Введение к работе
АКТУАЛЬНХТЬ ТЕМЫ. Теория ра ссеяяия при низких энергиях в квантовых системах нескольких частицигравт ключевую роль во многих разделах современной физики. В ео контексте возникает ряд содержательных математических задач, связанных с исследованием структуры спектральпых характеристик квантовых гамильтонианов вблизи границ непрерывных спектров. В частности, к вим отиостгся изучение пороговых асимптотик s-матриц и вывод спектральных тоадеств, связывающих инварианты s-матрицы с характеристиками дискретного спектра. Классический пример таких тождеств - формула Левинсона в задаче потенциального рассеяния. Большое количество работ было посвящено исследованию пизкоэнергетического рассеяния для двухчастичного оператора Шрэдингера с быстроубывзющимипотенциалами. Весьма детально изучены пороговые асимптотики фаз рассеяния и получены разнообразные обобщения формулы Левинсона. Однако современное развитие квантовой теории рассеяния выдвинуло на первый план целый ряд проблем, в которых аналогичные вопросы остались малоисследованными. Это прежде всего задачи, связанные с теорией рассеяния в системе трех частиц, а также с нестандартными вариантами двухчастичных операторов Шредингера, описывающих рассеяние на дальнодействуюших потенциалах и в присутствии внешних электромагнитных полей. Поэтому исследование этого круга задач представляется весьма актуальным.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Вывод аналога формулы Левивсона и спектральных тождеств высшего порядка для системы трох частиц с фиксированным орбитальным моментом. Исследование порогового поведения и угловых сингулярнрстеа s-матриц в кулоновских системах трех частиц. Обобщение формулы Левинсона и анализ низкоэнергетических асимптотик s-матриц для двухчастичных операторов Шрздингера с дзльнодействующими потенциалами. Изучение особенностей s-матриц в задачах рассеяния во внешних электромагнитных полях.
ОБЩАЯ МЕТОДИКА. В работе используются методы асимптотического анализч, дифференциальвой геометрии, теории фуімций и рядов, а также трплишонные методы квантовой теории рассеяния в
зрения, полученные спектральные тождества для системы трех час-ті!Ц представляют собоя портів нетривиальный пример спектральних тождеств для оператора їїредаїгера на многообразии с асимптотически пеевклидовоя гетрикои.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах отдела математической я вычислительной физики НІЯ Физики Санкт-Петербургского университета, отделения Калифор-икяек го университета (Лос Андязлес, Беркли. Сайта Барбара). Калифорнийского техно логического института (Пасадена), университета штата Япдааяз (Блудашттон ) и Института ядерных исследования (Гренобль), па Всесоюзных иМеждународных конференциях по квантовой проблеме нескольких частиц: Тбилиси (1981), Санкт-Петербург (1983), Ажа-Ата (1885), Дубна (1987), Ташкент (1589), Лздовер (1900). Эльба (1991).
ПУБЛИКАЦИЙ. Результаты диссертацииопубликованыв 14 научных статьях U-14J.
ОБЪЕМ РАБОТЫ Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых па 19 параграфов, и списка литературы из 112 наименований. Это занимает 293 стр. машинописного текста.
С0ДЕИ8АЇІИЕ РЛБОТЫ
Во введении сформулированы основные задати и результаты дас -сертации и описана структура работы.
Глава I посвящена выводу спектральных тождеств для системы трех частиц и состоит иа 7 параграфов. В si описывается струїсгура внутреннего пространстваМ=п/во(3), q^Ar1 системы трех частіш с фиксированным орбитальный моментом t и прово-дгггея редукция грехчзстичнего гамильтониана на подрострзнство состояний с фиксированным *. Редуцированный гамильтониан
действует в гильбертовом пространстве LgfMjtr і t2t*i> -вектор-функция на м и имеет вид:
где vft- потенциалы парных взаимодействия» t' - локальные координаты на Пх bVJ - метрический тензор и, I. - главные
МОМента ТеНЗОрз ИНОрЩМЯ, о » Cd«t1. Векторные иоля
{л/а?'1* суть горизонтальные лифты полеа */*«' по отношению к
связности на тришальном расслоении am,sais),n}, которая порождается воктсрноа I-формой угловой скорости вращения системы как целого.
