Введение к работе
Актуальность темы. Исследование устойчивости по Ляпунову уравнения
Шредингсра — = Lu(t) с иссамосопряженным оператором L приводит
г at
к эквивалентной задаче о равномерной по t ограниченности операторной экспоненты cxp(iLt) и, таким образом, к задаче о подобии оператора самосопряженному. В том случае, когда оператор L подобен самосопряженному, для него выполняется аналог спектральной теоремы, справедливой для самосопряженных операторов, с ограниченными (вообще говоря, неортого-пальными) спектральными проекторами. Также в указанном случае имеется возможность построения функционального исчисления для оператора L и решения исходного нестационарного уравнения с использованием операторной экспоненты. В наиболее простой форме данное функциональное исчисление может быть построено в случае, когда исследуемый оператор имеет лишь абсолютно непрерывный спектр.
Подобные проблемы естественным образом появляются в гидродинамике, задачах сингулярных возмущений в квантовой механике, теории колебаний и др. Тем самым, актуальным является вопрос о нахождении условий подобия оператора L самосопряженному (для чего необходима и достаточна совокупная ограниченность всех его спектральных проекторов). Цель работы. Работа посвящена исследованию вопросов устойчивости, формулированию критериев подобия операторов самосопряженным и условий, достаточных для ограниченности соответствующих спектральных проекторов, в терминах, удобных для использования. Научная новизна. Диссертация содержит следующие новые результаты:
1. Получены необходимые и достаточные условия подобия самосопряженным для двух важных классов несамосопряженных операторов: адди-типных несамосопряженных возмущений самосопряженных операторов и иесамосопряженных расширений симметричных операторов с равными ин-
дексами дефекта в случае, когда спектр изучаемых операторов абсолютно непрерывен.
-
Получены достаточные условия ограниченности спектральных проекторов, соответствующих произвольным борелевским интервалам спектра, для операторов из указанных выше классов.
-
Приведены новые достаточные условия подобия самосопряженным и (отдельно) ограниченности спектральных проекторов, соответствующих произвольным борелевским интервалам спектра, для оператора одномерной несамосопряженной модели Фридрихса и оператора Лапласа с возмущением, носитель которого состоит из конечного числа точек.
4. Получены условия функциональной ограниченности сильно непре
рывных групп операторов в терминах резольвент их генераторов в случае
абсолютной непрерывности спектра последних. Доказана точность полу
ченных результатов для случая полиномиально ограниченных групп.
Научная и практическая ценность. Работа носит теоретический характер.
Полученные в ней результаты применимы для анализа широкого класса за
дач устойчивости и подобия операторов. Результаты могут представлять
интерес для специалистов в области теоретической и математической фи
зики, теории операторов, математического анализа, квантовой механики,
гидродинамики, теории колебаний.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре математического факультета Стокгольмского университета в феврале 1999 года; на семинаре кафедры математической физики Санкт-Петербургского государственного университета (26 мая 2000 года); на конференции, посвященной памяти С. Ковалевской (18-22 июня 2000 года, Стокгольм); на рабочей встрече «Спектральный анализ дифференциальных и разностных операторов второго порядка» (Варшава, 1-12 августа 2000 года). Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 научных работ ([1-6]). Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех
глав и списка литературы. Общий объем работы — 102 страницы, включая 2 рисунка. Библиография — 45 наименований.