Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Абелевы группы, их эндоморфизмы и гомоморфизмы 36
1.1 О регулярности центра кольца эндоморфизмов абелевой группы 36
1.2 Абелевы группы с коммутативными кольцами эндоморфизмов 51
1.3 Абелевы группы с самоинъективным центром кольца эндоморфизмов 74
1.4 Вполне транзитивные, транзитивные, эндотранзитивные и слаботранзитивные абелевы группы 79
1.5 О сепарабельности прямого произведения произвольных абелевых групп 95
1.6 О равенстве нулю группы Hom(-, C) 105
Глава 2 О радикале Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевых групп 113
2.1 О радикале Джекобсона кольца эндоморфизмов однородной сепарабельной группы без кручения 113
2.2 О радикале Джекобсона кольца эндоморфизмов периодической группы 121
2.3 О радикале Джекобсона кольца эндоморфизмов смешанной вполне разложимой группы 137
Заключение 142
Список условных обозначений, символов, сокращений 144
Список терминов 147
Список литературы
- Абелевы группы с коммутативными кольцами эндоморфизмов
- Вполне транзитивные, транзитивные, эндотранзитивные и слаботранзитивные абелевы группы
- О радикале Джекобсона кольца эндоморфизмов периодической группы
- О радикале Джекобсона кольца эндоморфизмов смешанной вполне разложимой группы
Абелевы группы с коммутативными кольцами эндоморфизмов
Наиболее важные результаты по всем разделам теории абелевых групп и их связям с кольцами эндоморфизмов, полученные в последнее время, отражены в трудах П.А.Крылова, А.В.Михалёва, А.А.Туганбаева [31, 32, 109] и Л. Фукса [94]. Следует отметить монографию П.А.Крылова и А.А.Туганбаева [33], в которой показаны как классические, так и последние достижения о модулях над областями дискретного нормирования. Изложению теории арифметических, дистрибутивных и полудистрибутивных модулей и колец, а также модулей и колец Безу над ассоциативными, но не обязательно коммутативными кольцами посвящена монография А.А.Туганбаева [47].
Отметим также, что большой вклад в развитие теории абелевых групп и их колец эндоморфизмов был внесён следующими российскими математиками: И.Х.Беккером, Е.А.Благовещенской, С.Я.Гриншпоном, С.Ф.Кожуховым, П.А.Крыловым, Л.Я.Куликовым, А.П.Мишиной, А.В.Михалёвым, А.М. Се-бельдиным, Е.А.Тимошенко, А.А.Фоминым, А.В.Царёвым, А.Р.Чехловым, А.В.Яковлевым и др. [91].
Заметим, что актуальность темы диссертации подтверждается рассмотренными в ней задачами, которые, в свою очередь, связаны с проблемами, сформулированными в монографиях: [31,93], в трудах симпозиума [14], в статье [108].
Степень разработанности темы. Во первом параграфе первой главы рассматривается один из вопросов, поставленных в [31, проблема 16]: «Центры колец эндоморфизмов каких групп регулярны, самоинъективны?». Напомним, что кольцо R называется регулярным, если для каждого элемента x R существует элемент y R такой, что xyx = x. В теореме 1.1.9 описываются нередуцированные абелевы группы, имеющие ре 7 гулярный центр кольца эндоморфизмов. В теореме 1.1.10 рассматриваются некоторые необходимые и достаточные условия регулярности центра кольца эндоморфизмов редуцированной группы, что даёт некоторое решение данной задачи, сформулированной в проблеме 16 [31].
В статье [108] поставлена проблема 7: «Описать редуцированные смешанные абелевы группы, кольца эндоморфизмов которых регулярны».
Заметим, что основные исследования по изучению абелевых групп, имеющих регулярное кольцо эндоморфизмов, связаны с работами K.Rangaswamy [121], L.Fuchs и K.Rangaswamy [92], которые свели изучение таких групп к редуцированным группам. В теореме 1.1.12 предлагаются некоторые необходимые и достаточные условия регулярности кольца эндоморфизмов редуцированной группы, что даёт некоторое решение проблемы 7.
Описание редуцированных групп конечного ранга без кручения, имеющих регулярное кольцо эндоморфизмов, было предложено S.Glaz и W.Wickless в работе [95].
