Введение к работе
Актуальность темы. Теория квазимногообразий представляет собой раздел алгебры и математической логики, изучающий фрагмент логики первого порядка — так называемую универсальную хордову логику. Основателем теории квазнмпо-гообразий был А.И. Мальцев.
Первые работы по теории квазимногообразий появились в результате решения конкретных алгебраических проблем. В І939 г. А.И. Мальцев [17] нашел бесконечную серию квазитождеств, характеризующую класс полугрупп, вложимых в группы. В 1945 г. Дялуорс [50], решая известную проблему о существовании недистрибутивных решеток с единственными дополнениями, доказал, что в квазимного-образиях существуют свободные алгебры. В свою очередь, в 1943 г. Маккинси [73] связал некоторые алгоритмические проблемы логики с финитной аппроксимируемостью в квазимдогообразиях. Наконец, известную теорему П.С. Новикова [26] о неразрешимости проблемы равенства слов можпо также интерпретировать как неразрешимость универсальной хорновой теории групп.
.. В самостоятельный раздел алгебры и .математической логики теория квазимногообразий оформилась в работах А.И. Мальцева в конце 50-х - середине 60-х годов. С тех пор она представляет собой область активных исследований.
Значительную роль в становлении теории квазимногообразий сыграли доклад Гарретта Биркгофа [47] на Канадском математическом конгрессе (Моптреаль, 1945) и доклад А.И. Мальцева [23] на Международном конгрессе математиков -(Москва, 1966), поднявшие ряд важных проблем этой теории, в частности, проблему описания решеток (квази-)мяогообразий. Заметим, что работа Биркгофа [47] стала известна в России только в 1987 г. после выхода его избранных трудов по алгебре и топологии [81].
Перейдем теперь к краткому обзору.
Отправным пунктом исследований в теории квазимногообразий являются теоретико-множественные характеризашш квазимногообразий, найденные Мальцевым в [21, 22], а также его теоремы о существовании определяющих соотношений [20] и о поднрямом разложении [19]. Некоторые из этих результатов были переоткрыты и усилены в работах Фудзивары [58], Кашиваги [67], Табаты [83], Гретдера и Лаксера [62].
Первые результаты в теории квазимногообразий были получены, как правило, методами теории моделей. В случае квазимногообразий удалось также решить ряд проблем, стоящих в теории моделей. Это в первую очередь касается описания категоричных квазимногообразий, данного Е.А. Палютиным [31] и независимо Гиваптом [59].
Кроме того, в работах Хатчера [65] и др. был предложен категорный подход к квазимногообразиям, что, в частности, привело к рассмотрению квазимногообразий пад топосами (см., например, [54, 55]).
Первый этап развития теории квазимногообразий отражен в известной монографии А.И. Мальцева [24], см. также обзор Д.М. Смирнова [82].
С середины 70-х годов теория квазимногообразий характеризуется не только развитием, по в приложением своих идей и методов в других областях математики.
Глубокая теория допустимых правил вывода в неклассических логиках, тесно связанная с квазитождествами свободных алгебр соответствующих многообразий, была яостроеиа В.В. Рыбаковым [32-34]. С позиций теории квазимногообразий рассматриваются алгебраическая логика и теория дедуктивных систем, см. [48].
Большое число работ написано о квазитождествах классических алгебраиче
ских систем. В первую очередь отметим работу А.Ю. Ольшанского [29], где дается
оггисаяие конечных групп, имеющих конечный базис кзазатождеств. Этот резуль
тат является сейчас эталоном для исследования квазитождеств конечных алгебр в
конгруенц-модулярных многообразиях, см., например, В.П. Белкин [5] и И.П. Бес
ценный [45]. Отметим также работы [7, 8, 14, 36, 38, 40, 79]. . -
Наибольшее внимание в этот период уделяется исследованию решеток квазимногообразий, см., например, [1-6], [10, 35, 39, 41, 42, 52, 57, 63, 80]. В частности, в [3, 42] К.В. Адаричевой, В.А. Горбунову и В. Дзебяку удалось дать описание алгебраических точечных решеток квазимногообразий, что является одним из наиболее значительных результатов в этом направлении.
С другой стороны, в работах Дзебяка [53], Кернса и Маккензи [68], A.M. Нураку-нова [27, 28], Пигоци [78] и др. началось построение теории относительно конгруенп-модулярных квазимногообразий, параллельной теории коигруепц-модулярных многообразий.
В последпее время найдены также тесные связи теории квазимногообразий с теорией графов и формальных языков (В.А. Горбунов и А.В. Кравченко [60]), теорией метрических и топологических пространств (Уивер [87], Бар и Педичио [44]), теорией нормированных и банаховых алгебр (Диксон [51]), теорией алгебраических пространств замыканий (Пасини [76]).
Наконец, мощный импульс в развитии теории квазимногообразий дало приложение универсальной хорновой логики в логическом программировании и теории баз данных, см., папример, [15, 16].
Полная библиография по теории квазимногообразий, собранная автором, содержит более 400 наименований.
Цель работы. Диссертация посвящена построению алгебраической теории квазимногообразий. Наибольшее внимание в ней уделяется исследованию решеток квазимногообразий, конечно-определенных и подпрямо неразложимых систем, независимой аксиоматизируемости.
