Задача перечисления неспрямляемых путей на плоских однородных решетках и исследование перколяции однородных бернуллиевских полей Комендантенко Елена Сергеевна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Проблема перечисления неспрямляемых путей на периодических графах и основная задача дискретной теории перколяции

1.1. Прикладные задачи теории перколяции

1.2. Математические основы теории перколяции

1.3. Решеточные модели теории перколяции

1.4. Выводы

Глава 2. Задача перечисления неспрямляемых путей

2.2. Верхние оценки числа неспрямляемых траекторий на периодическом графе

2.3. Верхние оценки числа неспрямляемых траекторий на квадратной решетке

2.4. Верхние оценка числа неспрямляемых траекторий на треугольной решетке

2.5. Верхние оценка числа неспрямляемых траекторий на гексагональной решетке

2.6. Нижние оценки числа неспрямляемых траекторий на плоском периодическом графе

2.7. Выводы

Глава 3. Вычисление вероятности перколяции и задача перечисления неспрямляемых путей

3.1. Вероятность перколяции

3.2. Перколяционное разложение

3.3. Свойство монотонности вероятности перколяции бернуллиевских случайных полей на бесконечных графах

3.4. Области перколяции дискретных перколяционных моделей

3.5. Кластерное разложение вероятности перколяции

3.6. Вычисление вероятности перколяции на плоских периодических г

3.7. Вычисление вероятности перколяции на однородных мозаиках

3.8. Выводы

Глава 4. Теорема о внешних границах конечных кластеров

4.1. Плоские графы и мозаики

4.2. Дискретный аналог теоремы Жордана

4.3. Внешние границы конечных кластеров

4.4. Выводы

Заключение

Список литературы

• Математические основы теории перколяции
• Верхние оценка числа неспрямляемых траекторий на треугольной решетке
• Свойство монотонности вероятности перколяции бернуллиевских случайных полей на бесконечных графах
• Дискретный аналог теоремы Жордана

Введение к работе

Актуальность темы. Диссертация представляет собой комплексную математическую работу, в которой исследуются специальные математические модели статистической физики с привлечением методов и результатов из различных разделов математики таких, как теория графов, комбинаторная математика, линейная алгебра, теория вероятностей.

Статистическая механика полимеров относится к самому сложному, с точки зрения построения и анализа математических моделей, разделу статистической физики. Конструкционная сложность моделей в этом случае связана с огромным числом атомов, входящих в состав каждой из молекул и, как следствие, наличием у них большого числа различных конформаций, что, в свою очередь, означает наличие у каждой из них большого числа степеней свободы. Поэтому при решении задач статистической механики ансамбля таких молекул, возникает проблема перечисления их расположений в фазовом пространстве. Это существенно осложняет исследование систем полимерных молекул. Таким образом, в статистической механике полимеров математические проблемы возникают уже при изучении статистики конформаций одиночных молекул. В этом случае чуть ли не единственным методом математического моделирования и анализа соответствующих моделей является так называемое решеточное приближение, при котором непрерывное расположение атомов, составляющих каждую молекулу, заменяется на их расположение в узлах «кристаллической» решетки (обычно простой кубической). Однако, даже при использовании решеточного приближения соответствующие математические модели оказываются очень сложными для анализа, что связано с разветвленным устройством полимерных молекул. Существенное упрощение возникает в том случае, когда молекулы представляют собой гибкие полимерные цепи. Тогда, задача об описании состояний отдельной молекулы сводится к описанию различных траекторий заданной длины на решетке, на которые наложены дополнительные ограничения, связанные с представлением о возможном расположении полимерной цепи в пространстве.

Один из простейших способов идеализированного описания гибкой полимерной цепи состоит в представлении ее в виде траектории, которая имеет вид последовательности п шагов с фиксированной длиной, начинающейся в точке х решетки. Такая модель позволяет вычислять, в рамках формализма равновесной статистической механики, физические параметры системы полимерных молекул. Базовой величиной, определяющей состояние системы молекул при нулевой температуре, является энтропия S'(x), определяемая всеми конформациями, которые обладают фиксированной начальной пространственной точкой х. Она определяет независящие от температуры статистические веса, которые вносит каждая из молекул системы при усреднении по распределению вероятностей Гиббса этого ансамбля. Функция S(x) выражается через число различных путей iV_n(x) длины п, выходящих из х, S'(x) = ln[iV_n(x)]. Так как типичные значения числа п очень велики ~ 10³, то вычисление S(x) сводится к нахождению главного члена асимптотики функции N_n(x.) при п —> оо.

Простейшие оценки величины S(x.) связаны с представлением полимерной молекулы в виде траектории случайного блуждания. Однако, такое приближение является очень грубым. Оно не учитывает, что при расположении полимерной молекулы в пространстве, отдельные ее звенья взаимодействуют друг с другом. Это приводит к определенным ограничениям на траектории, которые моделируют расположения молекул. Наличие таких ограничений существенно изменяет значения числа N_n(x). Ранее давались оценки S'(x), учитывающие только несамопересекаемость траекторий, моделирующих молекулы. Расче-

ты, проведенные в настоящей работе, учитывают более тонкий эффект - отталкивание их отдельных звеньев друг от друга. В связи с этим в работе вводится понятие о неспрямляе-мых траекториях на решетке и величина N_n(x) понимается как число всех неспрямляемых траекторий длины n с общей начальной точкой x.

Представление о неспрямляемых траекториях на решетке и задача их перечисления тесно связаны с задачами дискретной теории перколяции. В связи с этим, предлагаемый в диссертации метод вычисления числа N_n(x.) применяется для вычисления верхних и нижних оценок порога перколяции и вычисления вероятности перколяции в решеточных моделях с контролируемой точностью, на основе известного в этом разделе математической физики «контурного метода». В работе дается усовершенствование классического контурного метода, возникшего в статистической механике решеточных моделей, на основе понятия неспрямляемых путей на периодических графах.

