Стохастическое операционное исчисление и его применения в квантовой теории Кириллов, Андрей Игоревич

Введение к работе

Актуальность toisu. Тооряя мори лвжне в основании многих разделов математики и теоретической фізика. Поэтому развитии теории мери способствует прогрессу в эгид оолостях. Так, построение, дифференциального исчисления imp С1-41 позволило, в частности, доказать весьма оОщуэ формулу интегрирования по частям. rV.61, которая для функции, задании -ив локально выпуклом топологическом векторной пространстве X, имеет вид

, «(і) „ dg(x>

-Г -as— е(*)Ф(*> - - / і (*) -аг~ ^¹⁽¹⁾ -

(1)

- J X(i)g(DP_h (х)сЦі(х) , X

где d/dh - производная в смисле Гато по направленню іієХ и

P_h(-) - т.н. логарифжтесиаа производная морі ц. по

направления п. В свою очередь, формула (I) была использована

для обобщения но бескошчномэрник случаи теории опвраторов

Дирихле [71 и ассоциированных сними диффузиошшх процессов

18,9}, для доказательства форцулн Гаусса-Остроградского ГЛ 1

м Стокса [III. В терминах логарифмической производной

сформулировано определение т.н. расширенного стохастического

интеграла [Ц/!,6), с ломощья которого било построй ко

стохастическое нечисленно дчп болов широкого класса

Функционалов от случаЯішх продоссоп, чом в подходе,

основанном їм стохостичоском интеграле» Мто Ш!.

В квантовой теории поля фигурирувт миря трех видов -

вакуукпш, моры ФоЯнмапа- Кац.ч и мори Нельсона. Вакуумнки

мары заданы на подмножествах конфигурационного пространства. Они определят представления канонических перестановочных соотношений 15}. Кроме того, при естественных физические предположениях вакуумные меры определяют также -.. и гамильтонианы .полей 1161. В атом смысле каждая вакуумная мера фиксирует ту или иную каноническую модель -квантового поля. В качества ковфгатреционного пространства используется пространство оообценних функций умеренного роста S'(R*~*), где й - размерность пространства-времэнк. Естественно полагать, что 4=4, хотя рассматриваются и модели с а=2, й=3 и й>4.

Мера Фейнмша- Каца (171 определяет ядро операторе эволюция. Она должна быть задана на множествах траектории, соединяющих всевозможные пары точек пространства S'(H*"*)xR. Иными словами, мера Фейнмаяа-Каца определена на некоторых подмножествах аз пространства S'(K*~'}* всех отображении

мера Нельсоне должна быть задана на пространстве S'(В*). Ее моменты являюся эвклидовыми функциями Грина, т,е., иначе говоря,-функциями Швингера, и поэтому однозначно определяют евклидову модель квантового поля. Меру. Нельсона часто называют также мерой Фейнмана- Каца- Нольсона, подчеркивая тем самым преемственность в развитии функциональных методов квантовое теории подя СІ7, 181.

Применение теории меры в квантовой физике дало много результатов, которые составили научное направление, называемое подходом с использованием функциональных интегралов 117 J. В частности, было установлено, что вакуумные меры и меры Нельсона дифференцируемы (19, 51, 171

s" !

и справедлива формула интегрирования по частям (I). С ее помощью в эвклидовом подходе і получвются ряда теории возмущений, а такта высокотемпературные (кластерные) я

\ низкотемпературные разложения, позволянцие исследовать локальпие (ультрафиолетовые) особенности модели и характер убивания на оосконячности (ннфракраспоо поведение) 1171. Диффузионные процессы, ассоциировашшз через посредство операторов Дирихле с вакуумными мерами или мэрами^Нельсона, являются предметом исследования, соответственно, в стохастической маїанихе {201 н стохастическом квантовании С2І, 221.

В стохастической механике процесс , ассоциированный с вакуумной мерой, принимает значения в конфигурационном пространство X. Он является решенном системы стохастических уравнений

d » p_h(e,(t))dt 4 Г2 d*_h(t) (he*), (2)

где «cX*, {w_b(- ) he⁵*) - семейство вшіеровскм процессов на вещественной оси, для которых М w_b (t_t)w_h (tjbain <*,»*₂Ь

x(li₍,b_a), причем, Онлгаюанвя форма (,) такова, что вложение пополнения пространства * по нормо |.Ц = /(,) в пространство X является оператором Гильберта-Шидта. Процессы _и уюзнвсяпся броуновскиш ави«е)шяди со СНОСО.9.

Параметр t трактуется как реальное время. КоеОДящиеятм (l_h в снстомч {?,) являются логар»$мичвскими пронс?р^к«нмі? вякуумчоЯ корі.

В стохастическом квантовании принесе С» ониоивеомнй системой (2), приівмаат значения в пространство S* (ї^Ь Паряметр t трактуется как вспомогательное (т.н.