В $2 строится специальное представление для гамильтониана U). диагонализуодзе его кинетическую часть. Оно порождается
интегральным преобразованием гг в %-х fMjc2'*1! с ядром
y'tr.ql - л" J" d9 ежр[і [ X, gx 9 9;«P ]} D*(g) ( (Z )
sot»
где d'<9)-матрица функций Бигаэра» <дя Іг),{вр,ч)еео{3)»и з Q| гич суть канонические проекции векторов х ир в расслоении q(m,sqj3>,r). С точки арония теории рассеяния функция (2) представляет собой аналог плоской волны для продоссоо рассеяния (3 —»s) при фиксированном і. Дяя но получены явные выражения. которые позволяют вычислить соответствующее представление для гамильтониана (І)і
В нем киветиче екая часть к - матричный оязратор умножения, а потенциалы суть матричные интегральные операторы, ядра которых имеют «-образные сингулярности.
В %3 на основе представления <3) исследуется структура т-матрида гамильтониана < I). Используется техника уравнения Фад-дзева для компонент т-матрицы. Доказано, что т-матрида имеет только стандартныо особенности типа 7. пвухлэстачных подсистем. Существенно, что она це имоот трегчастичных особенностей; Последние ксчесакгг в результате редукции на подпространства состояіпія с фиксированным /. Это обстоятельство играот важкую роль при выполз спокгралы я тсздеств. В 4 строятся простри {ства каналов реакція и определяются волновые операторы и в-матркца, сэлзаяншсгаетлльтонионом (I). Вычисляются их лдра в терминах компонент Фадгеева соответствую-иея т-матрицы. » В 5исследуется асимптотика плоской волны (2). Показана, что она задается определента ми решениями z^Z-j уравнения эйконала на многообразии м. Этт эйконалы нетривиальны, т.к. метрика м неевклидова. В 6 проводится детальное исследование плоской болпы (2) в частном случае 1-=0. Показано, тто ядро У* пзлпется функцией только двух переменных - упомянутш эйконаловz х» 22 - и задается представлением W.q) = <4/п) J" Получено также разложение у" по скалярным гигорсферичвским гармоникам: r"(r,q) -В (ІгПчіГ* I (-1)"^2С|Г||Ч|)5Э(;,^)^ (1) где ?п - проектор на собственное годпрюстрэнетш гидаругловой части оператора (I). Для его ядро получены явные выражении, инеюакэ синел новых теорем сложения для гиперсферических функций. Результаты 1-6 используются в 7, где выводится главный результат главы I: ползая серия спектральных тоядаегв для гамильтониане <1), Вывод основан на резольвентной формуле следа 21 Spf»'(E+lO) = Spfe* 9ts\ (Е) , С 5") которая связшает следи связных частей резольвенты оператора (I) и соответствующейему s-матрицы. В отличии отизучавшейся ранее аадьчи, ь шторой орбихалишл мимант трзх частиц uo фиксирован, формула следа (Я ю нуждается б дополнительных регуляризащях, т.к. т-матрица в ныием случае во имеет трзхчэстичшх особенностей. При выводу сгвіпральниіх товдзс гь существенную роль играет также асимототичоековразложонлйвро'сг) при г ->ш. Доказано, что оно икеет вид SpR *-1^Ш *"" . f«'>(z) =;* .5 Л* - гГ2 <^><л2> , d'/'c2) » (i/ai JdWr) w'n)(r) м;(г,Ч . (6) функции w^"' пыражй'огся явно чороз парные потенциалы, например в весовой множитель чгзадается свврткоа іілоеісад ваш (2> но единичной сфере м по Внутреннее пространства: где Sp - нэтричныа елея. При г - о этот вас вычисляется яино с номоцыо разложения (4): Р,(г,А) = (32/гс) (Х|г|Г* ^ J2n»-2CA ir|^"M)I ' х ,1і І ""і 1*2, V2i 3/2, 1; elnVc-l) , где v(r) - одна из локальных координат точки г « и. Спекгргиышда тождества имзит вид: і! п » о (".