Степень разработанности темы исследования. Теория перколяции берёт своё начало с работ Дж. Хаммерсли, которые привели к постановке принципиально новых задач в теории случайных процессов. Возникновение перколяции является своеобразным геометрическим «фазовым переходом» в среде. С математической точки зрения это означает, что при изменении параметров, определяющих распределение вероятностей случайного множества, с вероятностью единица, изменяется топология его случайных реализаций. Оказалось, что уже простые перколяционные модели приводят к очень сложным математических проблемам, которые не поддаются изучению на основе традиционных подходов, используемых в математической физике и теории случайных процессов.

Бурное развитие теории перколяции относится к 70-м годам прошлого столетия, когда специалистами по физике твердого тела была осознана важность идеи о спонтанном возникновении протекания. Многие физические эффекты, проявляющиеся в твердотельных средах в низкотемпературной области, имеют «перколяционную составляющую». Интерес физиков к теории перколяции в 70-е и 80-е годы вызвал к жизни большое число исследований эмпирического характера и компьютерных экспериментов, часто довольно примитивных без какого-либо обоснования точности применяемых в них вычислительных методов.

В связи с этим, исследования по теории перколяции можно разделить на два совершенно различных направления. Одно из них объединяет работы эвристического характера, выполненных на основе физических рассуждений, а также работы, связанные с компьютерным моделированием. Другое направление имеет своей целью получение результатов строго математического характера, в том числе и численных, но выполненных с контролируемой точностью. Именно это направление называют математической теорией перколяции, и с ним мы связываем исследование в настоящей работе. Этот раздел математической физики подразделяется на два, существенно отличающихся по сложности решаемых задач, направления, связанных соответственно с изучением дискретных и непрерывных моделей.

Одним из методов изучения дискретных перколяционных моделей является т.н. контурный метод. Он возник на основе идеи, впервые использованной Р. Пайерлсом для доказательства существования фазового перехода в классических ферромагнитных решеточных системах статистической механики, и был применен Дж. Хаммерсли для анализа предложенных им дискретных двумерных моделей.

Контурный метод дает возможность установить наличие перколяционного перехода для случайных множеств, порождаемых этими моделями. Однако, в той форме, кото-

рая была использована Дж.Хаммерсли, этот метод не позволял вычислять вероятность перколяции и находить со сколь угодно большой точностью оценки порога перколяции. Тем не менее, контурный метод допускает обобщение для анализа многомерных дискретных моделей теории перколяции, которое было применено Р.Л. Добрушиным при анализе трехмерной модели Изинга.

Метод поколений, в некотором смысле, альтернативный контурному методу, который был предложен М.В. Меньшиковым. Его применимость также ограничена бернуллиев-скпми случайными полями, так как в конструкцию метода заложено использование марковских ветвящихся процессов. Этот метод позволяет, хотя бы в принципе, вычислять порог перколяции со сколь угодно большой контролируемой точностью в перколяцион-ных моделях, порождаемых бернуллиевскпми случайными полями. Однако, он, с самого начала, приводит к рутинным алгебраическим вычислениям, что серьезно ограничивает его применимость. В то же время, этот метод можно использовать для доказательства утверждений качественного характера относительно свойств перколяционных моделей.

Как контурный метод, так и метод поколений, в двумерных задачах теории перколяции, тесно связаны с комбинаторной задачей перечисления несамопересекающихся путей наперед заданной длины и Є N на решетках различного типа. Попытки уточнения величины In N_n, с которой связана верхняя оценка порога перколяции делались многими авторами. При этом получение верхних и нижних оценок показателя роста числа N_n представляют собой совершенно разные по сложности задачи.

Следует указать, что несмотря на то, что к настоящему времени издано уже несколько достаточно всеобъемлющих монографий по теории перколяции, которые посвящены разработке ее математической стороны, а также вышли серьезные обзоры, учебники, научно-популярные издания и справочные статьи, но нет никаких оснований считать, что теория перколяции является достаточно глубоко разработанной математической теорией.

Даже в рамках дискретных моделей, предложенных Дж. Хаммерслп, до настоящего времени, нет ответов на многие важные для приложений вопросы. В настоящей диссертации делается попытка дать ответы на некоторые из них. Используя модификацию контурного метода (она названа в работе методом кластерного разложения), удалось уточнить верхнюю границу порога перколяции и вычислить с большей точностью область сходимости кластерного разложения вероятности перколяции.

Еще менее изученными являются аналогичные задачи для многопараметрпческих перколяционных моделей, где случайные множества порождаются бернуллневскими полями, у которых вероятность заполнения вершин периодически зависит от положения вершин на графе. В этом случае вероятность перколяции является функцией от нескольких различных вероятностей заполнения вершин. Гиперповерхность в пространстве возможных значений этих вероятностей, которая является ее графиком, формирует т.н. фазовую диаграмму. Кроме того, имеются нерешенные математические проблемы, связанные с описанием критического поведения перколяционных характеристик.

Цель работы: В соответствии с паспортом специальности, целью работы является исследование математическими методами математических проблем, возникающих в термодинамике и статистической физике. В работе разрабатывается метод решения задачи о перечислении неспрямляемых путей на периодических графах с целью вычисления энтропии системы невзаимодействующих линейных полимерных молекул, а также с целью получения оценок порогов перколяции и вычисления вероятностей перколяции с контролируемой точностью для бернуллиевскпх случайных полей на плоских

периодических графах.

Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

1. Выделить дискретные перколяционные модели из класса тех, которые порождаются однородными бернуллиевскими полями на периодических графах, и у которых вероятность перколяции характеризуется только одной критической точкой с* в интервале [0,1] изменения вероятности с заполнения вершин графа. В этом случае зависящая от одного параметра с вероятность перколяции может быть вычислена на основе последовательных приближений с областью сходимости с Є [с*, 1], начиная с нулевого приближения при с = 1.

2. Выделить оптимальный класс путей на периодических графах, которые реализуют перколяцию из любой фиксированной его вершины и на основе которых допустимо построение марковских аппроксимаций процесса построения таких путей в зависимости от их длины. Эти пути в диссертации названы неспрямляемыми.

