Введение к работе
Актуальность темы; В большинстве работ по теории возмущении непрерывного спектра основное внимание обычно уделяется абсолютно непрерывному спектру. Что же касается сингулярной компоненты» то либо она вовсе не исследуется либо на возмушение накладывается . столь сильные ограничения, что весь сингулярный спектр, ледащий-, на непрерывном, сводится к конечному числу собственных значений .конечной кратности. Такой подход, в. частности, диктуется интересами и потребностями теории рассеяния. Однако в последнее время в связи с некоторыми вопросами теории твердого тела (Ї) отмечается возрастание интереса и к сингулярной компоненте спектра: сингулярной непрерывной компоненте н точечному спектру, имеющему сложную структуру, в том числе точки накопления. Особенностью сингулярного спектра является (в отличие, например, от абсолютно непрерывного) его неустойчивость уже относительно возмущений ранга І. В связи с этим интересен вопрос об описании структуры сингулярного непрерывного и точечного спектров (как множества мери нуль) в зависимости от гладкости возмущения или, как в случаз оператора Шредингера на оси, от его убивания на бесконечности.
Важным инструментом исследования этой задачі» являются само-сопрявенныо операторы модели Фридрихса. Оператор умнокения їй не-» зависимую переменную, возмущения которого здесь рассматриваются, возникает при записи оператора Шредингера в импульсном представленої, к получению результатов для которого и можно прилокить эту модель. Данная модель изучалась К.Фридрихсом (2j, Л.Д.Фадеевым (3) Б.С.Павловым и С.В.Петрасом (4), С.Н.Ыабоко (5) и д. В этих работах для гладких ядер возмущения, принадлежащих классу ?Cipd> ,были получены точные результаты, описывающие структуру сингулярного спектра в терминах показателя «6 . При этом вопрос о сингулярном спектре сведен к изучению мнокества корней аналитической оператор-функции с положительной мнимой частью. Решение проблемы описания структуры сингулярного спектра было связано здесь с изучением различных свойств гладкости аналитических оператор функций, с испольг зованием тонких свойств поведения преобразования Гильберта л других ({актов анализа.
-4-.
Во многих задачах физики для операторов Шредингера характерным потенциалом служит кулоновский потенциал. Хорошо известно, что в случае убывания "быстрее" кулоновского связанные состояния, отвечающие непрерывному спектру/отсутствуют. В то же время разными авторами строились операторы Шредингера на оси с кулоновским убыванием' потенциала, имеющие собственные значения (одно или несколько) на непрерывном спектре. В "непрерывном" случае операторов Шредингера на оси С.Н.Набоко были построены примеры (6), показывающие чтб на самом деле кулоновская граница убывания потенциала является точной, т.е. если потенциал может убывать "чуть" медленнее кулоновского, то у соответствующего оператора Шредингера макет быть бесконечное число собственных значений, плотно расположенных на непрерывном спектре. В связи с разработкой разнообразных решетчатых моделей в физике твердого тела интересен вопрос о справедливости подобного утверждения для' дискретного оператора Шредингера.
Цель работы. Настоящая диссертационная работа посвящена вияснених) деталей возможной структуры сингулярного спектра в зависимости от гладкости возмущения или, как, например, для оператора Шредингера, от скорости его убывания на бесконечности, а также на-хождеют более точных условий на возмущение, гарантирующих простую структуру сингулярного спектра (например, не более, чем конечное число собственных значений конечной кратности).
Методика исследования. Применяются общие методы теории операторов, комплексного и математического анализа. Изучение сингулярного спектра в самосопряженной модели Фридрихса сводится к исследованию поведения аналитической оператор-функции вблизи множества своих корней. Используются свойства гладкости преобразования Гильберта и оценки его роста на бесконечности.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми:
-
В терминах асимптотического поведения при б -> 0 модуля непрерывности возмущения получено точное условие конечности сингулярного спектра операторов самосопряженной модели Фридрихса.
-
Получено точное интегральное условие на модуль непрерывности, выполнение которого обеспечивает совпадение точечного спектра и множества корней аналитической оператор-функции с лоложитель-
ной ютімой частью, в которое погружается сингулярнії спектр самосопряженных операторов модели Фридрихса.
-
Для одномерного дискретного оператора Шредингера показано, что также, как и в непрерывном случае, если потенциал на бесконечности убивает "чуть" медленнее кулоновского, то соогветсвувщие операторы Шредингера. могут иметь бесконечное число собственных значений, плотно расположенных на непреривном спектре (прииедены примеры таких неотрицательных потенциалов.)
-
Для дискретного оператора Шредингера на полуоси на потенциал p-{?.b.\^lf получено точное условие огсутсгвил собственных значения на непрерывном спектре, обобцащее хорошо известное условие
Научная и практическая ценность. Работа лосит теоретический характер. Ее результаты будут интересны специалистам по теоретической и математической физике, занимающимся задачами теории твердого тела и штересувцимся вопросами спектральной перестройки оператора Шредингера. Методы работы могут быть использованы, и различных областях теории операторов и ее приложений, в математическом анализе.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались на спецсеминаре кафедры математической физики физического факультета ЛГУ, а также на конференции "Современные методы качественной теории дифференциальных уравнений. Глобальный анализ. Многозначные отображения" (г.Вороне-х, 1990) в W Всесоюзной Игаоле по теории операторов в функциональных пространствах (г.Ульяновск, 1990) и в ХУІ Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (г.Нижний-Новгород, I991).
Публикации. По теме диссертации опубликовано & научных работ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения четырех глав, разбитых на параграфа, и списка литературы. Общий объем диссертации 148 страниц машинописного текста. Библиография содержит 52 наименования. ,
_ 6 -