налог формулы Левингона): где го - граница непрерывного спектра»/; и, ^- количество точек дискретного спектра er и vrx кратности. 2) ті = 1,2, ... : N ос. 01=1 где в - функция Хевисаацз, а Оп"<Н) опредолс-но в (&). В главе 2 исследуются пороговые и угловые особенности амплитуд рассеяния в кулеповг-ких системах трех частиц. В $8 строится эякоцальпая асимптотика волновой функции процессов сз —>г,з) при фиксированном орбитальном моменте. Она определяетсяутгомякутьми эйконаламиz^ г тоской полными решениями уравнения эйконала нам. соответствующими процессам однократных двухчастичных стелкяовения при фиксированном г. Кулояовскиефазым, искажающие эти эйконалы, получаются путем редаяия уравнения K*(dZ,dW) - - (1/2>Ґ"Г V , ncsv-суммарный кулоновския потенциал, dz- і-форма градиента на м, *<»» - скалярное произведение в кокасательиоч пространстве т*Н. Кулояовские фазы сингулярны в ряда особых направления внутреннего пространства. В особых направлениях амплитуда рассеяния <з —»з> имеет голгень сингулярности. Они 10. иссдадуется в 9 методом параболического уравнения. обобщенным па случаг многообразия с неевклидовой мотрксоа. В 10-12 изучаются пороговые и угловые особенности полных амплитуд упругого бинарного рассеяния (2 —.2) вкулоновских системахтрех частиц. В10 развивается катод эффективного потенциала» который позволяет сшетитрахчастичную задачу к ьфїектквной задачо двух тел в Rs. При этом особенности амплитуд pacccmwionpa,i2umxn-cn асюшготическойструктуроя эффективных потенциалов. Доказало, чтовсжслеобобщонаыхфуЕю&й последние асимптотически локальны и в старшом порядке равны сумме статических мультипольних и динзюяоекого поляризационного членов: В II исследуется пороговая асимптотика и сингулярности в направлении рассояюш вдарод амплитуда рассеяния на потенциалах (7). Путем анализа итерациа соответствующего уравнения Лигатмапа-Шзингвра получены слзядазкз розультагы. Шізкознергетическое поведение ашлитуд рассеяния имеет вид (к2 ~> О) і где і * і если и'V о и J =2 если р"» о, ц"'р o;fc - кулоновская амплитуда рассаншм, ^ - фактор Гажзаа. Второй члон (8) пороіїсза иультипольными слагае»мшпотенциала (7). Его особаїшость при нулевой зыергии описывается сингулярным фактором ош(кг,&) в - Угловая особенность акгшггуды при а -» о икеет вид 11. f(k',*) = ft sfk'.k) \k' - kl"1""" + л " -21» тю а,ь - главою функции, тзкіз нлядашшз в яваом сиде. В 12 рассматрквсэгсяБааньэ таспм ллучаа: рзсеепігвз заряяєнлоп частий на водородогадобиоя кжгоі. Кулонозсксэ Еырсздоида спекгра мисени приводит к необходимо ста учета дадьнодеастауизза связи Б'^ртадогаых уровнял, что дадаот зффэктивную задачу матркчааг. Получены обобкеїшіформул (8),(Э) дія зтої гадэчи. В5ІЗ рзесмзтр'.івззтслкоцїфотазяфжіпеокап задача: рассзя-нкэ при низюн зкоргиях в эгалоилса системо ядерной Фкзгскя протон.*дейтрон, йеслодусгся алшшиэ ш^яр:оуомостад?лтролапа пороговое поюдонга фзои рассогшкя и зМекты, связагга» с наличием полоса у футода эф^кташого радиуса в дуйктюи сгепговоч состоянии. Огогеьгавотсптакх» числзнгиамзтодрлечэта длин frf рассеяния, основаавш па ренэник уравнения Фаддавва в конфигурационном пространстве. В глава 3 выводятся обобщения формул>і Левинсона и изучветгея особенности s-мэтриц s ряде задач потенциального рассояяия. В 514 рассматривается радиалыша оператор Ерэдингора с дальнодевствуюцимпотенциаломималXа,««ci,2l. ПолуЧем аналог формулы Левинсона. учитыззоди* окнгулярдоеть Фаз рассеяния б{(к} при нулмюа злерпии Срсісоночность дискретного спектра (при * < О). Нагпжмэр, пря « « Сі>2), * < о доказано lie 16Лк) - е.