компьютерное)время и физический смысл имен? лишь пределы при tio>. Коэффициенты р_ь в системе (2) являются логарифмическими производными мери Нельсона и.. Эти коэффициенты выражаются через Функционал классического эвклидова действия, в мара (х подлежит определени» как стационарное распределение.

По. существу, стохастическое квантование имеет целью восстановить мору Нельсона ц по ее логарифмическим производным р_ь, т.е. решить задачу, обратную диффэренцированип. Такая задача была впервые поставлена в основололагавдей работе В.И.Авербуха, О.Г.Смолянова и С.В.Фомина Ш, в которой отмечалось, что "интересно было бы указать (необходимые или достаточные) условия того, что данная вещественная функция на X есть плотность производной какой-нибудь меры при каком-нибудь ненулевом приращении". Постановка этой проблемы приглашала к создании нового раздела бесконечномерного анализа, дополнявдего дифференциальное исчисление мер подобно тому, как в классическом анализе теория первообразных дополняет дифференциальное исчисление функции и форм.

За двадцать лет, прошедших со времени появления статьи III, ни одного метода решения задачи о восстановлении меры по ее логарифмическим производным предложено не было. В гот же период эта задача в явной или неявной форме ае раз ставилась в целом ряде работ, среда которых статья 191 является одной из после дних. Следовательно, построение теории первообразных для логарифм ческих производных мер должно оказаться прямо или косвенно полезным для развития многих разделов математики и теоретической физики (конкретные примеры приведены ниже в разделе "Приложения").

? !

Цель раОогн. Диссертация посещена разработке методов воестановления меры по ее логарифмическим производным и вичислений интегралов по этой мере. Целью диссертаїіии является така» построение на основе этх методов нового математического аппарата, названного стохастическим " операционным нсчисленаем, и его применение в квантовой теории.

Научная новизна. Весь круг проблем, зитропутых в диссертант, обсуадвется по состоянию на конец 1992 года. В диссертации изложены основные результати работ автор.ч С49-50], в которых

1. Сформулировано понятое обойденной плотности меры на
функциональном пространстве. Доказано существование
обобщенной плотности у гладкой морц.

1. Вводено понятие обобщенного градиенте и доказано, что при определенных условиях логарп' чіческил градиент мори шляется оообадвним градиентом.

2. Впврвно указаны условия, при которгх заданное отображение является логарифмическим градиентом некоторой- мери.

4. Найдеш новые достаточїше условия суцествовішя т.н.
континуальних интегралов как интегралов бесконечной
крнтноста.

5. Впврвно указанії условия па логарифмический градиент нары,
при которик она имеет гильбертов носитель и моменти всех
порядков.

G. Доказаны іювиз теореми существования и единственности решения системи стохастических уравнении, гипо (2) в гильбертовом пространство, я также теоремы у

существовании инвариантной мери и о явном вида еа логвріфического градиента.

7. Впервые указаны условия, при которых существует
единственная вероятностная мера, логарифмический.градиент
которой равен данному отображении.

8. Выведены формулы, состовлялцие основу нового математического аппарата, названного автором стохастическим операционным исчислением.

9. Доказано, что в форме стохастического операционного исчисления может бить представлена каноническая квантовая теория и эвклидова теория поля.

10.Впервые доказано существование меры Нельсона для нелинейного поля в пространстве-времени произвольной размерности.

Эти результаты получены автором самостоятельно. Уважение к приоритету других ученых выражено в диссертации указанием источников всех заимствовании.

Метода исследования. В осново диссертации лежит математическая теория устанавливающая взаимосвязь операторов Дирихле, субмарковских полугрупп и диффузионных процессов. Эта теория построэна в работах 7-9, 19, 23-251. В диссертации она получает дальнейшее развитие посредством выяснения условии, при которых полугруппа, ассоциированная с системой (2), имеет единственнуп инвариантную вероятностнуп меру р.. В таком случае эргодические теоремы позволяют заменять интегралы вида /Г(г)йр(х) на пределы средних T~'J 111(^ (t))dt при Тл.а>. Поэтому отображение Г(-) ,

!( )*!"(„())» оказывается изометрическим изоморфизмом

_' ⁹ _I

L*(X,p.) на пространство сдучеЯнмх процессов 2»Ст}(- ):т}(- )-f ( ())» ГеЬ'СХіЦ)) со скалярним произведенном

, ..¹

(Wg і- 1ІЯ тр J" И Ti(t)^(t)dt .

