Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Теория квантовых групп и алгебр Ли возникла около пятнадцати лет назад при исследовании различных моделей квантовой теории поля и статистической физики (XXZ и XYZ магнетики, модель Sine-Gordon, модель Лиувилля) в рамках квантового метода обратной задачи рассеяния (КМОЗ). Существенным шагом в развитии теории квантовых групп стала ее формулировка на языке алгебр Хопфа. Это привело к выделению теории квантовых групп во вполне самостоятельную область математики.
Большинство объектов, рассматриваемых теорией квантовых групп, являются деформированными аналогами соответствующих объектов "классической" теории групп. В-частности, естественной задачей представляется описание и изучение деформаций физических величин, используемых в различных физических моделях. Особенное место здесь занимают физические величины и связанные с ними математические объекты, появляющиеся при исследовании уже изначально квантовых (в обычном физическом смысле) моделей - различных задач квантовой механики и квантовой теории поля. Практически с момента их возникновения такие квантовые но недеформированные теории (теория углового момента, релятивистская теория электрона, теория квантовой гравитации и т.д.) использовали "классическую" теорию групп как один из основных математических инструментов.
В настоящее время увеличился интерес к квантовым деформированным теориям, которые используют уже теорию квантовых групп. В этой связи актуальным представляется систематическое описание (/-Деформаций конкретных объектов квантовой механики и квантовой теории поля. В настоящей диссертации такими объектами являются тензорные и вертексные операторы.
Отметим, что для описания тензорных и вертексных опера-
торов, ассоциированных с q-деформированными алгебрами Ли, мы интенсивно используем /^-матричный формализм; также очень существенным для развиваемой теории оказывается понятие производящей матрицы (обозначаемой U для тензорных операторов и Ф для вертексных операторов).
ЦЕЛЬ РАБОТЫ состоит в том, чтобы:
1. Определить производящую матрицу для коэффициентов
Клебша-Гордана квантовой алгебры Ли и изучить ее свойства
(на примере Uq(sl(2)^)); найти реализацию производящей ма
трицы в терминах генераторов кокасательного расслоения к бо-
релевской подгруппе соответствующей квантовой группы.
-
Сформулировать общую теорию ^-тензорных операторов для квантовых алгебр Ли на языке производящих матриц и используя г2-матричный формализм.
-
Используя понятие производящей матрицы, описать алгебру вертексных операторов для данной квантовой алгебры Ли; обобщить эту конструкцию для токовых алгебр на одномерной решетке.
ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе использовались различные методы теории представлений классических и квантовых алгебр Ли, теории алгебр Хопфа, теории ^-осцилляторов а также некоторые элементы формализма квантового метода обратной задачи.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты диссертации (явная реализация производящих матриц для Ug(sl(2)); их связь с параметризацией квантового пространства [T*B)q\ формулировка теории ^-тензорных операторов на /^-матричном языке; аксиоматическое, описание алгебр вертексных операторов, ассоциированных с квантовыми алгебрами Ли и квантовыми решеточными алгебрами; явное решение этих аксиом) являются новыми.
Результаты первой главы могут быть обобщены и использованы для нахождения и изучения коэффициентов Клебша-Гордана для других квантовых алгебр Ли. Результаты второй главы носят, в основном, методологический характер; они служат для развития формальной теории «/-тензорных операторов. Результаты третьей главы могут быть использованы для описания q-деформированных моделей квантовой теории поля.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на семинаре ПОМИ по квантовой теории поля и математической физике, на итальянско-российском семинаре по интегрируемым системам (С.-Петербург, 1995) и на семинаре по квантовым группам Физического института Мюнхенского университета.
ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты глав 1 и 2 диссертации опубликованы в работах [1-2], глава 3 содержит часть результатов готовящейся к публикации работы [3].
ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 20 параграфов, заключения и приложения, что составляет 75 страниц в TgX'e (т.е. около 100 страниц машинописного текста). Библиография содержит 85 наименований.