Введение к работе
Актуальность темы. Основы теории квазимпогообразнй алгебраических систем были заложены А.И. Мальцевым [1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8Ї,который неоднократно подчеркивал важность изучения свойств квазимногообразий. Первый этап развития теории квазимнотообразий отражен в известной монографин А.И. Мальцева [9], см. также обзор . Д.М. Смирнова [10]. Особое положение квазимногообразий и, в частности, многообразий объясняется многими причинами; укажем некоторые из них.
Во-первых, активный интерес к языку тождеств и квазитождеств возник в результате решения конкретных задач алгебраических систем. Например, в* Т939 т. А.И. Мальцев [1J выписал условия погружаемости полугрупттг в'группы на языке квазитождеств. В свою очередь, в 1948 г. Маккиисй* ff І) связал некоторые алгоритмические проблемы логики* с фийитиьЙ* аппроксимируемостью в многообразиях и квазігміигообразимх. Здесь же отметим и знаменитую теорему П.С. Новиков»! 1 с неразрешимости проблемы равенства слов.
ВЫпорых, значительную роль в становлении теории многообразий! Я' квазймтогообразий сыграли доклад Гаретга Биркгофа и» Канадском математическом конгрессе (131 и доклад А.И. Мальцева на* Международном конгрессе математиков [8], поднявшие ряд важных проблем* зтоіг теории', в; Частности, проблему описания решеток (квази) миогообразйй'.
В-третьиХ; как было замечено А.И. Мальцевым [31 и как было показано совсем5 недавно В:А. Горбуновым [14], многие вопросы теории квазимпогообразнй находят свое наиболее естественное выражение в рамках теорнн определяющих соотношений. Это отражает точку зрения на теорию квазимногообразий как теорию конечно определенных систем, в то время как теория многообразпіі есть теория
Свободных: СНСТЄМ.
Отметим теперь тс направления исследовании, которым
посвящена настоящая работа, и укажем некоторые результаты, достигнутые и этих направленнях.
1. Проблема базируемости. Это направление имеет целью исследование базисов тождеств и базисов квазитождеств в различных классах алгебраических систем. К нему относится вопрос о конечности базиса (квази)тождеств, который имеет особую роль при изучении (кнааи)экиационной теории для конкретных классов алгебр. Как известно, конечный базис тождеств имеют следующие алгебры: всякая двухэлементная алгебра конечной сигнатуры (Линдон, [1951]), всякая нильпотентная группа (Линдон, [1952]), всякая конечная группа (Оутс и Науэлл, [1964]), всякое конечное ассоциативное кольцо (Кразе, [1979]; Львов, [1973]), всякай конечная коммутативная полугруппа Шеркинсон, [1969]), всякая нильпотентная коммутативная лупа Муфанг (Эаанс, [1974]). Другие примеры конечно базируемых многообразий можно найти в обзоре Тейлора [15]. Там же собраны известные примеры алгебр конечною типа, тождества которых не имеют конечного базиса (см. также [16], [.17]).
Другим классическим вопросом в алгебре является вопрос о неприводимости базиса (квази)тождеств (квази)многообразия. Широко известны' результаты, касающиеся неприводимости базиса тождеств. Отметим лишь некоторые из ішх. Существование бесконечных неприводимых базисов тождеств доказывалось СИ. Адяном [18], Ю.Г. Клейманом [19,20], Воэн-Ли [21], А.Ю. Ольшанским [22]. Аналогичный результат для коммутативных луп Муфанг доказан в работе Н.И. Санду [23]. Многообразия групп, не имеющие неприводимого базиса тождеств, построил Ю.Г. Клейман [24].
В последнее время теория квазимногообразий характеризуется ке только интенсивным развитием, но и приложением своих идей и методов в других областях математики. Поэтому вопросы о конечности к неприводимости базисов квазитождесч привлекают многих математиков Важность этого вопроса, как самого по себе, так и для теоретического программирования отмечает Р. Маккензй в обзоре [25].
К настоящему времени проблема конечной базируемости полиостью решена для конечных групп (АЛО. Ольшанский [26]) и конечных ассоциативных колец (В.П. Белкин [27]). Последний результат В. Дзебяк [28] обобщил на конечные неассоциативные кольца, но только в одну сторону. В [23] В.А. Горбунов доказал, что. любая двухэлементная алгебра имеет конечный базис квазнтождестп. Д. Пигоцци [30] показал, что любая конечная алгебра, порождающая относительно конгрузнц-дистрибутивное квазимногообразие, имеет конечный базис квазитождеств. Интересные результаты о конечной (неприводимой) базируемости квазимногообразий получили также в работах А.К. Румянцева, И.К. Карташов, М.В. Сапир, А.И. Будкин, И.П. Бесценный, A.M. Нуракунов и др. Первый пример конечной алгебры, квазитождества которой не имеют независимого базиса, был построен В.А. Горбуновым [31]. Позже появились работы, в которых подобные конечные алгебры строились в естественных классах, например, такие примеры известны в классе групп (А.Н. Федоров [32]), решеток (В.И* Туманов [33]), дистрибутивных р-алгебр и псевдобулевых алгебр (М.П. Тропин [34]).
