Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЗ.Щ. Теоретическое и знспериментольное исследова-[Цб эволюции во Бремени нестационарных, неравновесных процессов и 'становление теплового равновесия представляет большой интерес в фундаментальных и прикладных исследованиях. Такие процессы встречаются і ядерной физике, физике элементарных частиц, астрофизике, биофизи-:е, физической химии и т.д. и относятся к нелинейной теории физически кинетики, т.е. говоря на языке математики, эти процессы описывайся нестационарными, в общем случае, нелинейными уравнениями с неог-аниченными, несалосопряженньми операторами типа кинетического урав-ения Больо.гана для функции распределения неравновесных процессов.
Известно, что замкнутые системы в результате нестационарных во ;ремени неравновесных процессов приходят в тепловое равновесие. Нао-орот, в открытых неравновесных системах, где происходит обмен веще-твом и энергией с окружающей средой, вопрос установления терыодина-ического равновесия является открыт»
В ядерной физике встречаются системы, где обмен энергией между астицаг.ш при столкновении не приводит к установлению теплового рав-овесия. Существенной особенностью нестационарных, неравновесных отрытых систем является то, что в процессе развития, хотя отсутствует кспоненпиальное приближение к равновесию, возникают качественно но-ые структуры при превышении предельного значения параметра, характе-изующего системы (вдали от равновесия, где система находится в силь-о неравновесном состоянии при наличии нелинейности и связанных с ей бифуркации решений, наличия обратных связей и т.д.).
Таковыми являются!
-
Нейтронный газ в малом обьеме кристаллического вещества при ол'ьших Временах от импульсного источника.
-
Нуклонный газ в возбужденном ядре поели завершения каскада, киииированного адронами промежуточной энергии.
Такое своеобразное поведение выделяет эти системы, и исследова-ие их с общих позиций, описание единой методикой^ выявление общих аконоыерностей эволюции во времени нестационарных, неравновесных роцессов к равновесию, и разработка методов их расчета является важ-эй и актуальной задачей.
ЦЛЬ РАБОТЫ. Работа посвящена развитию теории эволюции во вре-эни открытых неравновесных систем в приложении к термалиэации нейт-энного газа от импульсного источника в ограниченных объемах в коге-знтно рассеивающей кристаллическом замедлителе и снятию возбуждения зтаточного сильно ьоэбужденного ядра, образующегося после заверше- 1я внутриядерного каскадного процесса, инициированного нуклонами
- 4 -промежуточной анергии, и разработке методов их расчета.
МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ, Кинетическое уравнение Больцмана, опис вающее эволюцию во времени спектра нуклонов к равновесию в конечны открытых неравновесных ядерных системах, изучено с общих позиций н основе единого подхода:
1, Разложением решения уравнения (функции распределения нукло
нов) по полной системе ортонормированных функций с весом, равным
равновесному распределению (в случае нейтронного газа в заыедлител
этим распределением является максвелловское, а в случае возбужденн
го ядра - ферыиевское),
2. Непосредственно численным интегрированием (переменные не'
разделяются).
Эволюция во времени спектров нейтронов и их спектральных инде сов рассчитана для свинца ( РЬ ) и бериллия С 8В ) в диффузион ном приближении методом временных шагов. Для исследования влияния закона рассеяния на термалиэаиии использованы первый член разложения Плачена ядра рассеяния и модель Корнгольда-Даргана.
Некорректность кинетического уравнения в диффузионном приблнж нии ниже границы Брегга для кристаллических замедлителей (недиффуз: онные эффекты) учтена групповым методом: ниже границы Брегга - точ ное кинетическое уравнение, а выше границы Брегга - в диффузионном приближении, и системы интегро-дифференциальных уравнений с вырожденными (сепарабельными) ядрами в случае плоской геометрии решены аналитически методом функции Грина и интегральным преобразованием Лапласа.
Аналитическими методами изучена асимптотика по времени получе; ного решения и плотностей нейтронов.
