Спектр и асимптотические решения, локализованные вблизи маломерных подмногообразий, для уравнений с резонансной главной частью и нелинейностью типа Хартри Перескоков Александр Вадимович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Асимптотика спектра и квантовых средних вблизи границ спектральных кластеров в случае линейных уравнений 38

1. Общий метод нахождения асимптотических собственных значений вблизи границ спектральных кластеров 38

2. Асимптотика спектра и квантовых средних возмущенного резонансного осциллятора вблизи верхних границ спектральных кластеров 41

2.1. Введение к 2 41

2.2. Квантовое усреднение 42

2.3. Когерентное преобразование 45

2.4. Интегральное представление для асимптотических собственных функций 50

2.5. Многоточечная спектральная задача 57

2.6. ВКБ-приближение. Линии Стокса 59

2.7. Асимптотическое решение многоточечной спектральной задачи. Вычисление поправки в спектральной серии 68

2.8. Асимптотика многочленов Ф(Х) 78

2.9. Сравнение ВКБ-приближения с асимптотикой N(z) 86

2.10. Асимптотика нормы Ф( ) 91

2.11. Итоговая теорема 99

2.12. Формулы для квантовых средних 100

3. Асимптотика спектра атома водорода в магнитном поле вблизи нижних границ спектральных кластеров 105

3.1. Введение к 3 105

3.2. Регуляризация 106

3.3. Квантовое усреднение 107

3.4. Когерентное преобразование 110

3.5. Интегральное представление для асимптотических собственных функций 117

3.6. Многоточечная спектральная задача 122

3.7. ВКБ-приближение. Линии Стокса 123

3.8. Асимптотическое решение многоточечной спектральной задачи. Вычисление поправки в спектральной серии 131

3.9. Асимптотика многочленов Ф(Х). Дискретный метод ВКБ 139

3.10. Асимптотика нормы Ф( ) 151

3.11. Итоговые теоремы. Формулы для квантовых средних 163

2. Асимптотические решения уравнений типа

Хартри с гладкими потенциалами самодействия 172

Квазиклассическая асимптотика спектра вблизи верхних границ спектральных кластеров для оператора типа Хартри 172

1.1. Введение к 1 172

1.2. Квантовое усреднение и когерентное преобразование 173

1.3. Интегральное представление для асимптотических собственных функций 179

1.4. Асимптотическое решение многоточечной спектральной задачи. Вычисление поправки в спектральной серии 180

1.5. Асимптотика многочленов Ф(Х) 197

1.6. Асимптотика нормы Ф( ) 204

1.7. Формулы для квантовых средних. Итоговая теорема 211

2. Квазиклассическая асимптотика спектра вблизи нижних границ спектральных кластеров для оператора типа Хартри 215

2.1. Введение к 2 215

2.2. Квантовое усреднение и когерентное преобразование 215

2.3. Интегральное представление для асимптотических собственных функций 217

2.4. Асимптотические решения вблизи особых точек 218

2.5. Асимптотическое решение многоточечной спектральной задачи. Вычисление поправки в спектральной серии 225

2.6. Вычисление нормы и квантовых средних. Итоговая теорема 229

3. Асимптотика спектра оператора типа Хартри

специального вида вблизи верхних границ спектральных кластеров 231

3.1. Введение к 3 231

3.2. Квантовое усреднение и когерентное преобразование 232

3.3. Интегральное представление для асимптотических собственных функций 233

3.4. Асимптотическое решение многоточечной спектральной задачи 235

3.5. Формулы для квантовых средних. Итоговая теорема 237

Глава 3. Асимптотические решения уравнений Хартри с сингулярными потенциалами самодействия 241

1. Квазиклассическая асимптотика спектра трехмерного оператора Хартри вблизи верхних границ спектральных кластеров. Асимптотические решения, сосредоточенные вблизи окружности 241

