Абелевы группы без кручения с конечными группами автоморфизмов Кожухов, Сергей Федорович

Введение к работе

Актуальность темы. А.Г.КУроа; в заключения к первому изданию свое монографии "Теория групп" 2], наметив программу изучения абелезых групп без кручения конечного ранга, сфоркулирс-вая дроблену изучения групп автоморфизмов абалевмх групп без крученая конечного ранга. Эта проблема включает в себя две задачи: I). бучить строение групп автоморфязмой абедеьых групп без кручения конечного ранга, 2). Изучить строение абеде-вых групп без кручения конечного ранга, пиеющих ту или ' иную группу автог.:орфизков. Аналогичную пробЛй.гу сфор-, аудировал и L.Fuchs в своей монографии "Бесконечные абе-левн группы" 6j.

Группы, автоморфизмов групп конечного ранга, а тамада строение сакпх групп конечного ранга с той иди висЗ группой автоморфизмов, изучена кало. Одной из причин слоянести изучения групп автоморфизмов групп конечного ранга является отсутствие каких-либо сгруктуранх теорий для таких групп. Описания абслевых групп без кручения конечного ранга, данггиеА.Г.Куроаем[3], А.&Лзльдевш [4], J).D_e*ty [7І, не привели к каким-либо существенным сдвигам а изучении кек самих групп конечного ранга, так и связанных с пилі алгебраических структур групп авто-ко-пфизмов, колец эндоморфизмов и'т.п. . Так что отсутствие "хорошей" классификации абелзвых групп без кручения конечного ранга сдерживает изучение ах групп автоморфизмов.

Другой причиной сложности изучения: групп автоморфизмов групп конечного ранга является тот факт, что в отличие от пернодячесжюс абелевых групп, абелевы группы без кручения не определяются своими группами автомоі>-фкзкгв, т.е. из изоморфизма групп автоиор$изков абелс-вых групп без кручения, как правило, ке'следует изо-морфазм самих групп. Как показал, например,I.Fucks LB), для всяаото. бесковвчаого- кардинала- Ш- (ііеньша- парввео.

измеримого) с;'цествует <2 ненэоморфцых групп мощности У# , группы ев-томорфй'з,\!ОВ которых изоморфны циклической группе '-с-ого порядка Z(Z) .

НЕСКОЛЬКУ ПОЛНОе Изучение ЕОПрОСОВ, СВЯЗЕНККХ о

о»тоыорфк.змгт абелеьих група без хрученпя, очень слок-но, то естєстваїшо накладывать такие ограничения как на абьлевы группы G, без кручения, таи и на их груада Автоморфизмов jbut(Gr) , которые бк сильно влияли на взаимосвязи мезду группами G и их группами автомор-

Одним из таких or здкченкй является конечность Группы Лиі(&) . Фактически вое имеющиеся работы, связанные с изучением групп автоморфизмов абелевых групп без кручения, посвящены конечным группам автомо-^измов.

Лервдаз работали во конечным группам автоморфизмов абелевых групп оез кручения является работы 10] ( }. Ct.oot), l9j (HytUb_tA.B,Mitan(la)_t в которых строятся примеры абелевых групп без кручения с конечными группами автоморфизмов. Главными работами в этом направлении является цикл работ ll - l&](].T.Ha(Ult,l(.A.Hittci) _t в которых полностью описываются конечные группы, которые могут быть группами автоыорфисмов абелсиых групп без крученая. Центральным рйзультатоа ях работ является следующая теорема: "Если конечная груши» Г является группой автоморфизмов некоторое вбелевой группы без кру-чеши, то Р есть подпрямое произведение конечного числа груды следующих типов: 2<г> , ІФ , 2(S) (циклические грушш порядков 2, 4, 6, соответственно), Q, ^группа кватернионов порядка 8), VC_1t (диникличеезая группа порядка Ls) и ЬТ_п (бинарная группа тетраэдра порядка 24)". Этими же авторами получен полный ответ на вопрос о том, какие подпрякие произведения групп указан- „ яых 6-ти типов могут служить грушами автоморфизмов абелевых групп без кручения. В»А.Ники$оров [5} hW.Dmjos,

И.&оіей [а] обобщила результат работы ^г9], доказав теорему: "Если Г - конечная группа,- реализуемая кяч .

группа автокорфизмп некоторой абелевоЯ группы без вручения, то для всякого бесконечного кардинала Ш _Су-

. шествует Z неизокорфнкх ьбелеяых групп без кроєнні

мощности ИЇ , группы автоморфизмов которых изоморфны группе Г ".

Чхо яз касается самих абелевых групп бе. кручения с конечными группами автоморфизмов, то строение таки група не изучено. Единственно, что известно по зтоігу вопросу, то это вышеупомянутые работы flOj, ІІ9}, fll -I6j, а такає [5], [ъ], І9І, в которых строят : различные примеры абелевых групп без кручення с конечными группами автоморфизмов. Отметим, что в осноэаом в атях ра-

. ботах строятся ^г тмеры сильно нераэлояишх абелевых. групп без кр„ /енпя, группы автонорфлзшв которых гзоморкы

ZU) , ZW , 1<(,) , О, , рС„ или 67i« . что касается кзпзиразлоклиых абелевых групп без кручения с укг запиши 6-тью группами автоморфизмов, то таких примеров нет.

Данная диссертация посвящена изучении строения чба-левнх групп без кручения конечного ранга о конечними. группами .ВТОМОрфИЗИОЕ.