3. Разработать метод получения верхних и нижних оценок числа N_n неспрямляемых путей, исходящих из фиксированной вершины, в зависимости от их длины.

4. На основе разработанного метода получения оценок числа N_n найти его верхние и нижние оценки для плоских однородных решеток.

5. На основе полученных оценок найти нижние оценки критической точки с* для однородных бернуллиевских полей на плоских однородных решетках.

6. Доказать теорему о монотонности вероятности перколяции как функции от с.

7. Разработать общий аналитический подход для вычисления вероятности перколяции дискретных перколяционных моделей, порождаемых бернуллиевскими полями на периодических графах, на основе перечисления всех конечных кластеров, содержащих фиксированную вершину.

8. Для моделей, основанных на плоских периодических графах, доказать теорему о связи задачи перечисления всех конечных кластеров, содержащих фиксированную вершину, и неспрямляемых циклов на этих графах.

9. На основе приближенных решений с контролируемой точностью задачи о перечислении всех неспрямляемых циклов, окружающих фиксированную вершину, найти оценки точности приближений вероятности перколяции для плоских однородных периодических графов, а также верхние оценки для критической точки с* каждого из этих графов.

10. На основе развитого общего аналитического метода решения перколяционной задачи для плоских однородных графов произвести расчеты первых приближений вероятности перколяции и дать оценки их точности.

Научная новизна. В результате проведенного исследования перколяционных моделей создан общий метод решения задач о вычислении комбинаторной энтропии, в рамках решеточного приближения систем статистической механики, состоящих из линейных полимерных молекул, и развито приложение этого метода к решению задач теории перколяции, связанных с однородными бернуллиевскими полями на плоских решетках.

В рамках развитой в диссертации теории научную новизну составляют:

10. Введение понятия неспрямляемого пути на периодических графах и, в частности, понятия о неспрямляемых циклах на плоских периодических графах.

11. Метод марковских аппроксимаций для получения верхних и нижних оценок числа N_n неспрямляемых путей в зависимости от их длины на периодических графах с началом в фиксированной вершине.

12. Получение более точных верхних и нижних оценок числа N_n на основе разработанного метода для плоских однородных решеток.

13. Получение нижних оценок порога перколяции с* для однородных бернуллневских полей на плоских однородных решетках на основе верхних оценок числа N_n.

14. Теорема о монотонном возрастании вероятности перколяции бернулл невских случайных полей на бесконечных графах как функции от вероятностей заполнения каждой из вершин и, как следствие, теорема о возрастании вероятности перколяции каждого неоднородного бернуллиевского поля на произвольном бесконечном графе, определяемого набором вероятностей (ci,...,c_m) заполнения различных вершин графа, по каждой из переменных q, г = 1 4- га.

15. Теорема об взаимно-однозначной связи между внешними границами конечных кластеров, содержащих фиксированную вершину, в дискретных перколяционных моделях, которые порождаются бернуллиевскими полями на плоских периодических графах, и множеством неспрямляемых циклов, окружающих эту вершину.

16. Усовершенствование контурного метода для вычисления с контролируемой точностью вероятности перколяции для плоских периодических графов, на основе использования верхних оценок числа неспрямляемых циклов, окружающих фиксированную вершину.

Теоретическая и практическая значимость. Разработанные в диссертации методы представляют теоретическую ценность, так как, на их основе, могут приближенно вычисляться: комбинаторная энтропия систем линейных полимерных молекул и вероятности перколяции для различных дискретных перколяционных моделей.

Полученные в работе результаты могут иметь также практическое приложение при обработке экспериментальной информации в физики конденсированных сред при изучении в них структурных фазовых переходов.

Методология и методы исследования. В процессе решения поставленных задач используются методы теории графов, методы линейной алгебры и теории матриц для анализа трансфер-матрицы, а также методы теории бернуллиевских случайных полей на периодических графах.

Положения, выносимые на защиту:

1. Верхние и нижние оценки числа N_n неспрямляемых путей на плоских однородных периодических графах.

2. Верхние и нижние оценки порога перколяции с* однородных бернуллиевских полей на плоских однородных периодических графах.

3. Теорема о монотонном возрастании вероятности перколяции бернуллиевских случайных полей на бесконечных графах как функции от вероятностей заполнения вершин.

4. Теорема о взаимно-однозначном соответствии между внешними границами конечных кластеров, содержащих фиксированную вершину, в дискретных перколяционных моделях, которые порождаются бернуллиевскими полями на плоских периодических графах, и множеством неспрямляемых циклов, окружающих эту вершину.

Степень достоверности полученных научных результатов обусловлена корректностью доказательств математических утверждений и проведенных вычислений; согласованностью полученных в диссертации результатов с ранее полученными результатами.

Апробация работы. Материалы, включенные в диссертацию, опубликованы в 18 работах автора, в том числе 11 из них в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, как самостоятельных, так и выполненных совместно с научным руководителем, а также в материалах 13 международных и всероссийских научно-технических конференций. Опубликованные работы, материал которых включен в диссертацию, вышли из печати на протяжении 2007-2015гг. и представлены в общем списке литературных источников, на которые имеются ссылки в диссертации.

Материалы работы докладывались и обсуждались на:

1. Воронежская зимняя школа С.Г.Крейна - 2008.

2. International Conference «Stochastic Analysis and Random Dynamics», June 14-20, 2009, Lviv, Ukraine.

3. Вторая Международная научная конференция «Математическое моделирование и дифференциальные уравнения». Минск, 24-28 августа 2009.

4. Воронежская зимняя математическая школа С.Г.Крейна 2010.

5. Тринадцята міжнародна наукова конференція ім. акад. М.Кравчука, Киї, 13-15 мая 2010.

6. International Conference Modern Stochastics: Theory and Applications II September 7-11, 2010, Kyiv, Ukraine.

7. VIII School of Young Scientists "Non-local boundary problems and problems of modern analysis and informatics". Нальчик-Хабез, 25-30 июня 2010.

8. 3d International Conference on Quantum Electrodynamics and Statistical Physics QEDSP2011 August 29- September 2, 2001, Kharkov, Ukraine.

