Введение к работе
Актуальность темы. Начиная с конца ліестидесятьіх годов для описания моделей в различных областях математической физики, таких как задача двух центров в квантовой механике, модель Керра в общей теории относительности, модель инстантоиов в ядерной физике стали очень активно использоваться функции, являющиеся решениями уравнений второго порядка более сложных, чем принадлежащиие к гипергеометрическому классу.
С течением времени появилась небходимость в том, чтобы разрозненные результаты, возникшие в ходе исследования разных физических задач, систематизировать и оформить как некоторую математическую теорию снецфункций, выходящую за рамки стандартных книг по этой теме.
Эта идея была частично реализована в рамках проекта, задуманного проф. А. Зеегером из Штугтгарта и проф. А.Ронво из Намгора, которые собрали на миниконференцию, приуроченную к столетию написания Карлом Гойном первой фундаментальной работы, ряд ученых, проводящих исследования в этой области. В качестве продолжения было принято решение написать первую книгу, полностью посвященную уравнениям класса Гойна.
Однако в ходе написания книги выяснилось, что индивидуальное исследование каждого уравнения класса Гойна неэффективно, и в гигантском море сложных формул пользователю книги трудно разобраться. В связи с этим автор диссертации наряду с участием в написании уже аннонсированной книги, начал разработывать свою версию вывода и представления формул по уравнениям и функциям Гойна. При этом он опирался на технологии структурирования, принятые в современной информатике. Имелось в виду помимо чисто математического исследования создать пакет прикладных программ, позволяющий в диалоговом режиме получить доступ к требуемой информации. Важность такого подхода определяется с одной стороны тем, что книг по специальным функциям являются одними из наиболее часто цитируемых в мировой научной литературе, так с другой стороны и тем что в последнюю декаду происходит революционный переход к безбумажным эффективно организованным, электронным технологиям общения с информационными ресурсами. Таким образом, диссертационная работа находится на стыке прикладной математики (математической физики)
и информатики.
Цель диссертационной работы. Целью диссертационной работы является разработка структурной теории уравнений класса Гойна и специальных функций класса Гойна.
Уравнение Готм. - это линейное однородное уравнение второго порядка с четырьмя правильными особыми точками. Уравнения, получа-мые из уравнения Гойна путем специализированного выбора значений параметров или путем конфлюенции особых точек, составляют класс уравнений Гойна. Определенным образом выбранные решения уравнений класса Гойна являются специальными функциями класса Гойна. Класс специальных функций Гойна является следующим по сложности по сравнению с классом гипергеометрических функций.
Под структурной теорией понимается:
Установление структурных взаимосвязей между основными классами дифференциальных уравнений, порождающих специальные функции: гипергсолістрическим классом, классом Гойна и классом Пенлеве.
Введение классификации уравнений для специальных функций и классификации самих специальных функций, на основе выделения внутри каждого класса типов уравнений, для которых свойства решений имеют свою характерную индивидуальность.
Установление преобразований зависимой и независимой переменной, сохраняющих тип уравнения, и выявление инвариантов этих преобразований. Уравнения одного типа образуют класс эквивалентности, Рассмотрение каждого индивидуального уравнения, как форми уравнения внутри заданного типа.
Выяснение роли конфлюенции (слияния особых точек и предельных переходов в пространстве параметров, характеризующих урав некие,) на свойства решений вышеопределенных типов уравнений.
Разработка единых методов, позволяющих исследовать свойства решений уравнений класса Гойна и структурированное представление этих свойств.
Научная новизна. Первоначальный вклад автора в теорию функций класса Гойна был сделан в 60-70-ых годах, когда он в связи с задачей двух кулоновских центров в квантовой механике получил ряд новых
результатов по асимптотике функций, являющихся частными случаями специальных функций класса Гойна. Была получена асимптотика сфероидальных функций, кулоновских сфероидальных функций, функций, описывающих эффект Штарка на водороде, открыты квазипересечения кривых собственных значений в зависимости от параметра в случае угловых кулоновских сфероидальных функций, найдены логарифмические поправки к разложению собственных значений при малых значениях параметра в случае радиальных кулоновских сфероидальных функций, исследованы асимптотики фаз рассеяния и матричных элементов, найдены асимптотики лакун в задачах с периодическим потенциалом.
Большинство из этих результатов получило отражение в книге И.В.Комарова, Л.И.Пономарева, С.Ю.Славянова "Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции".
Общие приемы построения асимптотик вместе с примерами также из теории специальных функций класса Гойна вошли в книгу С.Славянова "Асимптотика решений одномерного уравнения Шредингера".
В 1989 году автора пригласили на Рабочее Совещание по уравнениям класса Гойна, организованного профессором А.Зеегером в замке Рингберг. С тех пор автор целенаправленно занимался вопросами, связанными с уравнениями класса Гойна. В сотрудничестве с ним работали проф. А.Зеегер и др. В.Лай из Германии и А.Я.Казаков, Н.А.Вешев, А.Б.Пирожников, А.М.Акопян, В.И.Золотарев из России. Автор диссертации был координатором и идейным руководителем этих работ. Работы финансово были поддержаны Институтом Макса Планка и Фондом Сороса. В результате были написаны две главы в книге "Дифференциальные уравнения Гойна" и порядка десяти статей.
Достоверность результатов. Значительная доля результатов диссертации оформлена в виде лемм и теорем, основанных на введенных определениях и строго доказанных в тексте. В ряде случаев доказывается только одна из однотипных теорем, касающихся разных уравнений - доказательство других аналогично приведенному. В отдельных случаях идеи схема доказательства известны, однако в тексте их нет (см., например, гл. 7), поскольку это привело бы к сильному увеличению текста и отходу от общей концепции диссертации.
Практическая значимость. Специальные функции математической физики служат тем инструментарием, которым пользуются физики для исследования модельных задач. Время вхождения в новую
предметную область ограничено в нынешних условиях сроком не свыше полугода. Поскольку модельные задачи все время усложняются, приходится обращаться все к более экзотическим специальным функциям. В традиционном подходе изучение теории требует кропотливого изучения литературы, увязания в формульных дебрях. Структурный подход, предложенный в диссертации, ускоряет и облегчает вхождение в теорию, позволяет эффективно получить индивидуальный результат.
Апробация работы. Общая концепция диссертационной работы
и отдельные ее главы докладывались на международных конферен
циях в Санкт-Петербурге, Нижнем Новгороде и Кембридже, а также
на научных семинарах в Курчатовском институте Атомной Энергии
в Москве, в Институте Теоретической Физики в Париже, в Санкт-
Петербургском Отделении Математического Института и в Институте
Эйлера в Санкт-Петербурге, в Институте И Ньютона Математи-
ческих Исследований в Кембридже, в Институте Физики Макса Планка в Штуттгарте, в университетах Санкт-Петербурга, Москвы, Эссена, Брайтона, Намюра, Леувена, Гейдельберга, Штуттгарта.
Публикации. Первоначальный этап подготовки диссертации -этап накопления информации путем выполнения " описательных" исследований длился с 1968 по 1990 год. Он был дважды подытожен в книгах [1], [2], и в списке публикаций в автореферате не отражен, кроме указания на сами эти книги. Второй этап- структурирования информации длился с 1991 года и полностью отражен в списке публикаций. Две работы были доложены на Евроконференции в Кембридже, но полные их тексты пока це опубликованы. Получен грант Немецкого научного Общества на написание книги по материалам диссертации.
Структура и обьем диссертации. Диссертация состоит из введения, девяти глав текста, разбитых на разделы, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 198 страниц. Диссертация содержит 5 рисунков. Список публикаций включает 129 ссылок.