АОЭ - 6,(а>) v nd. , к-.О ' С * * Ковстзнта *t имеет смысл квзнтового декокта дискретного спэкгра и определяет асимптотику собственных чисел при п Е^" = - f с(п + С - d, 4=U) )] (2/а - 1)|аГ1/а В(1/2,1/а) . В Я5 рошена аналогичная задача для трехмерного оператора Шрвдингера с кулоновсккм дальнодействием: Н = -А + а/|х| -* q(x) , q є LjfR3) n LjfR3) . (lO} Аналог формула Левинсона а этом случае имеет вид (2rri)"' In detS* (О) » Р , а < О где S4E) = бСЕ)б^-(Е), sc - кулоновская s-иатрицаі t>to - суммарная кратность дискретного спектра (конетаая приа>о). КонстантаD икает смысл квантового дефекта дискретного cneirrpa оператора <Г0) при а < о. Доказано представление d - ito,-ci/«2 twej 2 ( 2 -„,] где л - квантовые дефекты совственяых чисел оператора (ID): E^e-fa'^Xra-d^ )"2 . ИНДеКСЫт,» 0ТВЄЧ8ЮГГ 0ПрВДЗЛЄНН0Му упорядочивании дискретного спзкгра. Вврассматривэюгтсядантральныв потенциалы с дальнодействием степенного вица при х -» « : V(x) S і/Я + » к"0* , а > 1 . Подучены асимптотики Ф(11)сл>о доказано смщвдв продстаЕУганко IlpH к -» О: fCk.ej а к"27" с(в) cxpf іь(е> кІ_2/<< 1 а для потенциалов (12) с і < а < з/2 ПЧ.в) й f (к,. В? изучается частный случьйнзнснтралышлдэльцодзастщю--ви« потенциалов (?), возяикаетгия в задаче рассеяния на снсте.»» ы фиксированных дулоночских центров. Вычислены явно всэ Koo'ICtnra-ешгптри низкозноргетичешсихиуглэжх сингулярностях (8), (О) и подучено единое представление, одновременно ошсивявдяе оба типа особенностей: fs(t',k) = fc +Г{інт))г '(і-іохи-к'.і^іаіпівуг)! гда d - вектор даюлькего момента системы кулоаовских цантроі В8рассмятривается гамильтониан частица во внешнем однородном электрическом поле: И = -4 + (3,я) - V«a> , х е R . Показано, что соотввтствушанз-мятрица имеет сингулярности, аналогичные сингулярностям в направлении рассеяния вперед, если потенциал V(k) убывает медленнее- степени I * I"""' при х -» л асимптотического двитеиия (пчраоолы) совпадают. Вычл!слэни вяо сингулярности ядрає-натрицц для готондаалов V(x) a^xj \*\~а а є (ілг.влз. Например, в случае потенциалов тїшз (7) особенность амплитуду рассеяния в электрическом голо їжеет віщ где kx - состзвлягашя квазшэдулъса, ортогональная поля *. В 9 рассмэтриваэтся гамильтониан частицы во внешнем постоянном магнитном поло, Н =» -fv-iatv)] V(x) , а(хГ« а/2)ВхХ » Предполагается, что потенциал v аксиально симметричен и быстро ,; убывает в направлении поля В. В этой задаче s-матриш описывает переходы мезду уровнями Ландау и состоит из коэффициентов проховдония t^ffij и отражения ^(е;; m,n- померз уровпой Ландау. Исследуется структура s-матриш в предало, когда спектральный пзраметер стремится к одному из порогов Ландау «п » іві (2П4-1), Техника анализа основана на методе низкоэнергетичес-КИІ разложений операторов перехода, который обобщен на многоканальный случай. Подучены полке асимптотические разложения коэффициентов прохождения и отражения для всех типов переходов. Например, прилип, е -»*г *о (упругая реакция v\ перехода на более такт уровни) WE> = 1С <lk„)S > &=± ГДЄ kn= 15.
(12)
Они возни пит в ситуации, когда in-и out-траектории