9. Воронежская зимняя математическая школа С.Г.Крейна - 2012.

10. Чотирнадцята міжнародна наукова конференція ім. акад. М.Кравчука. Київ, 2012.

11. Третья Международная научная конференция «Математическое моделирование и дифференциальные уравнения», Брест. 17-22 сентября 2012.

12. International Conference Modern Stochastics: Theory and Applications III, September 10-14, 2012, Kyiv, Ukraine.

13. Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения» 26-31 мая 2013, Белгород.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка используемой литературы, состоящего из 100 наименований (среди которых 33 литературных источника являются работами диссертанта) и двух приложений, содержит 28 иллюстраций. Основное содержание диссертации составляет 152 страницы машинописного текста.

Математические основы теории перколяции

Мы приведем несколько примеров физических ситуаций, в которых возникает явление, называемое перколяцией. Они, прежде всего, связаны с приложениями в физике конденсированных сред. Описание конкретных конструкций математических моделей, соответствующих этим физическим объектам и протекающим в них перколяционным процессам, будут даны в третье разделе.

1. Протекание газа через пористые среды. Известно, что изучение явления просачивания газа через пористые среды и математические модели, которые были предложены для его качественного объяснения, как раз и привели к возникновению термина «перколяция». Явление перколяции состоит в следующем. Рассмотрим диффузию частиц газа через достаточно толстый слой аморфной пористой среды. Если не учитывать время, за которое частицы газа смогут просочиться через этот слой, а интересоваться только лишь самой возможностью такого просачивания, то ее изучение сведется к чисто геометрической проблеме существования каких-то, может быть, очень узких, но связных друг с другом каналов (перколяционных путей) в этом слое, через которые можно найти проход с одного края слоя на другой край. Так как аморфная среда представляет собой физический объект со случайной геометрической структурой, то моделировать геометрию случайным образом образующихся в ней перколяционных каналов можно только на основе теоретико-вероятностных представлений. Удивительным является то, что образование перколяционных каналов физически возможно только в среде с достаточно большой пористостью. Оказывается, что переход от ситуации, когда каналы заведомо полностью отсутствуют (пористость среды равна нулю) к ситуации, когда они появляются, пусть со сколь угодно малой вероятностью, вообще невозможен при достаточно малых значениях пористости, то есть возможность просачивания газа не начинается со сколь угодно малого значения пористости, а, наоборот, существует некоторая «пороговая» величина пористости, только при переходе через которую возможно их появление. С точки зрения статистической физики, именно это свойство «пороговости» перехода к физическому состоянию, когда в среде возникает возможность просачивания газа, которая называется перколяцией, вызывало на начальном этапе развития теории этого явления наибольшее удивление и нуждалось хотя бы в качественном объяснении. Ясно, что, с точки зрения математического моделирования, пониманию явления перколяции при просачивании газа через пористую среду способствовало бы создание геометрических моделей, которые, по своей природе, должны быть стохастическими и которые бы позволили рассчитывать, хотя бы приближенно, те значения пористости, при которых такое явление возникает.

Так как сколько-нибудь приближенные к реальности математические модели пористой среды оказываются очень сложными, то возникла необходимость построения каких-то примитивных моделей, в рамках которых можно найти ответ на поставленный выше вопрос. Такие стохастические модели с дискретной решеточной геометрией были предложены Дж. Хам-мерсли. Причем оказалось, что качественное объяснение эффекта перколяции уже возможно в рамках двумерных решеток.

2. Теория фильтрации. Заменяя в предыдущем примере газ частиц на жидкость, приходим к выводу, что те же самые перколяционные представления применимы и в теории фильтрации при анализе прохождения жидкости через объемный слой пористой среды, размеры пор которой могут стать достаточными для образования сквозных каналов для просачивания жидкости от одного края слоя к другому.

Впоследствии оказалось, что явление перколяции, если его трактовать как явление перехода к «геометрическому» состоянию стохастической системы, которое носит пороговый характер в зависимости от наличия с определенной концентрацией каких-то особенных геометрических элементов, проявляется довольно в разнообразных физических процессах. Примерами такого положения являются следующие физические эффекты: образование гелей в химии коллоидов и сеток полимерных молекул в физике полимеров [28], возникновение прыжковой проводимости в полупроводниковых материалах [29], [30] и ферромагнетизма в так называемых разбавленных магнетиках (магнитные материалы с парамагнитными примесями) (см., например, [31], [32]), электрический пробой диэлектриков [33], старение образцов материалов за счет возникновения и роста сетки микротрещин [34]-[39], прогноз землетрясений [37]-[42] и многое другое. Все они находят свое объяснение в рамках перколяционных представлений.

3. Образование гелей и коллоидов. Гелями называют структуры, обра зуемые коллоидными частицами или молекулами полимеров в форме про странственных сеток, ячейки которых обычно заполнены растворителем. К структурам типа гелей, встречающимся в природе, обычно, относят есте ственные высокомолекулярные биополимеры [28], [43], [44]. В зависимости от природы образующих веществ, различают гели на основе жестких частиц, или хрупкие гели, и гели, образуемые гибкими макромолекулами, или эластичные гели (студни). В любом случае структура геля основана на образовании сетки из связанных другу с другом молекул при наличии больших, по сравнению с поперечными размерами этих молекул, пустотами между ними. Наличие такой геометрической сетки молекул, пронизывающей всю среду создает перколяционную картину. Такая пространственная структура гелей определяет их физические свойства. В частности, они обладают избирательным поглощением жидкостей. Этот эффект связывается с наличием у них перколяционной структуры.