Центр кольца эндоморфизмов абелевых групп, а также связанные вопросы изучались в следующих работах. Так, в [27] описание центра кольца эндоморфизмов расщепляющейся смешанной абелевой группы сводится к описанию некоторых подколец центра кольца эндоморфизмов ее части без кручения. В [30] рассматривается строение аддитивной группы регулярного модуля. Здесь же изучаются абелевы группы, являющиеся регулярными модулями над своими кольцами эндоморфизмов. В [35] доказывается регулярность кольца эндоморфизмов по радикалу самомалой sp-группы. В [1] содержатся как известные, так и новые результаты о гомоморфизмах, близких к регулярным. В [58] изучаются абелевы группы с центральными идемпотентами, а в [61] — с перестановочными мономорфизмами.
В монографии [31] поставлена проблема 15: «Свести исследование смешанных групп с нётеровыми справа, полупервичными или коммутативными кольцами эндоморфизмов к исследованию групп без кручения с соответствующими кольцами эндоморфизмов». Во втором параграфе первой главы данная задача решается для групп с коммутативным кольцом эндоморфизмов из некоторого класса K. В то же время, как было показано в [58, пример 3], существуют смешанные группы, имеющие коммутативное кольцо эндоморфизмов и не принадлежащие классу K. Заметим, что периодические, расщепляемые и некоторый класс смешанных групп, имеющих коммутативные кольца эндоморфизмов, описаны в [123]. В [124] рассматриваются произвольные смешанные абелевы группы с коммутативными кольцами эндоморфизмов. В [59] и [140] описываются соответственно делимые и нередуцированные абелевы группы с коммутативными кольцами эндоморфизмов.
В монографии [31] сформулирована проблема 16: «Центры колец эндоморфизмов каких групп регулярны, самоинъективны?». В третьем параграфе первой главы поставленная задача решается для абелевых групп с самоинъективным центром кольца эндоморфизмов из некоторого класса S. Приводится пример абе-левой группы, не принадлежащей классу S, с самоинъективным центром кольца эндоморфизмов. Напомним, что кольцо R называется самоинъективным справа (слева), если модуль RR (RR) инъективен. Кольцо R, самоинъективное справа и слева, называется самоинъективным.
Заметим, что редуцированные абелевы группы, кольца эндоморфизмов которых самоинъективны справа, были описаны в [122]. Произвольные абелевы группы, кольца эндоморфизмов которых самоинъективны слева (справа), были исследованы в [20]. Описание нередуцированных абелевых групп, кольца эндоморфизмов которых самоинъективны справа, и произвольных абелевых групп, кольца эндоморфизмов которых самоинъективны слева, было независимо получено в [63]. В [20] и [63] было показано, что самоинъективность слева кольца эндоморфизмов произвольной абелевой группы влечёт самоинъективность справа.
Вполне транзитивные, транзитивные, эндотранзитивные и слаботранзитивные абелевы группы
Напомним некоторые понятия. Абелева группа А называется сепарабельной, если любую её конечную систему элементов { 2i, ..., аn} можно вложить во вполне разложимое прямое слагаемое S группы А. Абелева группа называется вполне разложимой , если она является прямой суммой абелевых групп, каждая из которых изоморфна подгруппам групп Q или Цр00). Группа без кручения А, в которой все ненулевые элементы имеют один и тот же тип, называется однородной. Напомним, что под радикалом Джекобсона J(E(G)) кольца эндоморфизмов E(G) группы G будем понимать следующую его характеризацию: J(E(G)) = {а є E(G) I V/3 є E(G), (1-а/З) є Aut(G)} [69, гл. 4, 15, теорема 15.3]. 