Численными методами изучены вклады эффекта континуум-амплитуд для собственного значения, лежащего в непрерывной части спектра / А >А ) В1 > В )) в континуум-интеграл для плотности нейтронов, аппроксимирующих его одной экспонентой ( fle).
Нелинейное кинетическое уравнение, учитывающее принцип Паули описывающее ядерную реакцию в атомных ядрах, эволюцию во времени спектра ферми-газа нуклонов к равновесию в остаточном возбужденном ядре, образующегося после завершения внутриядерного каскадного про цеоса, инициированного нуклонами средних енергйй, с пренебрежением взаимодействиями квазичастиц между собой, в результате линеаризаци: получает форму "обычного" уравнения переноса част"ц, и к нему могу быть применены известные методы - в нейтронной физике.
Нелинейные эффекты в возбужденном ядре учитываются двумя методами:
І. ііетодом вторичной линеаризации. Он основан на представленні
зкомого решения нелинейного уравнения ядерной реакции быстро сходя-зйся линейной пропедурой, т.е. через известное решение линеаризован-зго уравнения и новую неизвестную функцию,
2. Сохранением членов первого и второго порядка малости относи-эльно неизвестной функиии при линеаризации исходного нелинейного ки-зтического уравнения ядерной реакции,.
НАУЧНАЯ НОВІША. И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Впервые разработана циная теория неравновесных процессов, протекающих в различных конеч-ых открытых ядерных системах, и предложеньт методы расчета на основе чийого подхода в приложении к терыализаиии нейтронного газа в огра-лченных объемах замедлителя и снятию возбуждения ядра, обраэующего-я после завершения внутриядерного каскадного процесса.
Показано, что эволюцию во времени спектра нуклонов к равновесию кристаллических и ядерных средах можно рассчитывать по единой мето-:іке: разложением решения соответствующего кинетического уравнения э полной системе полиномов от скоростей, ортонормированных с весом, чвным равновесному распределению (в случае нейтронного газа в эамед-нтеле этим распределением является максвелловское, а в случае возведенного ядра - феркиевское).
Найдены аналитическими методами решения в замкнутом вице урайне-,ія переноса нейтронов с вырожденными ядрами в случае плоской геометри, учитывающие недиффузионные эффекты. Эти решения описывают эволюта во времени спектра нейтронов и его интегральные характеристики те и выше границы Брегга. Эти результаты являются уточнениями ре-ультатов работ других авторов, выполненных в диффузионном приближе-ни.
Показано аналитически (с учетом недиффузионных эффектов), что волюыия во времени спектра нейтронов от импульсного источника в ко-эрентно рассеивающем кристаллическом замедлителе малого размера меньше предельного) при больлих временах приводит к качественно но-эЛ структуре - сингулярности типа дельта-функции вблизи кулевой ско-ости, показывая отсутствие экспоненциального приближения к равнове-ию, что уточняет результаты работ других авторов, выполненных в диф-узионном приближении.
Численно изучены вклады континуум-амплитуда (с учетом нздиффузи-гінь'х эффектов) для собственного значения, лежащего в непрерывной асти спектра ( Л > Л* , &z > В*1), в континуум-интеграл для їотности нейтронов,чтобы интерпретировать результаты эксперимента тя бериллия (Be ):
Ntt), I CdA^tKLX) , Кщг бС-Л)сісЛ)А(Л) >
- б -
Показано, что при не очень больших временах после импульса ш ронов можно аппроксимировать континуум-пітеграл с хорошей точності одной экспонентой Л/а)~е~*Р* , н А/(Р^)^%(Р)Є'ЛР^ где при /\ г Лр континуум-амплитуда имеет резкий максимум.