1.1. Введение к 1 241

1.2. Асимптотика собственных функций невозмущенной задачи 242

1.3. Построение асимптотического решения 245

1.4. Решение спектральной задачи на подпространствах T-LQ, %I 251

1.5. Спектральная задача на подпространстве Т-І2-Вещественные решения 255

1.6. Спектральная задача на подпространстве Т-І2-Комплексные решения 261

2. Квазиклассическая асимптотика спектра двумерного оператора Хартри вблизи верхних границ спектральных кластеров 265

2.1. Введение к 2 265

2.2. Построение асимптотического решения 267

2.3. Асимптотика собственных функций вблизи окружности. Вычисление спектральных поправок 270

2.4. Нахождение верхней границы спектрального кластера 278

Глава 4. Асимптотические решения уравнений Хартри, сосредоточенные вблизи маломерных подмногообразий. Теория эйри-полярона 282

1. Модель с логарифмической особенностью 282

1.1. Введение к 1 282

1.2. Уравнения для амплитуды и фазы эйри-полярона .284

1.3. Асимптотическое решение задачи для cos- и sin-амплитуд эйри-полярона 293

1.4. Асимптотика фазы эйри-полярона при — +оо 314

1.5. Оценка остаточных членов. Формулировка основной теоремы 321

1.6. Асимптотические разложения эйри-полярона при — оо 327

1.7. О разрешимости уравнения в вариациях для одномерного полярона. Формула для решения 332

2. Локализация на отрезке 337

2.1. Введение к 2 337

2.2. ВКБ-асимптотика. Уравнения для амплитуды и фазы 339

2.3. Асимптотическое решение задачи для cos- и sin-амплитуд 346

2.4. Асимптотика в окрестности точек ж , х+. Модельное уравнение 353

2.5. Задача для фазы 359

2.6. Правило квантования. Оценка невязки. Формулировка основной теоремы 372

2.7. Задача для главного приближения к фазе 379

2.8. Нахождение главного приближения к фазе 382

2.9. Асимптотические собственные значения. Главное приближение 395

3. Локализация в плоских дисках 402

3.1. Введение к 3 402

3.2. ВКБ-асимптотика. Уравнения для амплитуды и фазы 404

3.3. Асимптотическое решение задачи для cos- и sin-амплитуд 411

3.4. Асимптотика в окрестности точек ж , х+. Модельное уравнение 415

3.5. Задача для фазы 423

3.6. Правило квантования. Оценка невязки. Формулировка основной теоремы 431

3.7. Главное приближение к фазе 433

3.8. Асимптотические собственные значения. Главное приближение 439

Заключение 441

Список литературы

• Асимптотика спектра и квантовых средних возмущенного резонансного осциллятора вблизи верхних границ спектральных кластеров
• Асимптотическое решение многоточечной спектральной задачи. Вычисление поправки в спектральной серии
• Квазиклассическая асимптотика спектра двумерного оператора Хартри вблизи верхних границ спектральных кластеров
• Асимптотические разложения эйри-полярона при — оо

Введение к работе

Актуальность темы исследования

В теории квазиклассического приближения долгие годы стояла важная проблема о построении асимптотики спектра и асимптотических собственных функций вблизи границ спектральных кластеров, которые образуются при возмущении главной части гамильтониана в случае резонанса частот. Этой теме посвящена первая часть результатов диссертации, причем, как для случая линейных операторов, так и для случая операторов с нелинейными возмущениями типа Хартри. Решение указанной проблемы важно для построения представлений асимптотических решений широкого круга уравнений математической физики.

Вторая часть результатов диссертации посвящена построению асимптотических решений нелинейных уравнений типа Хартри с кулоновским потенциалом самодействия, характерным для многих физических моделей. Наличие у потенциала самодействия кулоновской особенности представляет принципиальную проблему для обычной теории квазиклассического приближения. Актуальной задачей является обнаружение эффективного анзаца для асимптотики, в частности, при описании решений, локализованных вблизи маломерных многообразий, где не работают известные методы и должны возникнуть новые модельные уравнения.

Степень разработанности темы.

