Введение к работе
Актуальность темы. Настоящая работа посвящена изучению начально-краевых задач для уравнения ионно-звуковых волн в незамагниченной Плазме, математической моделью которых являются уравнения в частных производных составного типа.
Исследование неклассических дифференциальных уравнений высоких порядков, к которым относятся уравнения составного типа, ещё" далеко от завершения и представляет самостоятельный теоретический интерес. Прикладное значение рассматриваемых задач обусловлено тем интересом, который представляет в настоящее время исследование нестационаряых волновых процессов в различных средах, среди которых важное место занимают ионно-звуковые волны в плазме.
Целью работы является, во-первых, развитие методов так называемых динамических потенциалов для уравнений типа Соболева.
Во-вторых, детальное изучение некоторых начально-краевых задач, допускающих построения явных решений, что позволяет выявить тонкие эффекты, ускользающие при общем рассмотрении.
В-третьих, целью работы является изучение волновых процессов в рассматриваемых задачах при больших временах, исследование вопроса существования режима установившихся колебаний.
Состояние вопроса. Линейное уравнение ионно-звуковых воли является иеклассическнм дифференциальным уравнением состапиого типа. Уравнения такого типа систематически возникают также при рассмотрении математических моделей океана и атмосферы, штаму литература здесь-очень обширна. Начало изучения дифференциальных урапиеиий состапиого типа следует, ію-шілимому. омігстн к ЗП-м солям
нашего столетия, когда Адамаром и Жестрандом были рассмотрены первые модельные уравнения порядка выше второго, имеющие как эллиптические, так и гиперболические (параболические) характеристики. Однако систематическое исследование уравнений составного типа, связанных с задачами, имеющими конкретное физическое содержание, началось в 50-е годы, когда СЛ.Соболев в своей основополагающей работе "Об одной новой задаче математической физики" привлёк внимание к математическим вопросам динамики вращающейся жидкости. Этими вопросами занимались Р.А.Александрян, С.А.Гальперн, Т.И.Зеленяк, В.Н.Масленникова, С.В.Успенский и другие.
Другим важным классом уравнений составного типа, аналогичных уравнению Соболева, являются уравнения динамики стратифицированной жидкости. Систематическое исследование задач динамики стратифицированной жидкости можно найти в монографиях С.А.Габова и А.Г.Свешникова "Задачи динамики стратифицированных жидкостей", Наука 1986г., "Линейные задачи теории нестационарных внутренних волн ", Наука 1990 г.
В 1989 г. С.А.Габо» обратил внимание на тот факт, что нестационарные ионно-звуковые волны в незамагниченной плазме' также описываются уравнением типа Соболева. В дальнейшем это уравнение изучалось в работах М.Б.Оразова и Ю.Д.Плетнера.
Одним из наиболее распространённых и эффективных методов исследования граничных задач является метод потенциалов. Теория динамических потенциалов для уравнения гравитационно-. гироскопических волн приближения Буссинеска была развита
С.А.Габовым и А.Г.Свешниковым в указанных выше монографиях. Следует отметить, что С.А. Габовым, были построены динамические логарифмический и угловой потенциалы - аналоги соответствующих потенциалов для уравнения Лапласа. Дальнейшее развитие теория динамических потенциалов получила в работах С.А.Габова и Ю.Д.Плетнера. Применяя введённые для уравнения ионио-звуковых волн потенциалы, автору удалось доказать классическую разрешимость целогофяданачалвно-краевых задач.
'Практическая'Ценность. Полученные результаты представляют как прикладной, так и общематематический интерес. Они могут быть применены для решения задач плазмодинамики, в тех случаях, когда колебания в плазме приближённо можно считать двумерными. Полученные явные решения рассматриваемых задач могут бьпь использованы как эталоны для проверки различных приближённых методов.
Апробация работы. Результаты работы неоднократно докладывались на семинаре кафедры математики физическою факультета МГУ, на научном семинаре под руководством д.ф.-м.н профессора И.А.Шишмарёва, а также на международной конференции "Ломоносов-9б", проходившей в Москве в 1996г.
Основные результаты опубликованы в работах 11]-(4].
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трСч глав, содержит 100 страниц текста. Список цитируемой литературы включает 67 работ.