114 Лемма 2.1.1. Пусть G - редуцированная группа без кручения и а Є E(G). Для того чтобы а Є Aut(G), необходимо и достаточно выполнения равенств кет(а)[)рС = 0 иa(qG) = qG для некоторых р, q Є ir(G). Доказательство. Необходимость. Первое равенство следует из того, что а Є Aut(G). Покажем справедливость второго равенства. Включение a(pG) CPG для любого р Є 7i(G) получаем из вполне характеристичности подгруппы pG. Обратно. Пусть х Є pG, тогда х = а(а-\х)). Так как a-\x)epG, то xea(pG). Достаточность. Пусть х Є ker(a). Тогда для р Є TT(G) такого, что ker(a)ppG = 0, следует, что а{рх) = р{ах) = 0. Следовательно, pxekei(a)f]pG = 0. Поскольку G группа без кручения, то х = 0. Покажем, что а сюръективное отображение. Рассмотрим произвольный элемент у Є G. Так как a{qG) = qG 115 для некоторого дЄ7г(С), то существует х Є G такой, что a(qx) = qy. Тогда q(a(x)-y) = 0 и, следовательно, Ф) = У поскольку G группа без кручения. Таким образом, а Є Aut(G). П По аналогии с идеалом H(G), введённого Р. С. Пирсом для сепарабельных р-групп G, в [119] для редуцированных групп без кручения G определяется идеал H (G) = {ір Є E(G) I Vp Є TT(G), УХ Є G, Лр(ж) oo = = ЛрСж) (y?(a;)} = p pE(G). Рассмотрим также для редуцированной группы без кручения G множество TF(G) = {а є E(G) Уж є G, V/3 є E(G) и Уп = ж + (а/З)(ж) + ... + (а/З)""1 (ж), п Є N, последовательность {yn}nN сходится}.
Сходимость последовательности {уп}п щ рассматривается здесь относительно Z-адической топологии группы G, которая определяется аналогично р-адической топологии. Разница лишь в том, что множество индексов N упорядочено так, что п т тогда и только тогда, когда п делит т. Естественно также, что вместо подгрупп pnG берутся подгруппы riG.
Предложение 2.1.2. Пусть G - редуцированная группа без кручения, тогда H (G)f]TF(G)C J(E(G)). Доказательство. Рассмотрим произвольное aeH (G)f]TF(G). Покажем, что для любого (З Є E(G) следует, что (1-а/З) Є Aut(G). Согласно лемме 2.1.1 для этого достаточно проверить выполнимость двух условий: 1) ker(l-a/3)ppG = 0 и 2) (l-aP)qG = qG для некоторых р, q Є 7r(G). 1) Допустим противное, т. е. пусть для каждого Р Є 7T(G) существует 0 жЄкег(1-а/3)ррС. Тогда (1-а/3)(ж) = 0. Следовательно, ж = (а/3)(ж), т.е. Лp(ж) = Лp((а)9)(ж)) для любого р Є 7r(G). Полученное равенство высот элементов приводит к противоречию, так как af3 Є H (G). 117 2) Имея включение (l-aP)qGQqG, покажем, что qGC (l-aP)qG, где дЄтг(С). Рассмотрим произвольный элемент а Є qG. Так как а Є TF{G), то для любого /З Є E(G) и Уп = а + (а/3)(а) + ... + (ар)п-\а) последовательность {y„}„GN сходится относительно Z-адической топологии группы G. Пусть у = lim уп. п—»оо Имеем (1 - а/3)у = (1 - а/3) Ишуп = lim (1 - а(3)(у„) = п—»оо п—»оо = lim (а - (а/ЗУ») = а - lim (а/3)п(а). п—»оо п—»оо Поскольку то (а/3)п(а) Є р pnG PGTV(G) для каждого п Є N и, значит, lim (а/3)п(а) = 0. П- СХ) Таким образом, {1 - а/3){у) = а. Так как 118 то существует CL\ Є G такой, что а = qa\. Тогда имеем Уп = q{ai + (аР)(ах) + ... + (а/З)""1 )) Є qG для любого п Є N. Так как у = Итуп, п—»оо то существует А; Є N такой, что у - уп Є qG для любого п к. Следовательно, Таким образом, показано, что H (G){\TF(G) С J(E(G)). П Напомним, что редуцированная группа без кручения G называется вполне транзитивной, если для любых элементов таких, что Лр(а) Лр(6) при всех простых чисел р существует (р Є E(G) со свойством р(а) = 6. Теорема 2.1.3. Пусть редуцированная группа G удовлетворяет одному из следующих условий: 119 1) G — однородная вполне транзитивная группа; 2) rv{G) 1 для всякого простого числа р, тогда H {G)f]TF{G) = J{E{G)). Доказательство. Поскольку группа G удовлетворяет условию 1 или 2, то J(E(G)) QH\G) [31, гл. 4, 22, предложение 22.4]. Согласно предложению 2.1.2 осталось показать, что 3(E(G))QTF(G). Рассмотрим произвольное а Є J(E(G)), тогда для любого /З Є E(G) следует, что 1-а/Зе Aut(G). Пусть а Є G и Уп = а + (а/3)(а) + ... + (а/З)"1 ) для любого п Є N. Покажем, что последовательность сходится. Действительно, так как l-a/Зє Aut(G), то существует 6 Є G такой, что (1 - ар)(Ъ) = а. Тогда имеем Уп = а + (а/3)(а) + ... + (а/3)п"1(а) = (1 - (а/3)п)(6) или Ъ-уп = (аР)п(Ъ). 