Уравнениями Хартри ^{1 2}' ³' ⁴ называются нелинейные уравнения Шре-дингера в I² и в М³, содержащие помимо обычной потенциальной ямы еще и

¹ Hartree D.R. The wave mechanics of an atom with a non-Coulomb central field. Part I. Theory and methods // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1928. — Vol. 24. — Pp. 89-110.

²Hartree D.R. The wave mechanics of an atom with a non-Coulomb central field. Part II. Some results and discussion // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1928. — Vol. 24. — Pp. 111-132.

³Hartree D.R. The wave mechanics of an atom with a non-Coulomb central field. Part III. Term values and intensities in series an optical spectra // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1928. — Vol. 24. — Pp. 426-437.

⁴Hartree D.R. The wave mechanics of an atom with a non-Coulomb central field. Part IV. Further results relating to terms of the optical spectrum // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1929. — Vol. 25. — Pp. 310-314.

потенциал самосогласованного поля кулоновского типа. Точнее, рассматривается система уравнений

(—h A+ V+ и)ф = \ф, ||^||і2 = 1, (1)

AU = \ф\ , (2)

в которых V — это гладкая потенциальная яма (обеспечивающая дискретность спектра), h > 0 малый параметр, а А и ф — искомое собственное значение и собственная функция.

Потенциал самосогласованного поля U может быть выражен из (2) в виде интеграла

1 f \ф(у)\2 о

и (х) = : г dy при X Є К , (3)

4тг _R3 \х - у\

If 2 2

и (х) = — In \х — у \ \ф(у)\ dy при iGk. (4)

Подстановка (3) или (4) в (1) дает дифференциальное уравнение для ф с интегральной нелинейностью.

Начиная с основополагающих работ Д.Р. Хартри (D.R. Hartree) в течение почти уже 100 лет уравнения Хартри привлекают внимание большого числа физиков и математиков. Фундаментальные результаты, касающиеся уравнений типа Хартри, были получены в работах Н.Н. Боголюбова, Л.П. Питаевского, СИ. Пекара, В.Д. Лахно, И.В. Сименога, а также Е.П. Гросса (E.P. Gross), Е.Х. Либа (E.H. Lieb), П.Л. Лионса (P.L. Lions), Б. Саймона (B. Simon), Ч.А. Стюарта (C.A. Stuart) и многих других.

Наряду с уравнениями Хартри рассматриваются уравнения типа Хартри, в которых функция

U{x) = / W{x₁y)\il){y)\ dy (5)

содержит потенциал самодействия W(x,y) более общего вида, чем кулонов-ский. Уравнения типа Хартри играют фундаментальную роль в некоторых

квантовомеханических моделях, а также в нелинейной оптике (см., например,⁵' ⁶' ⁷ ).

Математическая теория этих уравнений развита особенно глубоко для нестационарного случая (задача Коши) (см., например,⁸ ). Важные результаты были получены также и в спектральной теории таких уравнений (см., например,⁹' ¹⁰ ).

Методы квазиклассического приближения при h —> 0 для этого типа нелинейных уравнений начали систематически разрабатываться в работах В.П. Маслова и М.В. Карасева ¹¹' ¹²' ¹³. Задача здесь оказалась намного сложнее по сравнению с линейным случаем.

В работах ¹¹' ¹² было показано, что к уравнениям с интегральной нелинейностью типа Хартри могут быть успешно применены квазиклассические методы, разработанные для линейных уравнений. При этом предполагалось, что интегральное ядро в потенциале самодействия (5) достаточно гладкое. Случай сингулярного ядра, возникающий в реальных физических моделях, вначале не рассматривался. В таком гладком случае асимптотические собственные функции, сосредоточенные в точке, для уравнения Хартри были впервые построены в ¹⁴ и в ¹⁵. Они задавались гауссовыми пакетами, как в обычном методе ВКБ ¹⁴.