2. Проблема Биркгофа-Мальцева об описании класса всех решеток подквазимногообразий. Проблема Биркгофа-Мальцева имеет большое значение в теории квазнмногообразий, потому что многие вопросы квазнмногообразий сводятся к рассмотрению решеток квазимногообразий. Отметим, что в последнее время появился значительный интерес к этой проблеме (см., например, [14], [35], [361, [37]). Это объясняется тем фактом, что теория квазимногообразий алгебраических систем как интенсивно развивающаяся область универсальной алгебры имеет тесные связи с теорией решеток, алгебраической логикой, теорией моделей, логическим программированием и абстрактными типами данных. Например, в случае квазимиогообразий удалось решить ряд проблем стоящих в теории моделей. Это и первую очередь кг?~ется описания категоричных квазимїіогообразнй, данного Е.А. Палютинмм [33]. Найдены также
тесные связи теории квазимногообразий с теорией нормированных и банаховых алгебр (Диксон 139]), теорией алгебраических пространств (Насини {40]), теорией допустимых правил вывода и неклассических логик (В.В. Рыбаков {41,42}), а совсем недавно - с теорией графов (В.А. Горбунов и А.В. Кравченко {43]), теорией метрических и топологических пространств (Бар и Педиккн {44]). Наконец, мощный импульс в развитии теории кваэнмногообраэий дало приложение универсальной хорновой логики в лопіческом программировании и теории 6а* данных (см., например, {45, 46]),
3. Алгоритмические проблемы. Одним из важных вопросов, возникающих в этом исследовании, является вопрос об алгоритмической разрешимости или неразрешимости того или иного теории класса. Теория называется разрешимой, если множество формул этой теории рекурсивно, и неразрешимой в противном случае.
Вопросами разрешимости и неразрешимости различных конкретных теорий занималось довольно большое число математиков (В. Шмелева, А. Тарский, А.И. Мальцев, Б.А. Трахтенброт, Ю.Л. Ершов, М.А. Тайцлин, И.А. Лавров, А.Д. Тайманов, А.П. Замятин и другие) и для многих интересных теорий вопрос был решен. Например, неразрешима теория групп, теория конечных моделей, теория коммутативных полугрупп, теория ассоциативных коммутативных колец. Разрешима теория абелевых групп, теория булевых алгебр и т.д.
Из других алгоритмических вопросов, которые затрагиваются в диссертации, упомянем еще проблему равенства слов, проблему вхождения, проблему сопряженности, а также проблему распознавания разрешимости уравнений.
В настоящей диссертации эти проблемы исследуются в классе коммутативных луп Муфанг и нильпотентных луп Муфанг.
Цель работы. Диссертация посвящена изучению элементарных свойств коммутатииных луп Муфанг и нильпотентных луп Муфанг. Наибольшее внимание в пей уделяется исследованию решеток
квазимногообразий коммутативных луп Муфанг, независимой и конечной аксиоматизируемости.
Основные результаты работы.
-
Доказано, что ннльпотентная лупа Муфанг L удовлетворяет следующим свойствам: (О если L конечно порождена, то в L выполняется условие максимальности для подлуп и L 'финитно аппроксимируема; (И) все тождества, истинные в , имеют конечный базис (решен вопрос Т. Эванса); (iv) кваэиэквациональиая теория многообразия, порожденного лупой L, разрешима; (v) если L конечно представима, то в L разрешима проблема равенства слов. Показано также, что в любом многообразии КЛМ любое его собственное подмногообразие покрывается и имеет независимый базис тождеств. В частности, положительно решена задача о существовании независимого базиса эквационалыгой теории многообразия КЛМ.
-
Доказано, что конечно порожденная КЛМ I имеет конечный базис квазнтождеств тогда и только тогда, когда L — конечная группа. Наряду с проблемой существования конечного базиса квазнтождеств решен также вопрос о нахождении аксиоматических рангов квазиэква-ционалыюп теории нсассоцнативной конечно порожденной КЛМ. Оказалось, что каждая теория имеет бесконечный аксиоматический ранг.