Аналогично теории резонансных ядерных реакций обратная величі (знаменатель континуум-амплитуды)
/
характеризует возникновение кваэиасимптотического состояния и обус ловлена рассеивающими свойствами замедлителя. Б связи с присутств^ интерференционного члена наблюдаются резкие максимумы и минимумы:
рій іа-^ЇКгйЩІ /,мґ гш J
Нелинейное кинетическое уравнение Больцмана, учитывающее г^ин цип Паули и описывающее эволюции,по времени ядерной реакции в атом ных ядрах, путем линеаризации сведено к типу "обычного" уравнения переноса частиц, и к нему могут быть применены известные методы -нейтронной физике:
""~ ,~ - и Уо і и - линейный оператор.
С использованием сепарабельных моделей для Л/N - взаимод ствий получены уравнения для определения собственных функций и соб венных значений для неограниченной ядерной среды.
Разлагал функцию распределения нуклонов по полной системе фун
ций, ортонормированных с весом, равным распределению йерми F(P)
интервале 0< Р<со ^
4>toc,P) = fCp)T liWPitoc), fecP)6i(P)tj(PJ
0 ho о
в гы - приближении и диффузионном приближении получены уравнен
для собственных значений в зависимости от геометрического параметр ядерной системы А = А С 8 я" ) для плоской геометрии и иэотроп ной среды.
Получены в замкнутом виде формулы для параметров, характеризуі щих термализеционные ( Хц г- СОУ1ІІ J и диффузионные (&и*Сот свойства ядерной среды, оналогичные в случае термализации нейтроно: в веществе:
2 о» ~ <3
(ц =)dpLj CP^olp'FlP')^ (р>) VCP,-*P)-)HP)^(P)/li(P)lj(P)dp)
і ; з МСР)
Разработаны аналитические методи учета нелинейных эффектов:
1. Метод вторичной линеаризации.'
Di *
2. Сохранение членов первого и второг.о порядка малости относи
тельно новой неизвестной функции при линеаризации исходного нелиней
ного кинетического уравнения ядерной реакции.
4(z>Plt) = e(PF'P)[hycf,?/t)]+9(P-PF)
Получены с учетом нелинейных эффектов в замкнутом виде формулы цля параметров, характеризующих термализационные и диффузионные свойства ядерной среди и в отличие от линеаризованного о^чая являющихся функциями от времени:
аь а)=Уа + Xu<*h%hli)s К)1 и) > *>и(* > = э<''+*и и)-
<Ууу - параметр, характеризующий обмен энергиями между нуклона
ми в линеаризованном, случае;
йЦ - поправка за счет Нелинейных аффектов с обратной свя-
1ью, зависящая от времени функционально через решение &0(*>г)*) іинеаризованного уравнения. Аналогично можно сказать относительно юмпонент параметра Qtjt-t) характеризующих диффузионные свой-:тва ядерной среды»
Тем самім объяснено, что нуклоны большую часть времени пребыва-т в области предравновесного распада (переходного процесса), приходу к равновесию при температуре ядерной среды Т* О К вследст-ие вылета из ядра энергичных нуклонов. Спектр нуклонов, оставшихся ядре, будет ступенчатой функцией &(Pf~P) , что является собенностью релаксации ферми-газа нуклонов в конечных открытых не-инейных ядерных системах.
Эволюция во времени спектров нейтронов и их спектральних ИНДЄК сов:
Рассчитана для свинца ( РЬ ) и бериллия ( Bfi ) в диффузионном приближении методом временных шагов.
Для свинца ( РЬ ): спектр нейтронов A/(V,t) (рис.1; 4), средняя скорость V~(i) » средняя энергия ECi) (рис.2) время термализации Cj.*.'^ К выраженные через параметры Нелкина Ма (і) (рис.3) для различных размеров свинцового блока. Из рис I видно установление асимптотического во времени спектра нейтронов при временах, больших 4000 мкс ( BzsOyWa.' О). На рис.2 показано экспоненциальное приближение средней скорости (средней энергии) к асимптотическому (равновесному) при промежуточных временах, а при больших - отклонение их от этой экспоненты, связанное с отсутствие* дискретного собственного значения А і после Л о Для уравнение переноса кристаллических-замедлителей. Рассчитано численно полное сечение свинца G~Ct ) для тепловых нейтронов, которые имеют я\ ко выраженную интерференционную структуру в отличие от ранних экспб риыентальных данных ( В /V Ь - 326), но согласны с новыми измерені' ми.
