) являются непаразитическими b) обладают сходной топологической структурой прообраза границы С \ [—со, 0], рассматриваемого как часть универсальной накрывающей С \ {:го, xi,..., х } c) вложенные деревья, отвечающие псевдодеревьям, полученным при целочисленном наборе CLJ, изоморфны относительно изоморфизма, не меняющего номеров Xj. При этом числа на рёбрах этих деревьев линейно зависят от параметров a,j. 2.2.4. Комбинаторный смысл решений ОАВ Теорема 5. Пусть (XQ : х\ : ... : XN) - непаразитическое решение ОАВ с целыми CLJ и полем Ж = С. Тогда соответствующая ему функция j=o является функцией Белого с набором валентностей ({%}, TV, 1,...,1). чИз первого уравнения ОАВ следует, что всего имеется N + 1 прообразов точек 0 и со. Покажем, что у точки 1 х = со является прообразом кратности не менее N. Для этого рассмотрим логариф-мическую производную ш ЫР = у = J2j=Q -2- = _ .=0 - .. Таким образом, из ОАВ следует, что J ln/З есть 0(x N 1),x — со. Но (3 — 1,ж — со. Следовательно, J /3 = 0{x N l),x — со. Из последних двух утверждений вытекает, что со есть прообраз 1 кратности не ниже N. Таким образом, имеем 3 точки {0,1, со} с суммарным количеством прообразов не более, чем deg/3 + 2. Следовательно, в найденных кратностях достигается равенство, других критических точек быть не может, и (3 - функция Белого с указанным набором валентностей.
Следствие 3. Пусть D - детский рисунок, который является прообразом Р 1о([—со, 0]), где J3 - функция Белого, соответствующая непаразитическому решению ОАВ, CLJ G Z, К = С. Тогда D является псевдодеревом. Рассмотрим отображение из d-й. симметрической степени кривой в её Якобиан: 7Г : Xd — Jac(X) [13]. Здесь d, как обычно, равно степени рассматриваемой функции Белого (3. Тогда определена проективная прямая дивизоров (/5-е), которую можно каноническим образом сделать неотрицательной, сдвинув на дивизор полюсов. В качестве координаты на этой прямой можно взять с. Такая прямая, вообще говоря, определена для любой функции /3. Но только на прямой, соответствующей функции Белого, заданы в точности 3 отмеченные точки - прообразы критических значений. В стандартной нормировке, они соответствуют значениям с Є {0,1, со}. Отмечу, впрочем, что существуют отдельные функции Белого с 2 критическими значениями (то есть, один из наборов валентностей у которых есть 1,1,..., 1). Такие функции Белого в данную схему вписываются, к сожалению, не так естественно. Итак, каждой функции Белого степени d 2 соответствует 1-мерная система линейно эквивалентных неотрицательных дивизоров степени d, на которой каноническим образом определена структура проективной прямой. Также на этой кривой отмечены 3 точки, соответствующие критическим значениям функции Белого (для функций, эквивалентных zd, одно из критических значений будет формальным). Каждая такая система, естественно, лежит в слое отображения 7Г. В частности, если речь идёт о функции Белого рода 0, то Р1 есть d, слой единственный, и речь идёт просто о том, что функциям Белого соответствуют настоящие прямые в пространстве Pd однородных форм степени d от 2 переменных, которые пересекают дискриминантную поверхность в 3 точках. Это же можно выразить в терминах ограничения дискриминанта на прямую, которое должно иметь корни лишь в не более чем 3 отмеченных точках. Кратности корней равны степени вырождения соответствующего им дивизора D: ordc(Discr) = deg Dc — ф Supp Dc. Произвольная гиперэллиптическая рода д может быть записана в видах (многочлены в правой части уравнений при это должны быть без кратных корней и с ненулевым коэффициентом при максимальной степени). Каждый из видов имеет свои преимущества.
