Введение к работе
Актуальность темы. Адиабатические системы, описываемые дифференц альными уравнениями первого порядка в банаховом пространстве іє^~ A(t)y, є -> 0, давно стали объектом интереса специалистов в области м тематической физики. Построения, примыкающие к квантовой адиабат ческой теореме, нацелены на расщепление динамики в соответствии с ра щеплением спектра A(t) на изолированные компоненты [DK]. В асимптот ческой теории дифференциальных уравнений предполагают, что операто A(t) обладает изолированными собственными значениями и анализирую асимптотическое поведение решений, отвечающих этим собственным зн чениям и их попарным пересечениям (точки поворота) [F], [W]. В после нем случае обычно имеют дело с конечномерными системами, как правил - второго порядка, и исходят из явных предположений о поведении А окрестности точки совпадения собственных значений.
Однако, в ряде прикладных задач приходится иметь дело с оператор ми в бесконечномерных пространствах, когда описание модели оператор ответственной за асимптотические параметры, возникающие при пересеч нии пары собственных значений, становится отдельным и содержательны вопросом. С этим приходится сталкиваться, например, в задачах, связа пых с теорией молекул, в задачах теории распостранения воли в волнов дах, в задачах, возникающих при адиабатическом возмущении период ческих операторов.
Поэтому представляется целесообразной разработка схемы, в котору
можно было бы погрузить задачи подобного типа. Элементы такой общ
схемы и ее применение к задаче об адиабатическом возмущении период
ческих операторов были предложены в работе [BG]. Эта схема основана н
использовании подходящего сочетания классических идей и ее централ
ным элементом является обобщение на более широкий класс задач метод
эталонных уравнений [Olv], [BS].
В диссертации такая схема применена к исследованию адиабатически систем общего вида. Сочетание классических идей с понятием спектраль ной модели, введенном в работе [BG], оказывается эффективным и не толь ко позволяет выписать компактные формулы для асимптотических раз ложений в виде формальных рядов по степеням малого пераметра, но і детально иследовать высшие приближения.
Процедура построения асимптотических разложений для решений ис ходного уравнения реализована в двух вариантах - аддитивном, традиционном для задач такого типа, и мультипликативном, к решению такш задач ранее не применявшимся. Преимуществом мультипликативного варианта является ясная геометрическая интерпретация рекуррентной процедуры для построения высших приближений по степеням . Кроме того, при реализации рекуррентной процедуры в мультипликативном варианте удается экономно решить существенный вопрос об условиях квантования. При этом удаегся избежать обычных при решении этого вопроса сложностей, связанных с необходимостью регуляризации возникающих фазовых интегралов. Цель работы. Целью диссертации является:
-
принципиальное решение вопросов, связанных с построением равномерных асимптотических разложений для решений уравнения, описывающего общую адиабатическую систему, на интервалах, содержащих точки поворота;
-
предложение новой, мультипликативной процедуры, для построения указанных асимптотических разложений и вывода условий квантования. Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:
1) построены и детально изучены высшие приближения асимптотических формальных разложений для решений уравнения, описывающего общую адиабатическую систему, для случая параболической точки поворота, а также гиперболической и эллиптической пар точек поворота;
-
предложена нопая мультипликативная процедура построения асимпт тических формальных разложений решений этого уравнения;
-
построены и детально изучены формальные разложения для указанны решений в случае эллиптической пары с применением мультипликативно процедуры;
-
построены условия квантования для указаного уравнения во всех поря ках.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический х рактер. Ее результаты приложимы к широкому классу задач, возникающи как в математической, так и теоретической физике. Например, к задача возникающим в квантовой механике при изучении кристаллов, помеще ньгх во внешнее поле.
Апробация работы. Результаты диссертации многократно докладывали на научных семинарах кафедры вьісшеії математики и математическо физики СП6ГУ, а также на семинаре университета Париж-Норд (Фра ция,2000).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статья автора [G1.G2]
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из 4 глав (вклгоча введение), разбитых на параграфы и списка литературы. Общий объе диссертации 91 страниц. Список литературы содержит 31 наименование Автор благодарен своему научному руководителю профессору B.C. By слаеву за постановку задачи, внимание к работе и полезные обсуждения