4. Возникновение прыжковой проводимости в полупроводниковых материалах. Прыжковая электропроводность — физическое явление, на блюдаемое в полупроводниках. Оно состоит в том, что, при низких темпе ратурах, характер зависимости электропроводности от температуры суще ственно меняется. Теоретически, это связывают с тем, что при низких тем пературах становится существенным учет переноса заряда посредством т.н. квантовых туннельных переходов («прыжков») носителей заряда между локализованными квантовыми состояниями заряженных частиц. Возможность возникновения прыжков частиц, приводящих к их неограниченной миграции внутри образца среды появляется только в случае, когда атомы среды, которые являются центрами локализации зарядов при учете их связи между собой на основе квантового туннельного перехода, образуют сетку, пронизывающую весь образец [26],[29],[30],[45]. С точки зрения решения задачи о вычислении электропроводности материала в условиях наличия прыжковой проводимости, эта пространственная структура, весьма грубо, может быть представлена моделью в виде некоторой эквивалентной сетки сопротивлений, так называемой сетки Миллера-Абрахамса. Величина электропроводности сетки связана с наличием у ней геометрической пер-коляционной структуры.

5. Примесный магнетизм в разбавленных магнетиках. В конденсированных средах, составленных из атомов (молекул, ионов), которые обладают собственным магнитным моментом, возможно возникновение магнитного упорядочения, в частности, возможно возникновение ферромагнетизма. Переход в такое состояние осуществляется посредством фазового перехода (магнитный фазовый переход). Перколяционная задача возникает в случае т.н. концентрационных магнитных фазовых переходов в аморфных магнитных диэлектриках, магнитных полупроводниках и металлических стеклах. В этом случае обменно-взаимодействующие атомы могут образовать сетку, пронизывающую всю среду, что приводит к образованию магнитного упорядочения [31],[32],[46].

6. Примесные сегнетоэлектрики. Сегнетоэлектрики - это такие вещества, которые обладают, в определённом интервале температур, спонтанно возникающей, в отсутствие внешнего электрического поля, электрической поляризацией. Явление сегнетоэлектричества аналогично явлению ферромагнетизма и в англоязычной литературе носит название ферроэлектри-чества (англ. ferroelectricity). Поэтому то, что было сказано выше относительно связи перколяции с возникновением магнитоупордоченных структур и перколяции, в равной степени относится и к возникновению полярной фазы [47].

7. Электрический пробой диэлектриков. Электрический пробой диэлектриков и полупроводников - явление, заключающееся в резком падении электрического сопротивления массивных образцов такого рода твердотельных сред при достаточно высоком приложенном к ним напряжении.

Верхние оценка числа неспрямляемых траекторий на треугольной решетке

Тогда, на основании этого разложения, имеем q si_+...+sp nl" 1 a/ Е Л; t 0:«+t sp :s"g,0)). = Е Е р=1 /: Sl + ... + Sp_l + l и, следовательно, обозначив посредством г число всех собственных чисел Хр с максимальным модулем, \ХР\ = X и считая, что они являются первыми в списке всех собственных чисел Хр, р = 1 -т- q, получим при п — оо Е exp(i(pp(n))l)h сц I: t 0:j+t sp Sl + ... + Sp-1 + l r Sl + ... + Sp :s"g((,))i = A"E Е =1 (О , +xn -о re где введено обозначение Хр/Х = ехр(г ), р = 1 -i-r, когда имеется, по крайней мере одно значение р: для которого (рр = 0, а также обозначение s = maxjsp — \\р = 1,...,#}, ввиду того, что максимальное значение t в сумме (12) равно (sp — 1) для каждого р = 1 v д, и А = тах{Лр \р = г + 1,..., q] и Л/Л 1. Отсюда следует, что Sfc-m ;g(0),sV0))= E(sng (0)V si Sp Sp S ДПЕ E «iEexpfeH)[j E V -i -mio p=l l: t=0 Sl + ... + Sp_l + l П где мы воспользовались перестановкой сумм Sp Sp J Sp 1 Sp і ЕЕ — ЕЕ- j=l t=o t=o j=l III. Выражение Г Sp — 1 . . Sl + ... + Sp Sp—t Хі еірціп-о)r x; « EC (2-i-i3) Sl + ... + Sp_l + l как функция n Є N, не равно тождественно нулю. Это связано, например, с тем, что не равен тождественно нулю главный член его асимптотики при п — оо. Это очевидно в том случае, когда имеются (рр j 0 при некоторых значениях, так как, кроме таких значений, обязательно имеются также, в силу теоремы Фробениуса, номера р, для которых (рр = 0. Если же при всех р = 1 -Ь г выполняется (рр = 0, то этот главный член асимптотики не может обращаться в нуль, так как, в этом случае, он равен «і s ж п Р_1Е Е alh =n -1(h,g ) р=1 I: Sl + ... + Sp-1 + l I к—т где учтено, что t = sp — 1 и j = 1, а также введен вектор h Є который имеет ненулевые компоненты, только при I = sp, р = 1, ...,г.

Функция Of [А/Л] ns 1 при достаточно больших п может стать по модулю меньше любого наперед заданного числа є 0. Тогда выражение (13) не может обратиться в нуль ни при каком значении п. В противном случае, при таком его значении, произошло бы нарушение монотонности возрастания по п функции (g \ Sng ). Это означает, что для вычисления предела (2) можно воспользоваться не равным нулю главным членом асимптотики при п — оо выражения (13) г sx+...+sp г- -і \_ і ТІ lim (go, Sng0)1/n = Л lim nSp l Y exp (iipJn—sp+l)) У щіі П—? oo П—? 00 p=l I: Sl + ... + Sp_l + l Таким образом, формула (11) нами доказана. И Следствие. Пусть S - оператор с матричными элементами Siy, равными числам неспрямляемых путей Є (6 k таких, что для каждого из них путь р_ (7) имеет номер V, а путь р (j) имеет номер I В 6k-m, тп к, к Є N. Если соответствующая матрица оператора S с неотрицательными элементами имеет такое наибольшее по модулю собственное число \+(к,т), которое превосходит 1, не имеет ни одного нулевого столбца, то для этой пары чисел (k,m) последовательность (g \ Sng )1 n, п Є N, g = (1,...,1) имеет предел при n — оо и имеет место равенство \+{k,m) = lim 0Й1/п- (2.1.14) п— оо На основе рассуждений, использованных при доказательстве формулы (9), можно доказать неравенство, которое показывает убывание собственных чисел X+(k,m) с ростом к. Теорема 2.2. Для любого однородного периодического графа при любых значениях к\ и к к\, 2к\ к , имеет место неравенство \+(h2,m) \+(hi,m), (2.1.15) где т = 2к\ — hi П Определим два оператора Si и S2, соответственно для пар к\,т и &2,ш, которые действуют в пространстве С fc_m . Тогда, очевидно, что S2 = Sf. Откуда, применяя рассуждения, аналогичные тем, которые были использованы при доказательстве предыдущей теоремы, получаем (13). И