В случае а) мы имеем одну отмеченную точку (на бесконечности), неподвижную относительно гиперэллиптической инволюции. В случае б) мы имеем две неупорядоченные отмеченные точки, переходящие друг в друга под действием гиперэллиптической инволюции. Мы можем также ввести дополнительные нормировки: с2д — 1, чтобы упорядочить отмеченные бесконечно удалённые точки; со = 1, чтобы отметить дополнительную точку с координатами (я,!/) = (0,1); со = 0, чтобы отметить дополнительно одну из точек Вейер-штрасса. Существуют и другие способы нормировки. Правильный выбор на этом этапе может сильно менять число параметров и может влиять на количество решений в классе сопряженности (желательно гарантировать, чтобы каждая пара Белого соответствовала лишь одному значению параметров, тогда мы сразу получим пару в виде с минимально возможным полем коэффициентов). 2.4.2. Инварианты Игузы кривых рода 2 В данном разделе поле К алгебраически замкнутое. В статье [2] при обсуждении пространства модулей кривых рода 2 вводится градуированное кольцо функций, называемых арифметическими инвариантами (arithmetic invariant). Они обладают, в частности, тем свойством, что для стандартной формы вида они лежат в Z[a, 6, c,d]. Так как эта форма годится для всех характеристик, то и инварианты становятся определёнными на любой кривой рода 2, даже характеристики 2 - когда речи о существовании 6 точек Вейерштрасса уже не идёт. Далее вводятся величины J2, J4, JQ, JS, ЛО = 2 12D (Jw ф 0). Они являются однородными инвариантами бирационального класса эквивалентности кривой, а именно - преобразуются одновременно по правилу В качестве полной системы инвариантов (порождающей всё поле, различающей все кривые - в характеристике не равной 2) можно взять 4, jf, г. Соответствующее утверждение находится на стр.630 статьи [2] и называется Integral dependence theorem. Кроме того, можно рассматривать вложения пространства модулей гиперэллиптических кривых рода 2 в аффинное пространство наименьшей размерности.
3-валентный рисунок с валентностями граней 10,4,2,1,1
Актуальность темы диссертации. В 1979 году Г.В.Белый доказал в статье [3] теорему о том, что на любой алгебраической кривой, определённой над полем Q, существует хотя бы одна непостоянная функция с тремя критическими значениями. Более того, существование такой функции - это критерий определённости кривой над Q. Сейчас такие функции с не более чем тремя критическими значениями принято называть функциями Белого. Определение 1. Пара Белого - это пара, состоящая из полной неприводимой гладкой комплексной алгебраической кривой и рациональной функции на этой кривой, имеющей не более чем три критических значения (функции Белого). В 1984 году Гротендик ввёл понятие детского рисунка и сформулировал план исследований в своём "Наброске программы" (опубликован в 1997 году [7]). Определение 2. Детский рисунок — это граф, вложенный в поверхность так, что дополнение к его образу гомеоморфно несвязному объединению открытых дисков. В данной диссертации всегда рассматриваются, если специально не оговорено обратное, двудольные двукрашенные детские рисунки (см. определение 3). Оказалось, что хотя структура рисунка полностью определяется простыми комбинаторными данными (например, парой перестановок), но в то же время рисунки тесно связаны с парами Белого. С одной стороны, прообразом отрезка комплексной плоскости, соединяющей два критических значения функции Белого, будет детский рисунок. С другой стороны, по рисунку можно построить соответствующую ему пару Белого. На самом деле, эта связь является очень точной. В диссертации [1] Г.Б.Шабат доказал теорему об эквивалентности категории детских рисунков и категории пар Белого с занумерованными критическими значениями (с соответствующим образом введенным понятием морфизма). Существуют точные эквивалентности в следующих двух случаях: во-первых, все пары Белого и двудольные рисунки, во-вторых, все рисунки и пары Белого, у которых все прообразы одного из критических значений являются двукратными. Каждая из этих теорий легко вкладывается в другую. В диссертации рассматривается первый случай. Таким образом, на каждой арифметически (над Q) определённой кривой есть хотя бы один рисунок. Более того, на каждой такой кривой есть бесконечное количество рисунков, со сколь угодно большим числом рёбер.