Затем в работе ¹³ была предпринята попытка теми же методами изучить случай сингулярного ядра самодействия. А именно, в ¹³ в главном приближе-

⁵ Боголюбов Н. Н. Об одной новой форме адиабатической теории возмущений в задаче о взаимодействии частиц с квантованным полем // Украинский математический журнал. — 1950.— Т. 2, №2. — с. 3-24.

⁶Пекар C.И. Исследования по электронной теории кристаллов. М.:Гостехиздат. — 1951. Achmanov S. A., Hocklov R. V., Suchorukov A. P. Self-fokusing, self-defokusing and self-modulation in nonlinear medium // Laserhandbuch. Vol. 2.— Amsterdam: Holland-press, 1972. — Pp. 5-108.

⁸Chadam J.M., Glassey R.T. Global existence of solutions to the Cauchy problem for time-dependent Hartree equation // Journal of Mathematical Physics — 1975. — Vol. 16. — Pp. 1122-1130.

⁹Lieb E.H., Simon B. The Hartree-Fock theory for Coulomb systems // Communication in Mathematical Physics. — 1977. — Vol. 53, №3. — Pp. 185-194.

¹⁰Lions P.L. Solutions of Hartree-Fock equations for Coulomb systems // Communication in Mathematical Physics. — 1987. — Vol. 109, №1. — Pp. 33-97.

¹¹Маслов В.П. Комплексные марковские цепи и континуальный интеграл Фейнмана. М.:Наука. — 1976.

¹²Маслов В.П. Уравнения самосогласованного поля // т. 11. — М.:ВИНИТИ, 1978. — с. 153-234. — (Итоги науки и техники. Серия Современные проблемы математики.)

¹³Карасев М.В., Маслов В.П. Алгебры с общими перестановочными соотношениями и их приложения. II. Операторные унитарно-нелинейные уравнения // т. 13. — М.:ВИНИТИ, 1979. — с. 145-267. — (Итоги науки и техники. Серия Современные проблемы математики.)

¹⁴Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М.:Наука. — 1977. ¹⁵Сименог И.В. Об асимптотике решения стационарного нелинейного уравнения Хартри // Теоретическая и математическая физика. — 1977.— Т. 30, №3. — с. 408-414.

нии были построены асимптотические собственные функции задачи (1), (2), отвечающие лагранжевым "радиально-симметричным"подмногообразиям Л³ С М³ 0К³ проекции которых на М³ являются шаром. Также был рассмотрен целый ряд приложений и обобщений этих решений. Одномерный случай был разобран в ¹⁶.

Отметим, что в случае шара особенность ядра трехмерного кулоновско-го взаимодействия, конечно, доставляет свои трудности, но не изменяет стандартного вида главной части асимптотики ¹³. Тогда же были начаты попытки построить асимптотические решения, отвечающие изотропным подмногооб-раям Л² С lj 0 М³ проекции которых на М³ являются плоскими дисками. Однако случай дисков оказался намного сложнее. И основным препятствием здесь служит логарифмический характер особенности ядра двумерного кулоновского взаимодействия.

В этой связи, в работе ¹⁷ заново был рассмотрен радиальный случай шара, но с большей, чем в ¹³, точностью по Н. Оказалось, что в младших членах асимптотики уже полностью проявляется сингулярность ядра трехмерного кулоновского взаимодействия, и это приводит к существенному изменению, например, правил квантования по сравнению с теорией обычного ВКБ-приближения. Поэтому решение задач об асимптотических решениях уравнений Хартри для случаев плоских дисков внутри М³ и отрезков прямых внутри М² потребовало очень кропотливого изучения модельных уравнений с сингулярными ядрами. Полученные результаты были опубликованы в работах [9-13]. При этом аналогия с картиной, характерной для обычного ВКБ-приближения ¹⁴, здесь почти полностью утрачивается.

Далее в работе В.В.Белова, Ф.М.Литвинца, А.Ю.Трифонова ¹⁸ для небольших квантовых чисел была найдена серия асимптотических собственных значений для оператора типа Хартри. Она отвечает точке покоя системы Га-мильтона-Эренфеста, ассоциированной с оператором Хартри.