В этом и следующих разделах мы вычислим конкретные значения верхних оценок А+ т (к,т) для показателя роста числа Nn неспрямляемых траекторий на плоских однородных решетках. Здесь мы представим решение этой задачи для плоского однородного периодического графа размерности 2 типа квадратной решетки. Ввиду того, что аналитические трудности быстро нарастают при вычислении этих оценок при возрастании чисел к и ш, а в настоящее время не имеется никаких априорных оценок близости чисел [A+(A:,m)]1/ _m) к А , в частности, Теорема 2 предыдущего раздела не отвечает полностью на вопрос о том, какова в общем случае, при различных значениях кит, тенденция изменения чисел [Х+(к, т)]1 к т , то в этом и следующих разделах мы представим только наилучшую оценку среди всех выполненных диссертантом. В этом разделе мы представим і /з вычисление оценки А;/0(6,3).Все даваемые нами приближенные значения верхних оценок приводятся с избытком. Множеством V в паре, определяющей граф квадратной решетки, является Z . Отношение связности для нее задается всеми такими парами вершин (х,у), у которых у = х ± Є{, і = 1, 2, где векторы Єї, Є2 являются базисными ортами Єї = (1,0), Є2 = (0,1) в пространстве погружения М2 квадратной решетки. Очевидно, что для квадратной решетки элементарную ячейку можно выбрать простой, например, состоящей из вершины (0, 0) и при этом L\ = L2 = 1. Граф в виде квадратной решетки изображен на рис. 1.

Квадратная решетка является однородным периодическим графом, каждая вершина которого имеет степень, равную 4. Поэтому можно считать, при подсчете числа неспрямляемых путей длины п, что все они начинаются в вершине 0 = (0, 0) Є Z2 и использовать для этого числа обозначение Nn. Для конструирования и пересчета возможных путей класса (5k-rm тп Є N введем обозначение для базисных сдвигов квадратной решетки Zj = Є{, і = 1,2 и Zj = —е _2, j = 3,4. Будем считать, что в каждом классе 6/г-то, т Є N пути (ZJ15 ..., Zjm) упорядочены лексикографически, согласно принятой нумерации (т.е. упорядочению) базисных сдвигов.

Случай m = 3, к = 6. Как уже было сказано, имеется тенденция: верхние оценки [\+(к,т)]1 (к т убывают с ростом к при каждом фиксированном значении тис ростом т при каждом фиксированном значений к. Проведение конкретных вычислений с различными значениями к показало, что уже при к = 4 уточнение верхней оценки незначительное. Поэтому оценка, получаемая в этом пункте, лишь незначительно (в третьем знаке после запятой) уточняет оценку, полученную при к = 4.

Свойство монотонности вероятности перколяции бернуллиевских случайных полей на бесконечных графах

Ввиду того, что элементарная ячейка содержит две вершины с различным образом ориентированными векторами сдвига, для перечисления путей 7 Є 65k приходится использовать два набора векторов, относящихся к вершинам из разных подрешеток. Это усложняет описание путей. Однако, как видно из рисунка, наборы векторов сдвига для вершин из разных подрешеток отличаются только знаком. Тогда описание путей упрощается, если заметить, что в каждом пути вершины (и, соответственно, сдвиги), принадлежащие к разным подрешеткам, при построении любого неспрям-ляемого пути, чередуются. Следовательно, отождествив сдвиги, направленные в противоположные стороны, можно описывать пути на основе только трех векторов Zj, j = 1, 2, 3, относящихся к одной подрешетке. Эти сдвиги вместе с их нумерацией против часовой стрелки изображены на рис. 4. При этом указанные сдвиги составляют класс (б\.

Как и в предыдущих разделах, мы считаем, что пути в каждом классе /г, к Є N упорядочены в лексикографическом порядке, на основе нумерации сдвигов против часовой стрелки, начиная отсчет в каждой позиции от направления последнего предшествующего сдвига. Гексагональная решетка инвариантна относительно поворота на угол 27г/3 (рис. 4). При этом нумерация сдвигов Zj преобразуется в Zj+3, где сложение в индексах понимается по mod3. Тогда при перечислении всех классов (S &, к 2, достаточно указать один класс бь(1).

При всех значениях к = 2, 3, 4 в списках последовательностей (zi,..., z&) со сдвигами Zj, j = 1, 2, 3, не появляется путей, которые не удовлетворяют условию их неспрямляемости. Следовательно, для всех указанных значений к, число сдвигов в классах 0 описывается формулой (S &(1) = 2 , к = 2,3,4 и при этом р = 2. Тогда \&k,n\ = 3 2кп 1 и поэтому следует ожидать, что верхняя оценка во всех случаях равна Л+ (к, 0) = 2. Она будет отличаться от 2 только при к = 5. При этом для ее вычисления необходимо перечисление всех неспрямляемых путей длины 8. Однако, следует ожидать, что такая оценка приведет к лишь незначительному уточнению оценки, получаемой для указанных значениях к. Последнее следует из того, что минимальный цикл, посредством которого возможно спрямление пути, имеет длину 6.