При этом каждый из рисунков (с точностью до изоморфизма) определяется своими комбинаторными данными, которые могут быть более элементарными и наглядными, чем формулы для кривой. Например, Гротендик начинал свои исследования рисунков независимо от алгебраических кривых и работы Белого. И только потом пришёл к выводу, что рисунки могут помочь в исследовании алгебраических кривых и даже абсолютной группы Галуа. Таким образом, очень интересно описывать свойства кривых с точки зрения лежащих на них рисунков. Это подводит нас к вполне содержательной проблеме нахождения пары Белого по соответствующему ей рисунку. С вычислительной точки зрения эта,проблема до сих пор далека от полного разрешения. Соответствующие алгебраические системы часто оказываются удобны для анализа с помощью использования специфики детских рисунков. В данном направлении ведутся активные исследования. Другой важной проблемой, связанной с построением пар Белого, является проблема выбора координат и параметров, которая с одной стороны влияет на сложность системы, а с другой - имеет чисто теоретический аспект, связанный с полями определения и возможностью представить возникающие рациональные функции в форме, определённой над этим полем. Действительно, когда группа Галуа AutQ действует на пару Белого, рисунок может измениться, потому что это действие не является непрерывным в комплексной топологии (за исключением комплексного сопряжения, которое действует отражением, в том числе и на рисунках). Действие группы Галуа даёт нам некоторую орбиту, а также и стабилизатор рисунка. Стандартная конструкция позволяет сопоставить стабилизатору поле, которое и называется полем определения рисунка.
Оказывается, что некоторые рисунки удаётся записать с коэффициентами из поля определения, в то время как для других рисунков это оказывается невозможным (в статье [8] приведён пример с полем определения степени 2 и минимальной степенью поля коэффициентов 4). Цель работы. Работа состоит в построении и исследовании систем уравнений для вычисления пар Белого и создании элементов теории кратностей для таких систем. Проводятся вычисления пар Белого (как конечных, так и бесконечных семейств) в терминах аффинных и проективных систем уравнений, задающих алгебраическую кривую, и отношения многочленов, задающего рациональную функцию на этой кривой. Основные методы исследования. В работе разработаны следующие подходы: вычисление торических функций Белого с помощью дифференциала Муласе-Пенкавы [9], построение однозначно заданной системы координат для эллиптических и гиперэллиптических пар Белого, теория кратностей и малых окрестностей для системы уравнений, позволяющей вводить рациональные параметры, и задающей плоские детские рисунки специального вида (подробнее см. раздел 2.2., с. 27-32). Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них: 1. Построена учитывающая паразитические решения (подробнее см. раздел 2.2., с. 27) теория кратностей для обобщенной анти-вандермондовой системы уравнений на пары Белого. 2. Приведены несколько систем и подходов к вычислению для пар Белого малых родов. 3. Обоснован способ построения систем для рисунков с произвольными наборами валентностей (в частности, кривых сколь угодно большого рода). 4. Описаны множества детских рисунков и пар Белого для некоторых наборов валентностей. 5. В общей сложности, в работе получены пары Белого для 29 рисунков и 2 серий рисунков.
Цикл длины 2 с петлями наружу
Основные результаты опубликованы в работах: 1. В. А. Дремов "Вычисление двух пар Белого степени 8"// Успехи математических наук - 2009, том 64, выпуск 3(387), с. 183-184. 2. Н. М. Адрианов, Н. Я. Амбург, В. А. Дремов, Ю. Ю. Кочетков, Е. М. Крейнес, Ю. А. Левицкая, В. Ф. Насретдинова, Г. Б. Шабат "Каталог функций Белого детских рисунков с не более чем четырьмя рёбрами" // Фундаментальная и прикладная математика- 2007, т.13, вып.6, с. 35-112. В этой работе Дремову Владимиру Александровичу принадлежит раздел 2, а также существенная часть разделов 4-7, а именно: вычисление пар Белого для несимметричных 4-рёберных рисунков рода 1 с двумя гранями (в том числе, 51-60, 64-65, 67-68, 82-85,100), дублирующее вычисление для 4-рёберных рисунков рода 0, отдельные вычисления для других групп рисунков. Также Дремов проводил завершающее упрощение формул и сведение их к единому виду. 3. Б. С. Бычков, В. А. Дремов, Е. М. Епифанов "Вычисление пар Белого шестирёберных рисунков рода 3 с группами автомор физмов порядков 12 и 3" // Фундаментальная и прикладная математика- 2007, т.13, вып.6, с. 137-148. В этой работе Дремову Владимиру Александровичу принадлежит раздел 3, содержащий утверждение 3.1 про факторизацию по группе автоморфизмов в категории детских рисунков. 4. В. А. Дремов "Вычисление двух пар Белого"// Депонировано в ВИНИТИ 29.04.09 N 267В2009, МГУ. - М., 2009. 5. Дремов В.А. "Об одном семействе обобщенных многочленов Че-бышева" // конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения": Тезисы докладов. - Тула, 2003. Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на семинаре "Графы на поверхностях и кривые над числовыми полями" и на "Научно-исследовательском семинаре по алгебре" кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ им. Ломоносова, на докладе в ПОМИ (Санкт - Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова), на Международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию МГУ им. М.В. Ломоносова и 75-летию кафедры высшей алгебры (Москва, 2004), на Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша (Москва, 2008) и на международной конференции "The Grothendieckeichmiiller Theory of Dessins d Enfants" (Edinburgh, 2008).