120 Поскольку а/З Є J(E(G))C (G), то hp((aP)n(b)) п для каждого р є 7i(G) и при любом пЄ N, т.е. (а/3)п(6) Є р pnG при любом п Є N. Следовательно, 6= \ітуп. п—»оо п Следствие 2.1.4. Пусть редуцированная группа без кручения G является или однородной алгебраически компактной, или однородной сепарабельной группой. Тогда H (G)f]TF(G) = J(E(G)). Доказательство.Вытекает из предыдущей теоремы и из того факта, что редуцированная однородная алгебраически компактная и редуцированная однородная сепарабельная группы без кручения вполне транзитивны [31, гл. 4, 22, примеры а) и б)].
Таким образом, в следствии 2.1.4 показывается, в частности, описание радикала Джекобсона кольца эндоморфизмов однородной сепарабельной группы без кручения, что является некоторым решением первой части проблемы 18 б) из [31].
О радикале Джекобсона кольца эндоморфизмов периодической группы
Напомним некоторые понятия. Редуцированная периодическая группа А называется сепарабельной, если любую её конечную систему элементов { 2i, ..., ап} можно вложить в прямое слагаемое S группы А, являющееся прямой суммой циклических р-групп. Заметим, что редуцированная р-группа сепарабельна тогда и только тогда, когда она не содержит ненулевые элементы бесконечной р-высоты. Далее для всякого порядкового числа а под подгруппой paG[p] группы G подразумевается подгруппа paGf]G[p]. Следующее свойство некоторых подгрупп будем использовать в дальнейшем. Замечание 2.2.1. Для всякого натурального числа т, порядкового числа а и простого числар подгруппы mG} G[m}} paG иpaG[p] являются вполне характеристическими в группе G. Ниже показывается, что лемма 13.1 [119], доказанная Р. С. Пирсом для сепара-бельных р-групп, будет справедлива и в более общем случае. Предложение 2.2.1. Пусть G - редуцированная р-группа иаЄ E(G). Для того чтобы а Є Aut(G), необходимо и достаточно выполнение равенств ker(a) р G[p] =0и a(paG[p\) = paG[p] для любого порядкового числа а.
Доказательство.Поскольку необходимость очевидна, то докажем достаточность. Если а{х) = 0 и о{х) = р\ то o(pk-lx) = р 122 и а(рк-1х)=рк-1(а(х)) = 0. Таким образом, pk-lxeker{a)f)G[p} = 0, что противоречит порядку элемента х. Следовательно, ker(a) = 0. Покажем, что а сюръективное отображение. Рассмотрим произвольное yeG, где о(у)=рк, keN. Доказательство проведём индукцией по к. Пусть к = 1 и К {у) = аі тогда из равенства a(paG[p})=paG[p] следует существование х є paG[p] такого, что а(х) = у. Пусть для любого І Є N такого, что 1 1 к-1, утверждение справедливо. Пусть / = к и рассмотрим элемент рк 1у, принадлежащий paG[p] для некоторого порядкового числа (т к-1. Тогда из равенства a(paG[p})=paG[p] 123 следует существование хх Є paG[p] такого, что а(х1)=рк-1у. Так как а к-1, то paG[p] с paG с / С Поэтому существует х Є G такой, что Тогда /"V = а(Х1) = арк 1х и рк-\у-ах) = 0. Следовательно, о(у-аж) р _1, и по предположению индукции существует z Є G такой, что у — ах = az, т.е. y = a(x + z)eim(a). Таким образом, im(a) = G и а є Aut(G). П Р. С. Пирс в [119] для редуцированной р-группы G без элементов бесконечной р-высоты (т.е. для сепарабельной р-группы) вводит идеал H{G) = {а є E(G) I Ух є G\p], hp{x) ос /ір(ж) hp{ax)}. 124 Здесь hp{x) оо означает, что hp(x) = к для некоторого неотрицательного целого числа к. Пусть G — редуцированная р -группа. Введём по аналогии с идеалом H(G) идеал H (G) = {а є E(G) I V0 ф x є G[p] = h p(x) ІіЦах)}.