Равенство А+ (&,0) = 2, к = 2,3,4 мы продемонстрируем на примере вычисления оценки [А+(4, 0)] / . В классе $4(1) имеется 8 путей. Следовательно, всего имеется 24 пути длины 4 и порядок матрицы оператора S равен 24. Для составления этой матрицы необходим список путей длины 4. Заметим, что в классе $4(1) имеется 8 путей. Они получаются добавлением в последовательность каждого из путей длины 3 сдвига Zj с каким-либо из номеров j Є {1, 2, 3, } так, чтобы он был не равен индексу предыдущего сдвига в рассматриваемой последовательности. Получаемые таким образом пути с первым сдвигом zi перечислены ниже: (zi,z2,zi,z2), (zi,z2,zi,z3), (zi,z2,z3,zi), (zbz2,z3,z2), (zi,z3,zbz2), (zbz3,zbz3), (zbz3,z2,zi), (zbz3,z2,z3) (2.4.1) Остальные пути составляют два списка, который получаются, соответственно, добавлением 1 и 2 по mod 3 в индексы сдвигов.

Сконструируем матрицу оператора S, занумеровав ее строки и столбцы в согласии с нумерацией всех входящих путей в лексикографическом порядке. Ввиду указанного разбиения списка путей на три класса, матрица оператора перехода S, естественным образом, разбивается на 9 блоков 8 х 8-матриц. По этой же причине, для описания этой матрицы, достаточно определить только первый блочный столбец из 8 х 8-матриц. Этот столбец полностью определяется тремя наборами по восемь путей длины 4 в каждом, которые нумеруют строки трех 8 х 8-матриц этого столбца, а их столбцы определяются выходящими списком (4.1) путей длины 4. Все остальные матричные элементы Sij получаются из них по правилу S + / +j = Sij : где сложение в индексах понимается по mod 8.

В результате, получаем матрицу Sij следующего вида: где ее 8 х 8 блоки составлены из блоков 4 х 4-матриц 0 и 1, соответственно, нулевой и единичной. Так как в каждом столбце этой матрицы имеется 4 единицы, то А+(4, 2) = 4, учитывая основное свойство стохастических мат 1 /2 что подтверждает гипотезу относи риц, и, следовательно, А+ (4, 2) = тельно верхних оценок для гексагональной модели, высказанную в начале раздела.

Для установления точности полученных в предыдущих разделах и Приложении 2 верхних оценок необходимо получить нижние оценки показателя роста числа А неспрямляемых путей для различных решеток. Получение такого рода оценок в настоящей работе также основано на марковских аппроксимациях неспрямляемых путей, однако оно требует гораздо более громоздких вычислений, так как, при построении матрицы оператора S, для вычисления оценки определенного порядка к: необходимо будет выбирать для каждого к Є N такой класс путей конечной длины к, который обеспечил бы, на его основе, подходящую марковскую аппроксимацию функции Nn п Є N. Такой выбор предполагает доказательство того, что, для выбранного класса путей, имеется число т к, когда последовательные склейки по т совпадающим сдвигам путей из выбранного класса обеспечивают неспрямляемость результирующих путей. При этом собственное число \+(к,т) оператора перехода S, которое в течение этого раздела мы будем обозначать посредством А_(&, т), обеспечивает нижнюю оценку функции In Nn/n. Оказывается, что наиболее лучший вариант выбора т = к — 1, чтобы учитывать «корреляции» в неспрямляемых путях. Это приводит уже при к = 4 к анализу матриц большой размерности. Ниже мы вычислим, таким образом, только нижние оценки «первого порядка», когда еще можно избежать указанных аналитических сложностей.

Квадратная решетка Z2. Рассмотрим случай к = 2, т = 1. Выбираются такие пути из 02, последовательное склеивание которых не приводит к неспрямляемости путей при любом числе склеек. Для этого выберем классы путей 2 \ а,(3 = { + ,—}, (5 2 (1) с 2, которые, по построению, эквивалентны друг другу. Каждый из них получается поворотом на угол, кратный 7г/2 всех путей из класса 02 Для примера, определим пути класса 02 так чт0 он состоит из путей (z ,Zj); i,j = 1,2. Тогда последовательные склейки с т = 1 путей из этого класса всегда приводят к неспрямляемым путям при любом числе склеек. Матрица оператора S в этом случае имеет вид

Собственное число А__(2,1) этой матрицы равно 2. Тогда, так как имеется четыре класса I I 02 С 02, то выполняется неравенство Nn 4 2n_1. а,/З Отсюда следует А_(2,1) = 2. Найдем теперь более точную нижнюю оценку при к = 3, т = 2. Построим четыре класса базисных путей 0 з , а, Р { + , } длины 3 таких, что последовательная склейка произвольного числа путей из какого-либо фиксированного класса с т = 2 приводит к неспрямляемым путям. Каждый класс составим из 15 путей, которые приведены в следующем списке:

Дискретный аналог теоремы Жордана

Этот и все последующие разделы настоящей главы посвящены решению задачи о вычислении вероятности перколяции Q(c) из фиксированной вершины на бесконечность для плоских однородных периодических графов 9 = (У-, Ф), которые называют также однородными мозаиками. Эти вычисления основаны на так называемых контурных оценках, которые тесно связаны с техникой получения верхних оценок числа Nn неспрямляемых путей длины п, развитой в Главе 2. На основе этой техники удается построить ряды, аппроксимирующие вероятность перколяции Q(c) и доказать, что эти ряды сходятся в некоторой области (с-_, 1] изменения параметра с, где число с+ зависит от типа мозаики. Впервые идея построения техники последовательных аппроксимаций вероятности перколяции и последовательно уточняющихся оценок сверху порога перколяции была изложена в [62],[63].