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх основных глав и списка литературы. Каждая из глав в свою очередь разбита на разделы и подразделы. Полный объём диссертации - 81 страниц, библиография включает в себя 22 наименования. Краткое содержание работы. В главе 1 вводятся основные определения и обозначаются основные вопросы, обсуждению которых посвящена диссертация. В разделе 1.1. вводятся понятия, .связанные с перечислением рисунков, и обозначения, с помощью которых удобно ставить задачи вычисления пар Белого. В разделе 1.2. обсуждается вопрос перечисления рисунков с заданными свойствами. В разделе 1.3. обсуждается введённая в разделе 2.1. система для нахождения пар Белого плоских деревьев, для которой, в частности, удаётся перечислить все значения параметров, при которых многобразие решений имеет размерность ноль. В главе 2 рассматриваются различные подходы к построению систем уравнений для вычисления пар Белого. В разделе 2.1. приводится универсальный вид системы для плоских деревьев, обсуждаются возможные наборы параметров и соответствующие им многообразия в проективном пространстве. В частности, доказано утверждение о соответствии пар Белого деревьев и точках этого многообразия, не удовлетворяющих некоторому полиномиальному соотношению (см. с.27). В разделе 2.2. приводится обобщение известной антивандер-мондовой системы, обсуждается кратность решений, соответствую- щих рисункам, размерности и структура паразитических компонент и кратности, которые естественно сопоставляются таким компонентам, а также возможность предельного и непрерывного перехода при изменении параметров системы. В разделе 2.3. приводится геометрическая формулировка понятия функции Белого.
В разделе 2.4. обсуждается вычисление пар Белого, лежащих на гиперэллиптических кривых, и приводится обзор статьи [2] об инвариантах, различающих кривые рода 2 (все эти кривые гиперэллиптические). В разделе 2.5. обсуждается два семейства квартик со специальными свойствами, позволяющими ввести систему координат, связанную с плоской геометрией квартики. В разделе 2.6. вводится метод написания системы уравнений на пары Белого, подходящий для сколь угодно больших родов. При этом кривая реализуется как плоская проективная кривая с не более чем простыми особенностями. В главе 3 приводятся различные методы вычисления пар Белого. В разделе 3.1. обсуждается метод выбора системы координат; мы ограничиваем рассмотрение случаем рода 1 и обсуждаем принцип, на основе которого может производиться выделение точек кривой, однозначно заданных рисунком. В разделе 3.2. содержится теоретическое обоснование операции факторизации (приведено в соответствии со статьёй [19]). Раздел 3.3. содержит рассмотрения, касающиеся вычисленных в явном виде пар Белого и их семейств, иллюстрирует общие методы и демонстрирует некоторые более частные примеры рассуждений, которые могут быть использованы при вычислении пар Белого. Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям: д.ф.-м.н., профессору Шабату Георгию Борисовичу за постановку задач, постоянное внимание и помощь в работе; д.ф.-м.н., профессору Латышеву Виктору Николаевичу за доброжелательное руководство и помощь в работе. Автор также выражает благодарность профессорам Юргену Вольфарту и Гарету Джонсу, за их превосходный курс на летней школе в университете г. Ювяскюля (2006). Наконец, хочется поблагодарить весь коллектив семинара "Графы на поверхностях и кривые над числовыми полями" за поддержку и содержательные обсуждения.