Введение к работе
Актуальность темы. Многомерные локальные поля были впервые введены и подробно изучены А.И.Паршиным, и, независимо, К.Като в работах конца 70-х - начала 80-х годов. В частности, у А.Н.Паршина
ГЬ -мерные локальные поля возникают как результат процесса попол-
нения П. -мерной схемы в точке . Таким образом, к необходимости
изучения полей этого типа приводят определенные задачи арифметики многообразий. В то же время существование многомерной локальной теории полей классов делает такие поля незаменимым инструментом при исследовании различных видов нормированных полей с несовершенными полями вычетов.
Теория многомерных полей, в особенности разнохарактеристичес-ких, весьма далека от завершения. /Разнохарактеристическим называют поле характеристики 0 с первым полем вычетов характеристики р ./ Одним из ее центральных направлений является создание явных конструкций теории полей классов. Для куммеровых расширений эта задача была решена С.В.Восгоковымг . В некуммеровом разноха-рактериетическом случае отсутствует даже какой-либо способ явного построения абелевых расширений. Заметим, что для обычный локальных полей такую конструкцию дает теория Любина - Тэйта.
Теория полей классов связывает изучение абелевых расширений ГХ. -мерного локального поля с определением структуры топологической К-группы Парілина КгГК . В случае характеристики 0 известно фактически только строение Кл К /р Кп К , где р порядок мультипликативного р -кручения в К Остаются открытыми
' Паршин А.Н. К арифметике двумерных схем. I. Распределения и вычеты. - йзв.АН СССР, сер.мат., 1976, т.40, с.736-773.
Востоков СВ. Явная конструкция теории полей классов мно-
такие проблемы, как вычисление р-кручения, построение явного топологического базиса, вычисление ядер функториальных гомоморфизмов топологических К-групп.
Цель работы. Целью диссертации является:
описание и изучение явных конструкций, задающих абелевы расширения полного поля;
определение расширения, соответствующего подгруппе делимых элементов в группе характеров максимального абелева расширения многомерного поля;
определение структуры максимального абелева расширения и явное вычисление К-группы Паршина в случае поля без высшего ветвления;
получение прямого "локального" доказательства теоремы А.Н. Паршина о классификации многомерных локальных полей;
изучение ядра гомоморфизма іад/< : К^Р К~* К» L для конечного расширения L/К .
Методы исследования. В работе используется теория Х.Мики циклических расширений в некуммеровом случае; явная формула отображения взаимности С.В.Востокова; стандартная техника разложения в степенные ряды и вычислений в топологических К-группах.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Построен явный топологический базис группы Кп К для П.-ыерного локального поля К без высшего ветвления. Для таких полей предложено описание максимального абелева расширения показателя р' / Т - любое/. Установлено, что подгруппа делимых элементов в груп' пе характеров максимального абелева расширения многомерного поля является делимой /и определено соответствующее ей расширение/* Для абсолютно неразветвленного поля конструктивно задано его максиыаль-
гомерного локального поля. - Изв.АН СССР, сер.мат., 1985, т.49, Р2, с.283-308.
ное абелево расширение.
Получены классификационные результаты, которые приводят к новому доказательству и усилению теоремы А.Н.Паршина. Наконец, вычислено Къг 1гик при определенных ограничениях на L/K .
Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Ее результаты проясняют структуру максимального абелева расширения многомерного локального поля; служат развитию конструктивной теории полей классов, К-теории дискреэно нормированных полей.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на алгебраическом семинаре ЛОШ - ЛГУ, на II Мевдународной алгебраической конференции памяти А.И.Ширшова /Барнаул, 1991/, на семинаре ЛГУ "Формальные группы".
Публикации. Но теме диссертации опубликованы 4 работы.
Объем работы. Диссертация состоит из введения и 10 параграфов, ее объем 106 страниц машинописного текста. Библиография содержит 23 наименования работ.