Введение к работе
Актуальность темы. Абелевы группы составляют один из важнейших классов групп, и их теория достаточно хорошо разработана. Глубокие структурные результаты были получены Прю-фером, Ульмом, Куликовым для периодических абелевых групп, что позволяет решать многие задачи для этого класса абелевых групп. Для абелевых групп без кручения положение иное: даже для групп без кручения конечного ранга не известно никакой удобной полной системы инвариантов. Начало теории абелевых групп без кручения положили работы Понтрягина [ 13, Мальцева [23, Куроша ЕЗЗ, Дэрри [43.
Важной задачей теории абелевых групп является поиск точных соотношений между абелевой группой и ее кольцом эндоморфизмов, в частности, какое влияние оказывает кольцевая структура кольца эндоморфизмов на соответствующие группы. Имеется ряд классов колец, строение которых достаточно хорошо изучено. Можно было бы исследовать их роль как колец эндоморфизмов. Эта программа, предложенная Селе [S3, послужила началом многочисленных исследований в этом направлении. Значительных успехов в рассмотрении связей между свойствами группы и свойствами ее кольца эндоморфизмов достигли Рангсвами, Шульц, Альбрехт, Иванов, Крылов и другие авторы Сем. [63, [733.
Интересен также вопрос о взаимоотношении абелевой группы и ее полугруппы эндоморфизмов. Ясно, что полугруппа эндо-
морфизмов E'CG) дает, вообще говоря, меньше сведений о группе G, чем кольцо эндоморфизмов ECG). Несмотря на этот факт, в этом направлении также получен ряд интересных результатов. Например, если полугруппа эндоморфизмов конечной абелевой группы G изоморфна полугруппе эндоморфизмов некоторой Сне обязательно абелевой) группы Н, то группы G и Н изоморфны ([8], теорема 4.2).
А. В. Михалев указал на заметную роль мультипликативных свойств в структурной теории колец (т.е. свойств, выразимых е языке мультипликативной полутруппы кольца). С этой точки зрения особый интерес представляет вопрос о том, когда все мультипликативные изоморфизмы кольца являются кольцевыми изоморфизмами [Ш. Такие кольца называются кольцами с однозначным сложением, или кратко UA-кольцами (см. 19], [10], [Ц], [12], [13], [14]). В теории колец эндоморфизмов линейных пространств и модулей этот вопрос затрагивался в работах [15], [163, [173, [183.
Настоящая работа посвящена изучению абелевых групп, имеющих UA-кольца эндоморфизмов, а также близким вопросам.
Все вышесказанное позволяет считать тему диссертации актуальной.
Цель работы. Исследовать абелевы группы с UA-кольцами эндоморфизмов в некоторых известных классах абелевых групп. Рассмотреть отдельные вопросы, касающиеся взаимосвязи абелевой группы G и ее полугруппы эндоморфизмов E'CG), в случае, когда G принадлежит классу сепарабельных групп без кручения; классу алгебраически компактных групп без кручения.
Методы исследования. В диссертации используются методы теории абелевых групп, теории колец и модулей, теории чисел и теории множеств.
Научная новизна и практическая ценность. Все результаты диссертации являются новыми. В работе
-
Получено удобное описание абелевых групп с UA-кольцами эндоморфизмов в следующих классах абелевых групп; сепара-бельных и векторных группах без кручения, периодических группах, нередуцированных расщепляющихся смешанных группах. Вышеназванные группы исследуются также в некоторых классах абелевых групп без кручения конечного ранга.
-
Выделен класс сепарабельных абелевых групп без кручения G, мультипликативная полугруппа эндоморфизмов которых обладает следующим свойством: для всякого сложения + на полугруппе E'CG) кольцо СЕ'(G), +} является кольцом эндоморфизмов некоторой абелевой группы.
3. Исследуется вопрос определяемости алгебраически компакт
ных абелевых групп без кручения своими полутруппами эндомор
физмов.
Работа имеет теоретическое значение. Результаты работы могут быть использованы при изучении мультипликативных свойств колец эндоморфизмов абелевых групп и модулей.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции по теории полугрупп (Санкт-Петербург 1993 г.), на алгебраических семинарах МГУ, МПГУ и НПГУ.
Публикации. Основное содержание диссерашга отражено в
восьми пуоликациях, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертационная работа выполнена на 70 страницах машинописного текста и состоит из введения и четырех глав. Список литературы содержит 44 наименования работ отечественных и зарубежных авторов.