Обычная конструкция асимптотических решений вблизи точек покоя или вблизи устойчивых замкнутых траекторий (маломерных торов) в теории

¹⁶Черных СИ. Квазиклассическая частица в одномерном самосогласованном поле // Теоретическая и математическая физика. — 1982.— Т. 52, №3. — с. 491-494.

¹⁷Карасев М.В., Перескоков А.В. Логарифмические поправки в правиле квантования. Спектр поля-рона // Теоретическая и математическая физика. — 1993.— Т. 97, №1. — с. 78-93.

¹⁸Белов В.В., Литвинец Ф.Н., Трифонов А.Ю. Квазиклассические спектральные серии оператора типа Хартри, отвечающие точке покоя классической системы Гамильтона - Эренфеста // Теоретическая и математическая физика. — 2007.— Т. 150, №1. — с. 26-40.

квазиклассического приближения всегда связывалась с гауссовыми пакетами. Общая теория такого типа была развита в работах В.М. Бабича, В.С. Булдырева и других математиков петербургской школы ¹⁹, а также в работах школы В.П. Маслова ^{14, 20, 21}, которые имели многочисленное развитие и приложения ( см., например, ^{22, 23, 24} ). Но во всех этих работах рассматривался только случай отсутствия частотного резонанса (у системы в вариациях над точкой покоя или системы в нормальном подрасслоении над маломерным инвариантным тором).

Резонансный случай начал систематически изучаться в серии работ М.В. Карасева, начиная с ²⁵, где обнаружилось, что здесь требуется принципиально иная конструкция асимптотики, которая использует когерентные состояния некоммутативной алгебры симметрий главной резонансной части гамильтониана. Появились новые модельные уравнения в неприводимых представлениях алгебр симметрий, которые реализуются как дифференциальные уравнения в пространствах полиномов.

На высоких (возбужденных) уровнях эти модельные уравнения имеют очень простую асимптотику решения. Но для уровней, близких к границе спектральных кластеров, эта простая асимптотика уже не работает. Границам спектральных кластеров энергий соответствуют маломерные инвариантные подмногообразия в фазовом пространстве исходной задачи (замкнутые траектории или торы). Таким образом, для асимптотических решений, локализованных на подобных маломерных подмногообразиях, аналитическое представление решений оставалось не исследованным вопросом. Принципиальная трудность резонансного случая здесь до конца не была преодолена.

¹⁹Бабич В.М., Булдырев В.С. Асимптотические методы в дифракции коротких волн. Метод эталонных задач. М.:Наука. — 1972.

²⁰Доброхотов С.Ю., Маслов В.П. Некоторые приложения теории комплексного ростка к уравнениям с малым параметром // т. 5. — М.:ВИНИТИ, 1975. — с. 141-211. — (Итоги науки и техники. Серия Современные проблемы математики.)

²¹Belov V.V., Olive V.M., Volkova J.L. The Zeeman effect for the ’anistropic hydrogen atom’ in the complex WKB approximation: I. Quantization of closed orbits for the Pauli operator with spin-orbit interaction // Journal of physics A: Mathematical and general. — 1995. — Vol. 28. — Pp. 5799-5810.

²²Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.:Наука. — 1981.

²³Hagedorn G.A. Semiclassical quantum mechanics. I. The h —> 0 limit for coherent states // Communication in Mathematical Physics. — 1980. — Vol. 71, №1. — Pp. 77-93.

²⁴Ralston J.V. On the construction of quasimodes associated with stable periodic orbits // Communication in Mathematical Physics. — 1976. — Vol. 51, №3. — Pp. 219-242.

²⁵Karasev M.V. Birkhoff resonances and quantum ray method // Proc. Intern. Seminar ”Days of Diffraction - 2004 ”. — St. Petersburg University and Steklov Math. Institute, St. Petersburg, 2004. — Pp. 114-126.

В докладе ²⁶, и в последовавших затем работах автора [6-8, 4], был предложен общий метод нахождения асимптотики спектра и асимптотических собственных функций вблизи границ спектральных кластеров, которые образуются около собственных значений главной части оператора в случае резонанса ее частот.

