Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Оператор Хилла является одним из самых известных дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами. При изучении оператора Хилла возникает две гесно связанные задачи. Первая, прямая спектральная задача: изучается зависимость краев зон, длин лакун, эффективных масс и г.д. от потенциала. Вторая, обратная задача: исследуется запи-:имость потенциала от спектральных параметров, длин лакун и т.д.. В частности восстановление потенциала по некоторому набору данных. Один из наиболее трудных вопросов это соответствие классов потенциалов и набора спектральных данных. Здесь важную эоль играют оценки: периодический потенциал через эффективные лассы, через длины лакун, через высоты вертикальных разр» зов іа плоскости квазиимпульса и обратно и т.д.. Наиболее полное ре-нение этих задач сделано в работе Марченко и Островского (Мат. :б. 97(139), по. 4(8), 540-606 (1975).) Оли ввели квазиимпульс как «онформное отображение спектральной плоскости с разрезами по дойнам лакун на "гребенку" К , т.е. на комплексную плоскость >сз вертикальных симметричных разрезов проходящих через точки сратные ж, и на каждом двустороннем разрезе с номером п выбира-іа'сь точка, образ точки Дирихле при конформном отображении и інак + или —. При этом получено взаимооднозначное соответствие іежду этими данными и периодическим потенциалом. На этом пути ждалось получить двусторонние оценки потенциала через высоты іертикальньїх разрезов. Однако другие параметры (длины лакун, >ффективные массы,"длины спектральных зон и т.д.) мало изуче-[ы; соответствующие оценки отсутствуют. Более того, высоты раз->езов изучены не достаточно. Поэтому исследование этого круга адач представляется весьма актуальным.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. 1). Найти двусторонние оценки для оператора Силла: периодический потенциал через эффективные массы, через дойны лакун, через высоты вертикальных разрезов на плоскости :вазиимпульса и т.д.. 2) Предложить явную абстрактную схему >ешения обратных задач (прямой метод) основанный на прямом інализе отображения потенциал - спектральные данные. 3). Решить грямым методом обратные задачи для отображений : потенциал -дойны лакун, потенциал -эффективные массы, и т.д. 4) Обобщить
1) на случай более общий чем периодический, оператор Дирака и
т.д. 5) Найти асимптотику при больших временах функции Грина
волнового уравнения с периодическими коэффициентами.
ОБЩАЯ МЕТОДИКА. 1) Для доказательства оценок используются и изучаются различные конформные отображения связанные с квазиимпульсом оператора Хилла . Это делает возможным переформулировать задачу для дифференциальных операторов как задачу теории конформных отображений. Затем мы изучаем геометрические свойства соответствующих конформных отображений.
2) Предложена абстрактная схема (прямой метод) решения обрат
ных задач, основанная на теореме из нелинейного функционального
анализа, которая доказана в диссертации. Решение задач прямым
методом сводится к проверке условий из этой теоремы. Отметим,
что в этом методе не используется ни уравнение Гельфанда - Леви
тана - Марченко, ни формула следов, но очень важную роль имеют
оценки .
НАУЧНАЯ НОВИЗНА Все результаты диссертации 3получены впервые. К основным из них относятся:
I. Обратная задача: 1) предложена абстрактная схема (прямой
метод) решения обратных задач, основанная на теореме из нели
нейного функционального анализа, 2) Прямым методом доказано,
что отображения: потенциал -* ориентированные высоты разрезов
на плоскости квазиимпульса, потенциал —> длины лакун, и т.д. есть
вещественно аналитические изоморфизмы, всего рассмотрено пять
отображений.
II. Оценки: 1) найдены следующие двусторонние оценки для сле
дующих величин оператора Хилла: норма потенциала, сумма ква
дратов длин лакун, сумма квадратов эффективных масс с некото
рым весом, и т.д. 2) Получены соответствующие оценки для опе
ратора Дирака. 4) Найдены "локальные" оценки различных пара
метров в фиксированной лакуне.
-
Получены следующие тождества: интеграл Дирихле от энергии равен интегралу от квадрата потенциала по периоду и т.д.
-
Цвойства квазиимпульса: 1) аналитические свойства энергии как функции квазиимпульса, 2) свойства гармонических и аналитических функций определенных на гребенке.
-
Результаты 11)-11^:) распространены на более общий слу-
чай , чем периодический : конечнозонные потенциалы, некотрые классы предельно периодических потенциалов. В этой случае имеем: 1) оценки, 2) тождества, 3) свойства квазиимпульса.
VI. Найдена асимптотика при больших временах функции Грина волнового уравнения с периодическими коэффициентами. Показано, что спектральная зона Е„ оператора Хилла "создііст" волновой фронт с волновой скоростью с„ < 1. Найдены оценки сп через длины лакун, эффективные массы и т.д.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Разработанные методы получения оценок имеют общий характер и могут быть применены в ряде других задач , в частности, в случае предельно периодического потенциала. Полученные оценки важны для вопросов усточивости решения обратных задач'и для анализа нелинейных уравнений.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ Результаты работы докладывались на семинарах при петербургском отделении МИАН России, на семинаре по математической физике Петербурского государственного университета, на семинаре им. Петровского , на семинаре по ма-' тематической физике института низких температур в Харькове, и т.Ді, а также за границей в Институте им. Шредішгера в Веде, в Технологических ин-тах Атланты и Стокгольма, унивсрситах Вирджинии, Лунда, Иерусалима, Брауншвейга, Цюриха, Мюнхена, и т.д., а также на конференциях: институт Эйлера (1993), Вена (1993), Берлин (1993), Бирмингем (США, 1994), Кентуки (1994), Вена (1996), Аскона (Швейцария, 1996) и т.д.
ПУБЛИКАЦИИ Результаты диссертации опубликованы в 5 научных статьях и в 3 препринтах [1-8].
рБЬЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения и пяти глав, разбитых на параграфы, и списка литературы из 117 наименований. Это занимает 191 страницу машинописного текста.