Рассчитаны нейтронные спектры в зависимости от времени и их спектральные индексы в бериллии ( в Є ) для различных размеров бло» ( В1 < В*х, В2 > В *2 ; В2 > 2 -б* * ) . Численные расчеты в блоке бериллия малого объёма fl* гО,ОібсМ-лС fla > В* * ) показывают, что при промежуточных временах устанавливается устойчивое квазиасиь птотическое распределение. Рассчитанная эффективная постоянная зат^ хания Л 9Ф' (t) находится в хорошем согласии с экспериментальны* измерениями. При больших временах кваэиасимптотическое состояние распадается, переходя в чисто асимптотическое ~ i~*/3 е~ ^SfVJj /\*Ф-It) - Л*- Показано, что в блоке бериллия с геометрическим! параметрами 8г = О, 101 схі~г I Д * > 2- В*11 J вообще не устанавливается устойчивое кваэиасимптотическое распределение. При больших временах преобладает накопление нейтронов в области малых энергий (ловушка Корнгольда), функция распределения нейтронов имеет очень своеобразное поведение со временем, переходя в качественно новую структуру - сингулярность, типа (Г -функции вблиаи нулевой знерп Полученные результаты согласуются с выведший других теоретических работ.
АПРОБАЦИЯ РШ)ТЫ. Результаты работы докладывались на междунар< ных конференциях (г.Карлсруэ, 1965 - МАГАТЭ; г.Киев, 1993; г.Мехикі 1994 \ на семинарах сектора теории переноса излучек.ія и физики защі ты (Институт ядерных исследований РАН, Москва), на семинарах ядерні спектроскопии (Институт ядерной физики АН РУз., Ташкент), на семин;
- 9 ->ах Института математики HAH КР, В совместных работах с М.В.Казарнов-:ким (Институт ядерных исследований РАН, Москва) (гл.2, 2.4 (2.34)) і Е.И.Исматовнм,ив.Чесноковой (Институт ядерной физики АН РУз., Тага-<ент; Институт ядерных исследований АН Украины) (гл.5,6) им принад-іежит постановка задачи, а автору - ее решение.
ПУБЛІКАЦІЙ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах /1-9/.
СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, шести лтав и заключения. Объем работы - І96 страниц, 24 рисунка, 8 таблиц. Список литературы содержит 164.
ВВЕДШИЕ. Во введении дано обоснование работы, ее актуальности. "Іолно изложено современное состояние переноса нуклонов в кристаллическом веществе и ядерной материи.
ПЕРВАЯ ГЛАВА. Формулируется постановка задачи и анализируется /равнение переноса нуклонов (нейтронов) в случае импульсного эксперимента. Рассматривается линейное кинетическое уравнение Больцмана с начальными и граничными условиями для описания эволюции функции пространственно-энергетического распределения нуклонов (нейтронов) во времени от импульсного источника в нераэмножающей среде, а также процесса термализации - приближения функции нейтронных распределений и их интегральных характеристик к своим асимптотам.
Определяются, анализируются и обсуждаются различны* выпажения, . характеризующие термалиэационные и диффузионные свойства исследуемой среды, предлагаются методы их расчета в зависимости от приближен--ной формы уравнения и модели рассеивающих свойств среды.
Рассчитаны численно сечения свинца (. Ph ) : упругое, неупругое, транспортное. Результаты противоречат измерениям в атласе сечений В N Ь - 325 и согласуются с новыми экспериментальными результатами.