Цель работа. Абелевн группы бе.» крученая с конечны-кя группами автоморфизмов не шегт некулевнх нильгатент-внх эндоморфизмов (свободны, от иильпотентностей). Пэгтс— му одаа вэ целей работы заключается з то:/, чтобы пострг яэт, структурну» їеоршо для кгазирлэлояш.;ых свободных от нильпотентностей абелевых групп без кручения коночного ранга. НаР.ти систему инвариантов, опксиваищк. данные группы с точностью до изоморфизма.я позволяадих изучать с их поиоаьп строение абелевих групп без кручения конечного ранга с конечными группами автоморфизмов.

Другой целью работы является разработка, метода изучения, строения абелевых групп без пэтенвя конечного ранга с конечных;]! грушами автоморфизмов н с иомоцью' этого метода описание различных классов групп без кру-

чения. с коаечішик группами автоморфизмов. В частности,
одной из цедей является списание строзння хвазиразлогв-
1йк абелэвых групп без крученая конечного ранга, группы
автоморфизмов которых и?оморфны Z<2) , 2(*> , 7.Ф , O_f ,
DC,, ели Й7"_п . '"',.'...-

Сбцак «етодияа иссл^свачи?. Б работе используются ыетодц теории квазгразлохєі'Ей абелевнх групп оез кручения, конечного ранга. Основі: атой теории разработал B.Jotisswt III) я развил в дальнейшем J.D.ReiJ (I8j. Аппарат теории квазираз,г женгй активно яспохыуется при изучении строения абелєвіїх трупе без кручения ковечного '. ранга, к особенно их колец эндоморфизмов. Что касается групп азтоыорфткоч, то в диссертацит впервые т-имвня- . ются методы теория квьзг. разложений для изучения автшор—' фка«ов абелегых грут без кручения коночного ранга. При . атом разработан сюй метод изучзнші групп автоморфизмов абелевнх груш без кгучеи::я кокечнзго ранга, основании*! на продолжений аЕ50корф;:з?.:о» разлігшшх квазиразлежений груяпц до автоморфизмов оаиой группы и на установлении тесноЕ связи между конечностью групп а^саюрфвзмов абе— левых групп оез кручения конечного раш-а и регулярностью аитоморфизіюз *тих група. Этот метод основывается на структурной теории, построенной для квазиразлокззгах свободна*, ст кклыютентностей г.белевнх групп без кручения конечного ранга, к сводит вопрос о продолкаеиоста автоморфизмов квазяразлохений rpvinza к вопросу о разрешимости определинних систем сравнений 1-ой степени.

Ііаучкая цоь~ана. Бее осноянке результаты диссертации является ноььвж. Оснсвкьаш результатами данной работы ыэхш считать следушёе.

. I. Для квааиразлоаааных свободных от нкльаотентюе-тей абелеві-х групп без крученім; конечного ранга нпйденн инварианты (гак называемые (А,Т)-талы), "оторые характеризуетданные, группы с точностью до изоморфизма.

/

1. Ееяены структурные задачи для квазиразлокамых свободных от шгльпотевтвостей абілєвнх групп без крученім конечного ранга. А именно, доказана единственность полного хвазиразложения, установлена связь мекду произвольными квазиразложениями я поляки квазиразлощением, решён вопрос о разложимости таких групп в прямую суиму своих- подгрупп.

2. Найдены необходима и достаточные условия про-доляаеыоста автоморфизмов различных квазиразложениЗ абелевых групп баз кручения конечного раага до автоморфизмов саивх групп. В частности, получено полное описание ряда классов абелевых групп.без кручения конечного ранга, у которых каждый автоморфизм любого её полного квазиразяо&ения продолжается до автоморфизма самой группы.

3. Дана классификация групп автоморфизмов квазграз-локимых регулярно полных абелевых групп без кручения, конечного ранга. Шказано, что эти группы автоморфизмов конечны, и ими иогут служить группы /(г) , ZW , !(() ,

^« » bC_it и &Т_г* ., Решён вопрос о существования хвазиразлоадашх-абелевых групп без кручения конечного ранга с такими группами автоморфизмов. Дана классификация, групп автоморфизмов регулярно простых.абелевых групп без кручения конечного ранга.

5. С помощью найдених инвариантов для свободных от
кидьпоїентносте абелевых групп без кручения кокзчного
ранга получено описание строения квазиразлоаимих регу
лярно полных и регулярно простых групп. Дри этом разра
ботав цетод, позводях«и изучать строение произвольных
абелевых групп без крученая конечного ранга о теми или
иными конечными группами автоморфизмов.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Шлучекныв в ней результаты могут быть использованы как в само теории абелевых групп,'так и в теории неноияутативных групп, в теория колец и модулей.

/

/

Апробация р^чультатсв работы. Результаты дассер-^ тацзш докладывались.ка УІІ(Щушенское), ІХ(Шсква), Xflb-мель) Всесоюзны;: оимпозиуиаі. во теории групп, на ІУ(Й»-эинйв) и У1(Дьвое) Всесоюзных симпозиумах по теории колец, алгебр і: иодулсй, на ШКіЬгаск], ХУШ (Кишинёв), ХГХ(Льзоз) Есесоазннх конферекщ:ях по алгебре к на Международных конюаренгдаях по алгебра .{Новосибирск, Барнаул я Красноярск). Кроме того, результаты диссертации цокладшзались на семинаре ло теория колец я модулей в МГУ, на семинаре по теории групп в 'ЛГУ, на алгебраическом семинаре в МПГ7 и на семинарах, по теории аесодаа-тиввнх колец и "Алгебра к логика" в.ИМ СО. РАН, а также на алгебраическом сег.жнаре ТІУ.

цублякаїіри. Основные результаты диссертации опубликованы в 20 работах. Бее работы без соавторов, кроме совмес -ой монографии {21], из которой используются параграфы, написанные автором.

Структура к объём диссертации. Диссертация изложена на 176 страницах и состоит из введения а четырёх глав. БисЗжграфия содержит 80 названий, включая и работы автора по теме диссертации.