Найдена мощность решетки подквазимногообразий данного многообразия КЛМ ЯЛ. Оказалось, что решетка ЬдШ, подквазимногообразий многообразия 9Л, или конечна или континуальна; причем Lqffl конечна тогда и только тогда, когда ЯЛ порождается конечной группой.
3. Доказано, что квазпмногообразие, порожденное свободной
лупой ранга "я, и > 3, (наибольшего! наименьшего многообразия КЛМ
|н.мсчт| не имеет независимого базиса квазитождеств. (Отрицательно
| положительно] решена задача о существовании независимого базиса
квазитождеств для конечной (свободной) КЛМ).
-
Показано, что в решетке всех подквазимногообразий [любого многообразия ЗЯ] КЛМ существует единственное покрытие для классов всех групп [из ЯЛ) и доказано, что квазиэквациоиальная теория этого покрытия не имеет независимого базиса квазитождеств [в некотором подквазимногообразий любого многообразия 9t с ОТ]. В частности, получено бесконечное множество квазимногообразий КЛМ в каждом из которых свободная лупа ранга 3 не имеет независимого базиса квазитождеств.
-
Описаны все квазимногообразия КЛМ ступени нильпотентности й 2, имеющие конечное число подквазимногообразий. Доказано, что если решегка подквазимногообразий квазимногообразия, порожденного 2-ступеино ннльпотентной КЛМ с конечным числом образующих, не конечна, то она континуальна.
6. Доказано, что множество квазкмногообразий 3-КЛМ с
конечными базисными рангами не является подрешеткой в решетке
квазимногообразий. Установлено, что максимальное квазнмногообразие
в решетке подквазимногообразий квазимногообразия с конечным
базисным рангом может не обладать конечным базисным рангом.
7. Решены положительно алгоритмические проблемы: о вхожде
нии для конечно порожденной кильпотентной лупы Муфанг, о сопря
женности для конечно порожденной КЛМ, о неразрешимости элемен
тарной теории неассоциативного многообразия КЛМ. Для ряда много
образий квазигрупп доказана неразрешимость элементарной теории.
Осьокные методы. Методы, используемые при доказательстве результатов, опираются на абстрактную теорию лун Муфанг, ушгеерсальную алгебру и теорию определяющих соотношений. Кроме юго, используются также методы из теории решеток и теории групп, а также идеи и методы, развитые в работах Р. Ляндона, А.И. Мальцева, А.Ю. Ольшанского, В.А. Горбунова, М.В. Санира, А.И. Будкина, А.Н. Федорова и др.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Они значительно расширяют и дополняют ряд результатов по теории луп Муфанг, полученных ранее другими авторами.
Практическая и теоретическая ценность. Результаты' работы представляют теоретический интерес, являясь вкладом в теорию луп Муфанг. Они могут быть использованы в дальнейших исследованиях, а также при подготовке монографий и чтении специальных курсов.
Апробация результатов диссертации. Результаты диссертации докладывались автором' на Международных конференциях по алгебре и логике в Новосибирске (1989, 1994, 1996, 1997) и Барнауле (1991), математических конференциях в Яссах (1991) и Бухаресте (1990, 1997), на VII Тираспольском симпозиуме по общей топологии и се приложениям и на республиканской научной конференции в Кишиневе (1989, 1996).
Результаты диссертации излагались автором в докладах на
Международной конференции по дискретной математике н общей
алгебре (Дармштадт, 1995), на Международной конференции по
универсальной алгебре и теории решеток (Сегед, 1996), на
Международной конференции по теории групп (Тимишоара, 1992), на
Всесоюзной конференции по математической лотке (Алма-Ата, 1990),
на II Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной
математике (Новосибирск, 1996), на конференции по алгебре (Клуж-
Напока, 1997), на Международной конференции по теории луп
(Прага, 1999), на республиканских научных конференциях (Кишинев,
1989. 1996; Тирасполь, 1990). '
Автор докладывал результаты диссертации на семинарах "Алгебра и логика", "Теория нумерации", "Алгоритмические системы" и "Теория решеток" яри Новосибирском госуннверситете и ИМ СО РАН, на семинарах по алгебре и логике при ИМ АН РМ, на семинарах в Институте Математики в Бухаресте, на семинарах
математики Кишиневского технического университета.
Публикации. Все основные результаты диссертации получены автором лично, без соавторов, и опубликованы в [66-83].
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из 5 глав, разбитых на 15 параграфов, и библиографии. Нумерация параграфов, соотношения и формулы - по порядку, теоремы и утверждения нумеруются тремя числам}і: первая - номер главы, вторая — номер параграфа, третья - номер утверждения в параграфе. Список цитируемой литературы включает 147 наименований. Общий объем работы 207 страниц.