ВТОРАЯ ГЛАВА. В соответствии с вышеупомянутым, нестационарное
уравнение переноса нейтронов изучено методом разло
жения его решения по полной системе функций, ортонормироэанных
с весом, равным равновесному распределению -рас
пределению Максвелла. В результате в диффузионном
приближении ( и в * " ) получены уравнения для собственных значе
ний в зависимости от геометрического параметра исследуемой системы:
Л = Л і & * )} которые выражаются через параметры, характеризуйте
термалиэационные Jff j ; Т"^ к и диффузионные "3) U свой-
ства среды. Эти параметры аналитически-и численно рассчитай!.1 для моделей рассеивающей системи: одноатомного гала, деб&епскст? кристалла
- 10 -С А>> і Вариационнрш методами, с использование;/! пробных функ ций, учитывающих кристаллическую структуру замедлителя в диффузионном приближении, получены с аналитическими коэффициентами низшие соб ственные значения в виде рядов от геометрического параметра б ^ , уточняющие и обобщающие результаты в случае полиномиальной пробноіі функции. Результаты этой главы приведены в вице графиков, таблиц и сравнены с теоретическими и экспериментальными результатами других авторов - достигнуто количественное согласие.
ТРЕТЬЯ ГЛАВА. Методом непосредствен ног численного интегрирования (переменные не разделяются) изучаются в "В" и "В**" приближении эволюции во времени спектра нейтронов и спектральные индексы и их асимптотики от импульс ного источника очень важных для ядерной технологии в блоке кристаллического замедлителя свинца ( РЬ) и бериллия ( 8 Б ) с геометрическими параметрами: 6г= О , 81^ 8^Z ; 3 2 > 2 В* ^ (В*2- предельный параметр) (т.е. изучается поведение неравновесных процессов (нейтронов) в равновесии, около равновесия, вдали от равновесиями результаты сравниваются с теоретическими и экспериментальными результатами других авторов.
Показано, что для В2, < 8 * * (для больших объемов) по времени спектры нейтронов и спектральные индексп окспоненциально приближаются к своим асимптотам, с плотность нейтронов затухает экспоненциально: для случая Be с >*- > В**~ имеется довольно широкий интервал времени после нейтронного импульса, в течение которого эффективная постоянная затухания плотности нейтронов Л 9<Р(^)=Ґ ~ сои St = Ар >А (л - предел дискретного собственного значения уравнения переноса) и формируется до зольну устойчивей квазиасимптотический спектр вида УрСР) Q~*p* . При больших временах квазиасимптотическое состояние распадается, переходя в чисто асимптотическое <^> 5-э/*-Л**( Ли), а лэФ-Ц ) = X* ; для случая В В с Б9, > 2-В * г ПРИ больших временах не устанавливается устойчивое квазиасимптотическое распределение, а плотность нейтронов затухает не экспоненциально. Полученные нами численными методами результаты согласуются с выводами других теоретических работ некорректности диффузионного приближения для описания нестационарного переноса нейтронов при больших временах в малых блоках бериллия С &% >fl*A) ниже границы Врегга.
ЧЕТВЕРТАЯ ГЛАВА. Аналитически и численно исследуется эволюция во времени диффузии нейтронов в более общем виде - с учетом недиффу-эионных эффектов - кристаллической структуры веществ ниже границы Брегга, где транспортная длина свободного пробега нейтронов очень большая, что не может учесть его утечка в малом объеме при больших-
- її -
временах диффузионная теория.
Для учета вышеупомянут).)* недиффузионных эффектов исследование проводится групповнм методом: ниже границы Брегга точное кинетическое уравнение, а вгше границы Брегга - а диффузионном приближении. Решение такой системы интегро-днфференциальних уравнений с вырожденными ядрами в случае плоской геометрии методо:,! функции Грина и преобразования Лапласа найдено з замкнутом виде /1,4/:
..-5 tA)
Исследовано аналитически решение кинетического уравнения нейтронов в кристаллическом замедлителе малого размера С fl*> S**J при больших временах. Показано, что в таких системах из-за большой длины свободного пробега нейтронов ниже границь; Брегга его утечка про- исходит быстрее, чем термализация, и в результате отсутствует экспоненциальное приближение к равновесию - функция распределения нейтронов имеет очень своеобразное поведение со временем, переходя в качественно новую структуру - сингулярность типа дельта-функции вблизи нулевой скорости /2,4/.
