Введение к работе
Актуальность темы. После объявления о завершении классификации конечных простых групп в 1980 году одной из основных задач в теории конечных групп стала задача изучения различных свойств известных конечных простых групп. В частности, важную роль приобретает задача изучения подгруппового строения известных конечных простых групп. Особый интерес исследователей вызывают максимальные, максимальные разрешимые, максимальные нильпотентные и максимальные абелевы подгруппы. Изучению абелевых и нильпотентных подгрупп максимального порядка конечных простых групп посвящена настоящая работа.
Основной пласт известных конечных простых групп составляют конечные простые грулпы лиева типа. Группы лиева типа условно делятся на 16 классов. Шесть классов составляют, так называемые, классические группы, и десять — исключительные. Поскольку именно в группах лиева типа изучение подгруппового строения представляет наибольшую сложность, большая часть диссертации посвящена изучению конечных групп лиева типа.
Строение и порядки различных подгрупп специального вида конечных групп лиева типа интенсивно изучались рядом различных авторов. Строение силовских р-подгрупп в том случае, когда р совпадает с характеристикой поля определения получено первооткрывателем конечных групп лиева типа — Шевалле. В его честь конечные группы лиева типа часто также называют конечными группами Шевалле. Далее, Картер, Фонг, Вейр и Уонг в работах [23], [45] и [50] нашли строение силовских r-подгрупп в том случае, когда характеристика поля определения отлична от г. В 60-х годах рядом различных авторов были найдены строение и порядки максимальных торов в конечных группах Шевалле. В 1972 Картеров своей работе [21] предложил простой универсальный способ нахождения порядков максимальных торов во всех конечных группах Шевалле нескручешюго типа в терминах диаграммы Дынкина и допустимых диаграмм. В конце 60-х и начале 70-х годов рядом авторов предпринимались попытки изучить строение абелевых унипотентных подгрупп максимального порядка в конечных классических группах. В период с 1979 по 1982 год вышли работы Барри и Уонга [13], [14], [48] и [49], в которых были найдены р-ранги, подгруппы Томпсона и абелевы подгруппы максимального порядка в максимальных унипотентных подгруппах конечных классических групп. Аналогичный вопрос для исключительных групп долгое время оставался нерешенным, его, в частности, отметил А. С. Кондратьев в своей обзорной работе [6].
Пусть Ф — некоторое свойство, которое наследуется всеми подгруппами Ф-гругшы G (например абелевость, нильпотентность, разрешимость и т. д.). Мы обращаемся к вопросу о том, насколько велика может быть нормальная Ф-подгруппа группы G. Более точно,
Вопрос. Если конечная группа G содержит Ф-подгруппу индекса п, то верно ли, что G содержит нормальную Ф-подгруппу индекс которой ограничен некоторой функцией f(n).
Ясно, что для любого свойства Ф, которое наследуется всеми подгруппами, в качестве функции f{n) достаточно взять п\. Поэтому обычно требуют, чтобы функция /(п) была полиномиальна. В том случае, когда свойство Ф - разрешимость или цикличность, положительный ответ на поставленный выше вопрос дан в работе Бабаи, Гудмана и Пыбера [12]. Там же ими поставлен данный вопрос для случая, когда свойство Ф — абелевость или нильпотентность. В том случае, когда свойство Ф — абелевость, положительный ответ (с функцией f(n) = п2) получен в неопубликованной работе Музычука.
Цель работы. Основными целями диссертации являются изучение строения и порядков абелевых и нильпотентных подгрупп максимального порядка известных конечных простых групп и получение положительного ответа на вопрос, сформулированный выше в том случае, когда свойство Ф — нильпотентность.
Методы исследования. В диссертации используются методы теории конечных групп и их представлений, конечных групп лиева типа и линейных алгебраических групп.
Научная новизна. Все результаты являются новыми и получены автором лично.
Практическая ценность. Результаты, изложенные в диссертации, имеют теоретическое значение и могут быть использованы в дальнейших исследованиях конечных групп, при составлении алгоритмов для вычислений в конечных группах и линейных алгебраических группах, а также при чтении спецкурсов в Новосибирском, Баранульском, Алтайском, Челябинском, Уральском и Санкт-Петербургском университетах.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из шести глав (включая введение) и списка литературы, содержащего 63 наименования. Работа изложена на 73 страницах текста.