В следующем утверждении рассматривается более общий случай, чем в [31, предложение 20.2]. Лемма 2.2.2. Пусть G - редуцированная р -группа, тогда J(E(G)) QH (G). Доказательство. Допустим противное, т.е. пусть существуют а Є J(E(G)) и 0 ф х є G[p] такие, что h (x) = h (a(x)) = а. Если о" — конечное порядковое число (доказательство этого случая является доказательством предложения 20.2 в [31], но для полноты изложения приведём его здесь), то в силу [50, следствие 27.2] имеем G = а ф 4 = Ъ ф , где а(х) Є а и х Є Ь . Так как hp(x) = hp(a(x)), то о(а) = о(Ь). Следовательно, существует изоморфизм /3 : а — Ъ 125 такой, что Р(а(х)) = х. Пусть 7Г : G —Ї а — каноническая проекция. Тогда (1-/ЗтгаО(ж) = 0, где (1 - /Зтга) - автоморфизм группы G. Следовательно, жєкег(1-/3тга), что приводит к противоречию с выбором элемента х. Пусть о" — бесконечное порядковое число. Представим группу G в виде С= 6 0Б. Пусть а Є Ь , hp(a) = к и о(а) = р. h p(x + a) = к о(х + а)=р. Тогда h;(a(x) + а) и о{а{х) + а) Следовательно, существуют разложения G = с фС = d ф , где а(х) + а Є с и х + а d . 126 Проводя аналогичные рассуждения, как это сделано выше, находим эндоморфизм (р Є E(G) такой, что р : с — d , причём (р(а(х) + а) = х + а и (р(С) = 0. Тогда (1-у?а)(ж) = у?(а)-а. Представим элемент а в виде следующих разложений: a = nc + u = md + v, где пс е о, и е С, md е d и v є D. Следовательно, имеем (1 - (ра)(х) = фьс + и) - (md + v) = (p(nc) - md) + (-v), где (/9(nc)-mdG c и (-v) Є D. Так как p(nc)-mdG c , то h p{ p{nc) - md) = s — конечное порядковое число. Тогда h p((l - ipa)(x)) = nun{h p(ip(nc) - md), h p(-v)} s. Таким образом, эндоморфизм (1- ра) группы G понизил высоту элемента ж, что приводит к противоречию. 127 Приведём лемму, доказанную Р. С. Пирсом в [119, лемма 14.5]. Лемма 2.2.3 (Пирс). Пусть G - сепарабельная р-группа. Равенство J(E(G)) = H(G) имеет место тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие: еслихєС[р], а Є H(G) и уп = х + а(х) + ... + ап-\х), ( ) то существует у Є G такой, что hp(y — уп) — оо при п — оо. Последовательность {уп}пт, введённая Р. С. Пирсом в данной лемме, как будет показано ниже, играет существенную роль при описании элементов из радикала Джекобсона кольца эндоморфизмов сепарабельной р-группы.
Для сепарабельной р-группы G рассмотрим множество SP(G) = {а є E(G) І Ух є G[p],V Є E(G) и Уп = x + (а/3)(ж) + (а/З)"-1 ), п Є N, последовательность {yn}nGN сходится}. Сходимость последовательности {?/п}пЄм рассматривается здесь в р-адической топологии группы G. Напомним, что последовательность {gi}iN элементов группы G сходится к пределу g Є G в р-адической топологии группы G, если для любого п Є N существует А; Є N такое, что д-9іЄ pnG, как только і к.