.Для альтернативи произведен численный расчет континуум-амплитуды с учетом недиффузионнга эффектов Для собственного значения, лежащего в непрерывной части спектра. Показано, что ко; "инуум-амплитуда имеет резкий максиму;,' для веществ с когерентно рассеивающей кристаллической структурой (Be - бериллий), при некотором собственном значении Л х- Ар в такой области (табл.1-2).
Таким образом, при не очень больших временах-после импульса
нейтронов можно аппроксимировать с хорошей точностью континуум-интег
рал одной экспоНБНтой fVft j'bg-bp-t # Порожденное квазиасим
птотическое состояние системы описывается распределением вида
"^ Ч^рСР) S"Api' . Время пребывания системы в квазиасимптоти
ческом состоянии определяется обратной полушириной максимума Ґ"' \
а при больших временах і > f-l квазиасимптотическое состояние
распадается, переходя в чисто асимптотическое. Аналогично теории ре
зонансных ядерішх реакций, обратная величина - знаменатель континуум-
-амплитуды
і
характеризует возникновение кваэиасимптоанческого состояния и обусловлен рассеивающими свойствами замедлителя.
Таблица I.
Таблица 2.
(<ш)=о;.-
Результаты апробированы сравнением с известными теоретическими и экспериментальными и отличатся от них не больше Ъ% /3,4/.
В заключение отметим, что полученные рез?ьтатн в этой главе, учитывающие недиффузионные эффекты в кристаллических средах, согласуются с выводами других теоретических работ, выполненных в диффузионном приближении и являются обобщением их.
ПЯТАЯ ГЛАВА. Здесь развита теория эволюции во времени открытых неравновесных систем в приложении к ядерной реакции: к снятии возбуждения сильно возбужденного неравновесного остаточного ядра, образующегося после завершения бистрого каскадного процесса в результате столкновения высокоэнергетичэских нуклонов с нуклонами ядра-мишени.
Предложен метод р а з л о ж е н и я искомого решения кинетического уравнения Больцмана в импульсном представлении, описывающего временную эволюцию рассматриваемого процесса, в ряд по полноі системе ортонормированных функций с вессм, равнш разновес-н о и у распределению -распределению і е р и и /а ,6/, аналогичному ыаксволловскому распределения в случае тсрмализа-ции нейтронного газа е замедлителе.
- ІЗ -Применение нелинейного кинетического уравнения Больимана к опи-1нию ядерних реакций в атомных ядрах - исследованию эволюции во вре-зни спектра ферми-газа нуклонов к равновесию в остаточном возбук-?шюн ядре, как открытой нелинейной системе и разработка аналитичес-ге методы ее расчета проведено по следующей схеме /5-6,8/.
-
На основе модели внутриядерного каскада нелинейное уравнение верной реакции линеаризовано с пренебрежением взаимодействиями запичастиц между собой.
-
Получены собственные функции и собственные значения уравне-1Л ядерной реакции в общем виде:
А. Для сепарабельной модели (аналогичная модель используется физике плементарных частиц при решении трехчастичной задачи для грелятивистсного квантового уравнения Фадцеева с помощью решения завнения Липпмана-Швингера с целью получения дополнительной инфор-іции о поведении кварков в ядрах).
Б. Для плоской геометрии и изотропной среды:
а) разложение функции распределения нуклонов в импульсном
іедставяекии по полной системе ортонормированных функций с весом
определения Ферми;
б) пространственная зависимость функции распределения нуТио-
)В.
В результате в Р^ приближении и диффузионном приближении
мучены уравнения для собственных значений в зависимости от геомет-
іческого параметра ядерной системы А = Л (&?-)> который вы-
шается через величины, характеризующие термализапионные Xij .