Прежде всего, мы дадим еще одно определение перколяции на случайной реализации из фиксированной вершины на бесконечность. Напомним, что для вершин каждой случайной реализации С С V7 порождаемой бер-нуллиевским случайным полем на бесконечном графе 9 = ( Ф)? имеется отношение связности (fig (см. Главу 1), которое индуцировано заданным на V отношением смежности Ф. Иными словами, каждая случайная реализация представляет собой случайный, вообще говоря, бесконечный граф (С, Ф ), где Ф = {{х,у} Є Ф : {х,у} С С}. Этот случайный граф распадается, согласно отношению смежности Ф , на класс связных подграфов 2П[С] = {W} - связных компонент, вершины которых составляют классы эквивалентности, порождаемые отношением связности на основе смежности Ф . Это означает, что две вершины принадлежат одной и той же связной компоненте W: если существует неспрямляемый путь 7(ж, у) относительно отношения смежности Ф, полностью расположенный в множестве вершин W. Связные компоненты конфигурации С, согласно традиции теории перколяции, будем называть кластерами. Обозначим посредством VK(x, С) случайный кластер, содержащий вершину х. Введем вероятность Qw[xc] = Рг{И (х,(7) = оо}. Справедливо следующее утверждение. Теорема 3.9. Если все степени вершин бесконечного графа 9 = {V-, Ф) конечны, то имеют место равенства Яоо(х) = {Ж(х, С)\ = ос} , Q[xc] = Qw[xc] . (3.5.1) Пусть С Є 21оо(х), то есть существует такой неспрямляемый путь 7(х), что {7(х)} С С. Так как множество {7(х)} связно на графе 9 = (V, Ф), то оно содержится полностью в одной связной компоненте W реа лизации С, а так как х Є J7(x)}, то W = W(x,C). Путь 7(х) бесконечный и неспрямляемый, {7(х)} = оо. Тогда VK(x,C) = оо и, следовательно, С Є {VK(x,C) = оо}. Ввиду произвольности реализации С, получаем включение 21оо(х) С {VK(x, (7)1 = оо}.

Пусть, наоборот, С Є {VK(x,C) = оо}. Для каждой вершины у Є VK(x, С) существует неспрямляемый путь 7(х,у) такой, что J7(x,y)} С VK(x, С). Ввиду бесконечности множества вершин VK(x, С), имеется бесконечный класс таких путей. Так как степени всех вершин графа 9 = {V, Ф) конечны, то, применяя процедуру выбора к этому бесконечному классу путей, которая была использована при доказательстве Теорем 1 и 2, выделим бесконечный неспрямляемый путь 7(х) полностью содержащийся в VK(x,C). Ввиду произвольности реализации С убеждаемся в справедливости обратного включения 2loo(x) D {VK(x,C) = оо}. Таким образом, имеет место совпадение случайных событий Sl x) = {VK(x, С)\ = оо} и, следовательно, совпадение их вероятностей. В

Введем в рассмотрение класс 2П(х) всех конечных кластеров W - связных относительно смежности Ф подмножеств из V, которые содержат вершину х. Вершина z из V7 не принадлежащая кластеру W Є 2П(х) и такая, что любой неспрямляемый бесконечный путь 7(z) имеет непустое пересечение с И7, {7(z)} П W = 0, назовем внутренней вершиной кластера W (вообще, любого конечного множества вершин). Для каждого кластера W множество его внутренних вершин обозначим посредством Int[W].

Лемма 3.1. Для любого конечного кластера в любом бесконечном графе (V, Ф), у которого степени всех вершин конечны, множество внутренних вершин конечно. Распределим множество всех внутренних вершин на связные компо ненты, согласно отношению смежности ф. Каждое множество эквивалент ности конечно, так как, в противном случае, в нем можно было разме стить бесконечный неспрямляемый путь, что противоречило бы определе нию внутренней вершины.

Класс множеств эквивалентности конечен, так как каждая из вершин любого множества эквивалентности должна быть связана с какой-либо из вершин кластера и так как множество вершин кластера конечно. Это сле дует из того, что каждая вершина кластера, в силу конечности ее степени, может быть связана с не более чем конечным набором множеств эквивалентности. В

Лемма 3.2. Для любого конечного множества W, внутренняя часть WUlnt[W] пуста. Допустим противное. Тогда имеется вершина z W U Int[W], для которой любой бесконечный путь 7(z) имеет непустое пересечение с W U Int[W]. Так как z W, то {7(z)} не может пересекаться с IntfVK]. Тогда J7(z)} имеет непустое пересечение с W. Но тогда, согласно определению, zelnt[W]. Ш Определим для каждого кластера W множество граничных с ним вершин, которое мы будем обозначать посредством dW. По определению, 8W={zeV : z WU lnt[W], 3(у Є W : zifjy)} . Лемма 3.3. Для любого конечного кластера в любом бесконечном графе (У,Ф), у которого степени всех вершин конечны, множество dW не пусто и конечно. Непустота dW следует из того, что в бесконечном графе конечное множество W U IntfVK] должно быть связано с какими-либо вершинами из множества V \ (W U Int[W]), ввиду связности графа (V, Ф). Конечность множества dW следует из конечности W и конечности степеней вершин графа. И Введем теперь фундаментальное для наших построений понятие о внешней границе dW кластера W (см. [16]). Для каждого кластера W это множество определяется формулой dW = {z Є dW : 3(7(z) : {7(z)} n(fU lnt[W] U dW)) = {z}} . Тогда справедлива Теорема 3.10 (см. [16]). Для любого кластера в любом бесконечном графе (V, Ф), у которого степени всех вершин конечны, внешняя граница dW не пуста и конечна. Конечность dW следует из конечности dW и включения dW С dW. Непустота множества dW устанавливается следующим рассуждением. Пусть z Є dW ф 0. Положим, что z dW. Ввиду Int[W] П dW = 0. Для этой вершины найдется бесконечный путь j(z): J7(z)} П W = 0. Так как множество dW конечно, то в этом пути, найдется последняя вершина и из числа тех, которые принадлежат dW. Тогда бесконечный путь 7(и)? который начинается в этой вершине и является частью бесконечного пути 7(z) показывает, что вершина и Є dW. И Внешняя граница обладает следующим важным свойством. Лемма 3.4. Для любой вершины у конечного кластера, W, любой бесконечный начинающийся в ней путь 7(у) имеет непустое пересечение с dW. Так как W - конечный кластер, то в бесконечном пути 7(у) найдется первая вершина и, которая ему не принадлежит. Тогда, согласно опреде лению множества граничных вершин, и Є dW, то есть {7(у)} П dW ф 0. Ввиду непустоты множества І7(у)} l l dW н конечности множества dW7 в І7(у)} найдется последняя вершина v, принадлежащая dW. Эта вершина, согласно определению, принадлежит множеству dW. И