О радикале Джекобсона кольца эндоморфизмов смешанной вполне разложимой группы
В данной работе можно выделить следующие наиболее важные результаты. Получено описание нередуцированной абелевой группы, имеющей регулярный центр кольца эндоморфизмов (теорема 1.1.9). Найдены необходимые и достаточные условия регулярности центра кольца эндоморфизмов редуцированной абе-левой группы (теорема 1.1.10). Полученные результаты дают некоторое решение одной из задач проблемы 16 [31].
Найдены необходимые и достаточные условия регулярности кольца эндоморфизмов редуцированной абелевой группы (теорема 1.1.12), что является некоторым решением проблемы 7 из [108].
Получено описание нередуцированной абелевой группы, имеющей коммутативное кольцо эндоморфизмов (предложение 1.2.3). Выделен класс абелевых групп, в котором исследование смешанных групп с коммутативным кольцом эндоморфизмов сводится к исследованию групп без кручения с соответствующим кольцом эндоморфизмов (теорема 1.2.4), что для данного класса групп является некоторым решением одной из задач проблемы 15 [31].
Получено описание абелевых групп из некоторого класса S с самоинъективным центром кольца эндоморфизмов (теорема 1.3.3), что для данного класса является некоторым решением одной из задач проблемы 16 [31]. Приводится пример группы, не принадлежащей классу S с самоинъективным центром кольца эндоморфизмов.
Получен критерий (вполне) транзитивной редуцированной группы (теорема 1.4.6). Найдены некоторые необходимые и достаточные условия транзитивности прямого слагаемого транзитивной группы (теорема 1.4.8), что является некоторым продвижением в решении проблемы 41 1) [31].
Получено описание сепарабельности прямых произведений произвольных абе 143 левых редуцированных групп (следствие 1.5.3), важность исследования которых подчёркивает аналогичная задача, сформулированная как проблема в [93] для векторных групп. Найдены некоторые необходимые и достаточные условия равенства нулю группы гомоморфизмов из группы A в произвольную группу без кручения C (лемма 1.6.1, теорема 1.6.2), что является некоторым решением проблемы 2 из [14].
Получено некоторое описание радикала Джекобсона кольца эндоморфизмов однородной сепарабельной группы без кручения (следствие 2.1.4), что даёт некоторое решение первой задачи проблемы 18 б) из [31].
Получено некоторое описание радикала Джекобсона кольца эндоморфизмов сепарабельной p-группы (теорема 2.2.4), что даёт некоторое решение одной из задач проблемы 17 из [31].
Получено некоторое описание радикала Джекобсона кольца эндоморфизмов смешанной вполне разложимой абелевой группы (теорема 2.3.2), что даёт некоторое решение проблемы 19 из [31].
Поскольку эти результаты дают некоторое описание изучаемых объектов, то они могут быть полезны при исследовании абелевых групп и их колец эндоморфизмов.
Автор выражает глубокую признательность своему научному консультанту профессору Петру Андреевичу Крылову за внимание к работе и данные им полезные советы. 144 Список условных обозначений, символов, сокращений N — множество натуральных чисел Z — группа целых чисел Q — группа (поле) рациональных чисел Ъ(р) — квазициклическая группа hp(a) Ща)) высота (обобщённая высота) элемента а Нр(а) индикатор (ульмовская последовательность) элемента а XA(CL) или х(а) — характеристика элемента а в группе без кручения А H(CL)A — высотная матрица элемента а в подгруппе А Нр(а)л — строка высотной матрицы Н(О)А, соответствующая простому числу р E (А) кольцо эндоморфизмов (абелевой группы А) аддитивной группы кольца А Hom(Д В) группа гомоморфизмов из группы А в группу В tAip) или t(a) — тип элемента а в группе без кручения А t{A) — тип однородной группы без кручения Т(А) — периодическая часть группы А Тр(А)-р-компонентаТ(А) А х В — произведение колец А и В Qp — группа всех рациональных чисел со знаменателем, взаимно простым с р Jp — группа целых р-адических чисел Q — кольцо целых р-адических чисел Z(m) — циклическая группа порядка m а — циклическая группа, порожденная элементом а о{а) — порядок элемента а