Основные результаты работы:
1. Доказано, что класс систем, вложимых в прямые произведения систем из
данного класса К является квазимногообразием тогда и только тогда, когда класс
К квазякомпактен (решение вопроса А.И. Мальцева). Как следствие, дано едино
образное доказательство всех основных характеризации квазимногообразий.
2. Дана алгебраическая и синтаксическая характеризация резидуалыга малых
квазимногообразий. В частности, решены вопросы Болдуина и Бермана о синтак
сической характеризации таких квазимногообразий. Решен вопрос Тейлора о числе
Хапфа для подпрямой неразложимости в квазимногообразиях. Описаны спектры
мощностей подпрямо неразложимых систем в квазнмногообразиях.
-
Решен вопрос Биркгофа о характеризации относительных квазимногообразий. Определено понятие (квази-)биркгофова класса и в его терминах найден метод построения полных гомоморфных образов решеток (квази-)многообразий и критерий (^-универсальности квазимиогообразия. Доказана <2-упигерсальность многообразия унаров (решение вопроса М.В. Cairapa).
-
Дано представление решеток (квази-)многообразий в виде обратного предела решеток с некоторыми условиями конечности. Доказано, что класс всех решеток квазимногообразий алгебр удовлетворяет нетривиальным квазитождествам. Дан положительный ответ на вопрос Лэмла о сравпении решеток многообразий с решетками локально конечных многообразий.
-
Дап аксиоматический подход к проблеме Биркгофа-Мальцева и построена теория решеток, близких к решеткам квазимногообразий.
-
Дана характеризапия дистрибутивных решеток подквазимкогообразий локально конечных квазимногообразий и, как следствие, отрицательно решен вопрос Падмалабхаиа о дистрибутивности решетки квазимногообразий модулярных решеток.
-
Найдена тесная связь независимой аксиоматизируемости с несократимыми разложениями в решетках. Дано описание полных дистрибутивных решеток с несократимыми разложениями (решение вопроса Гретцера). Доказано, что существует трехэлементная алгебра, не имеющая независимого базиса квазитождеств, по любая двухэлементная алгебра копечной сигнатуры имеет конечный базис квазитождеств.
Основные методы. В работе используются алгебраические методы, развитые, в основном, автором. Это — метод надпрямых и обратных пределов, теория (квази-)биркгофовых классов, метод /-проективных систем, теория разложений в полных решетках. Кроме того, широко используются теоретико-решеточные методы.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Они значительно расширяют и дополняют ряд результатов по теории квазимногообразий, полученных ранее другими авторами.
Практическая и теоретическая ценность. Результаты работы представляют теоретический интерес, являясь вкладом в теорию квазимногообразий алгебраических систем. Они могут быть использованы в дальнейших исследованиях, а также при подготовке монографий и чтении специальных курсов.
Апробация результатов диссертации. Результаты диссертации были представлены автором в пленарных докладах на Всесоюзной конференции по алгебре в Красноярске (1979), Всесоюзных конференциях по математической логике в Ленинграде (1988) и Новосибирске (1994), Международных симпозиумах по универсальной алгебре в Варшаве (1986), Торуне (1987, 1990) и Ополе (1988), на Международных конференциях по универсальной алгебре и теории решеток в Карловых Варах (1988) и Сегеде (1989, 1993), на Международных конференциях по дискретной математике и общей алгебре в Потсдаме (1993, 1996) и Дармштадте (1995), в лекциях автора в университетах Будапешта и Сегеда весной 1984 г., в университете им. Коперника
(Торунь, Польша, 1991), в университетах городов Ватерлоо, Манитоба, Гамильтон и Оттава (Канада) осенью 1992 г.
Результаты диссертации излагались автором в докладах на Йонссоновском симпозиуме по алгебрам, решеткам и логике (Лаугарватн, Исландия, 1990), на конференции Дея по решеткам и алгебрам (Гамильтон, Канада, 1992), Всесоюзных алгебраических конференциях во Львозе (1987), Ленинграде (1981) и Кишиневе (1985), в лекциях на Всесоюзных школах цо прикладной логике в Орджоникидзе (1987) и Владивостоке (1988).
Автор докладывал результаты диссертации на семинарах "Алгебра и логика", "'Алгебраические системы" и ''Теория решеток" Новосибирского университета, на научных семинарах Омского, Волгоградского и. Алма-Атинского университетов.
Результаты диссертации использовались в спецкурсах по теории квазимногообразий и теории решеток, которые регулярно читаются автором, начиная с 19S4 г., в Новосибирском университете.
Публикации. Все основные результаты диссертации получены автором лично, без соавторов, и опубликованы в [89-111]. Результаты совместных работ [2, 9,10, 11] включены частично, для полноты изложения, а результаты работ [1, 3, 4, б, 42, 60] в диссертацию не включены.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения и 6 глав, разбитых па 25 параграфов. Нумерация параграфов — по главам, теоремы и утверждения нумеруются тремя цифрами: первая — номер главы, вторая — номер параграфа, третья — помер утверждения в параграфе. Аналогично нумеруются соотношения и формулы. Список цитируемой литературы включает 270 наименований. Объем работы — 236 страниц.