Действт со случп&сыяи. процессам! tie 3, соотвенкжвуюирие при ояоСражеіат \ операции анализа в прояхранстве Ь*(Х,ц), на&іїаххлся сяатаымеааи оперхирхснши*" исчисление*. Оно позволяет, в честности, прл решении задачи о восстановлении мери по ее догаріф.цтоскш производным ограничиться отаскагаюм какого-нибудь решения ^ системы (2). ,

Для исследования стохастических урапшішП тала (2) л диссертации используогся шгод функций Ляпунова Г26). Все тоорогш существования мар доказанії с помощьп критерия Прохорова слабой компактности сомоЯств іюроятностніїх распределений 271. Необходимо для этого оценки, но зависязро от размерности, шнедени методами теории стохастяческиз уравнений из условии коарциташости (3, 261. Носителя мэр определен!) пэ сшЯсгву НОНрорыВЯОСТИ IK кооаркацгошшх квадратичных форм ІЗ, 281. Теоремо единственности вероятностной морі, догаріфвгчвский градпонт которой район, двнкдау отобрагатів, шведена из свойства осшлтотігшскоЗ устойчивости решений системи стохастических yparerarort (2} . и , творец о диффузшшш процессах, ессоциировешшх с формаки Дирлхло С7-Э.1. Ісшсттотичоскял устойчивость доказана с помощью неранопства «энотоиностл.

Суизэстшвпшю обоб:!,о:ших плоті ю сто .1 гладаих сир установлено с помощью <1ор'їул.і Кпкароиа-ІДартіпш- Скорохода 12,7). Тоо|.и!;а о тон, что логарифмический грядкант коры является обобщении:.* грчдивітяі, доказана методом . теории

мартингалов 12 J. Дифференцируемость вакуумной меры установлена по свойствам ее характеристического функционала, которне, в своо очередь, выведены из аксиом канонической квантовой теории. Связь вакуумных мер с мерами Нельсона описана с помощью теорем об абсолютной непрерывности мер, отвечающих диффузионным процессам с разными коэффициентами сноса (29, 301.

Формулы стохастического операционного исчисления выведены из формулы "то, тоэдэств для операторов Дирихле и теорем о свойствах мартингалов и семимартингалов 129-31).

Приложения. Работа имеет теоретический и прикладной характер. Метода, развитые в диссертации, примеяявтся для представления канонической квантовой теории и евклидовой теории поля в форме стохастического операционного исчисления. Доказано существовние меры Нельсона для поля типа eIn-Gordon в пространстве-времени произвольной размерности. Выведены уравнения стохастической механики основного состояния, заменявшие уравнения Шредингера.

Полученные в диссертации результаты могут применяться также для решения следущих задач:

1. Описание мер с помощь» обобщенных плотностей.

2. Интегрирование функционалов.

3. Вычисление интегралов бесконечной кратности.

4. Отыскание пространств L²(X,(i), в которых дифференциальное выражение имеет самосопряженное расширение.

5. Построение мер, однозначно определяемых своими множителями квазиинвлрмштности.

6. Описание кввзиинвариактных эргодических, мер.

і 7. Определение мер на заданном пространстве X, пригодных для

построения пространств Г/(Х,ц) с S-првооразованием Хида.

. 8..Решение стохастических уравнении методом форм Дирихле.

9. Решение эвклидовых уравнений движениям

10.Построение перенормированши операторов тока.

, Стохастическое операционное исчисление позволяет

сформулировать новие алгоритми численного решения задач с

операторами в частіші прожнюдшх. На ото оснопе могут бить

разработай j вычислительные устройства аналогового тина,

предназначенные для моделирования систем с распределенными

параметрами или для управления такими системами.

Стохастическое операционное исчисление позволяет также поставить задачу об описании геометрических и топологических свойств пространства X в терминах стохастического базиса для процессов из образа S пространства Ь²(Х,ц) при отображении . Если предположить, что в форма стохастического операциошюго исчисления удастся построить теорию, удовлетворительно олисиваидую явлешія ядерной физики и физики элементарных частиц, то, в частности, станет известно пространство 3, по которому можно будет судить о геометрии и топологии X, т.е. о геометрии и топологии микромира.

Апробация диссертации. Основные результата диссертации на семинарах, отдела квантовой теории полл, лаборатории статистики случайных процессов и отдела математической физики МИ РАИ им. В.А.Стеклова, на семинарах каі]одрн теории функций и Функционального анализа механике»-математического

факультета МГУ, Математического института Рурского университета (г. Бохум, Германия), исследовательского центра BIBoS университета г. Биелефельда (Германия), Чалморсовского университета (г. Ґетеборг, Швеция) и не меадународнои конференции "Ренормгруша 91" (ОИЯИ, Дубна)

Публикации. Основные результаты диссертации опуОликовани в работах 149-581. Работ, написашшх в соавторстве, нет.

Структура и объем диссертвции. Работа состоит из

введения, трех глав, разделенных на 14 параграфов,

заключения, приложения и списка литературы, содержащего

302 наименования. Общий объем диссертации - 298 страниц
машинописного текста.