T^j, и диффузионные $(/ свойства ядерной среды. Эти
іраметрн постоянны в рассмотренном в этой главе линейном случае.
ШЕСТАЯ ГЛАВА. Для учета нелинейного эффекта в остаточном возбуж-знном ядре, как открытой ядерной системе, искомое решение нелинейно уравнения Больимана ядерной реакции, учитывающее принцип Паули, іедполагаєтсп в двух вариантах:
I. Метод вторичной линеаризации. Искомое решение ищется в виде ',9/:
4-І?,?,*)* 9(Рі:-Р)[і-(%*Ц)]+в(Р-Рг)[Ц0+Щ J у
1,0 Чо С І*) р*) ) - решение линеаризованного уравнения Больишша, ^i C^CiP'it) ~ новая неизвестная функция. В результате учета нелинейного эффекта получено линейное интег->-днфферєішиальное уравнение типа линеаризованного, описывад^с-е фмализаиію ферми-гаэа нуклонов в остаточном возбуждением ядре, но измененн;-г: ядргм, сечением и появлением источника, гзависяпегр от )е:/они вследствие присутствия предполагаемого нзгестнчм wjis.
- 14 -
0СЇ*>Р*> t ) Поэтому полученное уравнение не решается методом
преобразования Лапласа'по времени, как в линеаризованном случае. Тс
малиэационные %ц , 'Г^ и диффузионные 3)ij параме
ры в отличие от линейного случая не постоянны, а зависят от Бремені это означает, что нуклоны проводят большую часть времени релаксацій Б области переходного процесса (предравновесного распада).
2. Сохранение членов первого и второго порядка матости относительно новой неизвестной функции m^tP/ti '
В результате получено нелинейное интегро-дифференциалыюе фу ні циональное уравнение. Аппроксимируя входящий в него нелинейный фу і ционал линейным, т.е. заменяя функционал однім из решений линеариз< ванного уравнения, получим уравнение в линеаризованном случае.
Отметим, что время терыализации ^-ih1^ ^ в остаточном возбужденном ядре с учетом нелинейных эффектов с отрицательной обратной связью длится дольше, чем в линеаризованном случае, или укорачивается для положительной обратной связи, что является особенно* тью релаксации ферыи-газа нуклонов в конечных открытых нелинейных ядерных системах.
В заключении вкратце приведём результату по следующей схеме:
1. Исходное нелинейное уравнение Больцмана, учитывающее принт
Паули: Уі?,К*) .де/у.
2. Линеаризованное уравнение, учитывающее члены первого поряд:
малости относительно фв(?,Р>ІЛ
/ C?,p*,i) = G ( Рр-Р) f |- % СГ,Р*,І)]+ 9 LP-Pf) \МЇ>Ptt),
-щ = A iP0 tt,?,i) ,
3. Линеаризованное уравнение относительно , но
учитывающее члены второго порядка малости относительно известного
решения в линеаризованном случае if»lt>P>i ) '
- ІЗ
byc?,P,t) . л ,
—~ Ly+LarjqiS,
dLFCi)
= A0FW + A,(t)F(i)+Qtt),
4. Нелинейное интегро-дифференцнальное функциональное уравнение, читывающее члены второго порядка малости по отношению к линеаризо-іанному случаю */e I У/?*»** J
= ІУ+НСУ)У,
jLLjiLsA9F*A,(F,F)y
ли аппроксимирующее уравнение, полученное с заменой нелинейного ункционала линейным, т.е. функционал заменяется одним из решением инеариэованного уравнения Уо С?, }?/і ) '
Ъ*<Ы*} ~L
-ъ-t
dFUJ =A0F+A,iFo>F),
di /
;есь yt-y ; й) .. зависят от вышеупомянутого полинома ІцСР) А , Н - нелинейные операторы, L } Ь<з - линейные олерато-
Ао ) А і - постоянные матрицы.