Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕЖ. Настоящая работа относится к теории абеле-вых групп и их колец эндоморфизмов - быстро развивающегося раздела алгебры.
Каждой абелевой группе (модулю) А можно сопоставить ассоциативное кольцо с единицей Е(А) всех её эндоморфизмов. Это кольцо несёт определённую информацию о самой группе А . Основную задачу, относящуюся к кольцам эндоморфизмов, можно сформулировать так. Найти по возможности точные соотношения между свойствами группы А и свойствами кольца Е(А) . Истоки теории колец эндоморфизмов лежат в теории линейных преобразований векторных пространств. Важную роль в становлении теории колец эндоморфизмов сыграла книга Бэра [1]. В двухтомной монографии Фукса [2], [3] кольца эндоморфизмов рассматриваются в главе XV . В работе [4] освещены многие результаты о кольцах эндоморфизмов абелевых групп. Основы теории колец эндоморфизмов абелевых групп заложены Бэром, Капланс-ким, Селе, Фуксом, Пирсом, Корнером, Ричменом, Уокером. Кольца эндоморфизмов абелевых групп широко изучаются с различных точек зрения.
Изучение колец эндоморфизмов абелевых групп целесообразно по нескольким причинам. Во-первых, оно приносит дополнительные сведения о самих группах, вводит в исследование новый круг понятий и методов, помогает выделить неизвестные ранее классы групп и отыскать различные соотношения между ними. Во-вторых, это стимулирует исследования по теории модулей и их колец эндоморфизмов. Имеются и другие области алгебры, в которых применение колец эндоморфизмов может быть полезным (аддитивные группы колец; Е-модули и Е-кольца).
Двумя важнейшими направлениями в теории колец эндоморфизмов являются рассмотрение групп как модулей над их кольцами эндоморфизмов и изучение групп с кольцами эндоморфизмов специального вида (последнее направление называется также " кольцевые свойства колец эндоморфизмов ") С достижениями по этому кругу задач можно ознакомиться по обзору [4].
Начало систематическому изучению групп как модулей над их кольцами эндоморфизмов было, наверно, положено работами Ричмена и Уокера [5], Дугласа и Фарахата [6].
Программа исследования колец эндоморфизмов со специальными свойствами была предложена Селе. Она привлекает большое внимание специалистов. Актуальность этого направления подчёркивает постановка проблемы 84 в книге [3]. Ему посвящены 111, 112 этой книги. Имеется в виду следующее. Для некоторого употребительного кольцевого свойства описать абелевы группы, кольца эндоморфизмов которых обладают этим свойством.
В данной работе исследуются абелевы группы, являющиеся арти-новыми или нётеровыми модулями над своими кольцами эндоморфизмов. Рассматриваются также группы с нётеровыми кольцами эндоморфизмов. Артиновы и нётеровы кольца и модули играют исключительно важную роль в теории колец и модулей (см. Ламбек С 7, 1.4, 3.5], Каш [ 8, гл. 6]). Артиновость или нётеровость модуля представляют по существу некоторые условия конечности.
АбелеЕЫ группы как нётеровы модули над кольцами эндоморфизмов изучались Рейдом [9] и Парасом [10]. В 111 книги СЗ] дано описание абелевых групп, кольца эндоморфизмов которых являются телами, простыми или артиновыми кольцами. Там же характеризуются периодические группы с нётеровыми кольцами эндоморфизмов.
В целях достижения максимальной общности в значительной части работы рассматривается вопрос о том, когда группа гомоморфизмов Нот(А,В) является артиновым или нётеровым модулем над кольцом эндоморфизмов Е(В) группы В или Е(А) группы А . Имеется в виду, что группа Нот(А,В) стандартным способом превращается в левый Е(В)-модуль и в правый Е(А)-модуль. Хорошо известно, что существует естественный изоморфизм левых Е(В)-модулей Hom(Z,B) = В, где группа В также рассматривается как левый Е(В)-модуль. Поскольку далее Нош(А,А) = Е(А) , то еидим, что исследование группы Нот(А,В) как левого Е(В)-модуля и правого Е(А)-модуля действительно включает изучение групп как модулей над их кольцами эндоморфизмов и изучение групп с кольцами эндоморфизмов специального вида.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Изучение абелевых групп, являющихся артиновыми или нётеровыми модулями над своими кольцами эндоморфизмов. Исследование абелевых групп А и В таких, что Нот(А,В) есть арти-нов или нётеров модуль над кольцом эндоморфизмов Е(В) группы В или кольцом эндоморфизмов Е(А) группы А . Изучение абелевых групп с нётеровыми кольцами эндоморфизмов.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертации используются методы теории абелевых групп и модулей.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все результаты диссертации являются новыми. Основными результатами можно считать следующие:
1) описаны абелевы группы А, являющиеся артиновыми Е(А)-мо
дулями; аналогичная задача для нётеровости сведена к случаю груп
пы А без кручения;
-
описаны абелевы группы А и В такие, что группа гомоморфизмов Нот(А,В) является артиновым модулем над кольцом эндоморфизмов Е(В) группы В или кольцом эндоморфизмов Е(А) группы А ;
-
охарактеризованы абелевы группы А и В , для которых Нот(А,В) есть нётеров Е(В)-модуль или Е(А)-модуль;
4) описаны сепарабельные группы без кручения с нётеровыми
слева или справа кольцами эндоморфизмов; подобная проблема для
смешанных групп сведена к случаю групп без кручения.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа имеет теоретическое значение. Результаты данной работы могут быть использованы при изучении абелевых групп, групп гомоморфизмов абелевых групп, групп как модулей над своими кольцами эндоморфизмов, кольцевых свойств колец эндоморфизмов, могут применяться при решении аналогичных задач в теории модулей и других алгебраических структурах.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертации были представлены на III международной конференции по алгебре (Красноярск, 1993), на международной алгебраической конференции (Санкт-Петербург, 1997), докладывались и обсуждались на симпозиуме "Абелевы группы", посвященном 80-летию Л.Я. Куликова (Бийск, 1994), на международной конференции "Всесибирские чтения по математике и механике" (Томск, 1997), на алгебраических семинарах Томского государственного университета.
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 8 работ, список которых приведён в конце автореферата [1-8].
В совместных работах диссертанту принадлежат формулировки и доказательства результатов. Метод исследования предложен научным руководителем.
СТРУКТУРА И ОБЪЁМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы, включающего 29 наименований. Полный объём диссертации 106 страниц машинописного текста.