А точнее, после применения квантового метода усреднения и когерентного преобразования по схеме ²⁷' ²⁸ в модельной задаче на собственные значения в пространстве Vt многочленов степени не выше (где число ^> 1 ) была использована новая интегральная конструкция асимптотических решений, которые соответствуют границе спектрального кластера. Эта конструкция основана на следующих соображениях.

Наряду с пространством Vt рассмотрим дуальное ему гильбертово пространство Ve, состоящее из мероморфных распределений на С/{0} вида

Q ( Z ) —— / .

^ ^ ' / j ^п+1 '

п=0

В случае коммутационных соотношений Гейзенберга подобные распределения, а также преобразования между Vi и Vi, ввел Р.А.М.Дирак в лекциях ²⁹. Однако реальное применение мероморфные распределения получили лишь после появления работы М.В.Карасева и Е.М.Новиковой ³⁰, где помимо алгебр Ли были был рассмотрены также алгебры с нелинейными коммутационными соотношениями.

²⁶Перескоков А.В. Асимптотика вблизи границ спектральных кластеров // Международная конференция, посвященная памяти И. Г. Петровского( 23-е совместное заседание ММО и семинара им. И. Г. Петровского): Тезисы докладов. — М.:Издательство МГУ, 2011.— с. 260-261.

²⁷Карасев М.В., Маслов В.П. Асимптотическое и геометрическое квантование // Успехи математических наук. — 1984.— Т. 39, №6. — с. 115-173.

²⁸Карасев М.В., Новикова Е.М. Представление точных и квазиклассических собственных функций через когерентные состояния. Атом водорода в магнитном поле // Теоретическая и математическая физика. — 1996.— Т. 108, №3. — с. 339-387.

²⁹Dirac P.A.M. Quantum electrodynamics // Communications of the Dublin Institute for Advanced Studies, Ser. A. — 1943. — Vol. 1. — Pp. 1-36.

³⁰Karasev M.V., Novikova E.M. Non-Lie permutation relations, coherent states, and quantum embedding // Coherent Transform, Quantization, and Poisson Geometry. Vol. 187 — Providence, RI: American Mathematical Society, 1998. — Pp. 1-202. —(American Mathematical Society Translations Ser. 2)

Пусть двойственность между пространствами Vt и Vt задается с помощью оператора

/С : 7-^ —> 7^, (^ЧЛ (^) = K(w_} z)g(z)az,

2тгі J₁

а

К"¹ : 7>« - V,, (K-ig) (z) = -^i L(W, г)д(Ш),Ш

2тгі J₁

- обратное отображение. Здесь 7 - цикл вокруг нуля, который ориентирован против часовой стрелки, а K(w, z) и L(w, z) - воспроизводящее ядро и мероморфное воспроизводящее ядро соответственно. Отметим, что в случае пространства полиномов, на котором реализуется -ое неприводимое представление алгебры вращений so(3), эти ядра имеют вид

K(w,z) = (1 + wz) ,

~ ^—v п\( — п)\

иуш,л) ^ f\(wz)ⁿ⁺¹ '

Обозначим через G(u_}w) ядро суперпозиции операторов Кг¹ и /С. Для этого ядра в случае алгебры so(3), а также и для всех рассмотренных в ³⁰ алгебр, справедлива формула

G(v,,w) = __е , — и, (и — W)

В пространстве Vt оно определяет тождественный оператор, а на множестве J антиголоморфных в окрестности нуля функций соответствующий оператор является проектором на пространство 7-. Поэтому решение задачи будем

искать в виде

1 /

Фт = &(u,z)p(u)du, (6)

27ГІ ₁

где 7 - цикл вокруг точки й = 0, ар Є J является асимптотическим решением некоторой многоточечной спектральной задачи, из которой, помимо р, определяется также поправка в спектральной серии. Этот общий метод изложен в 1 первой главы диссертации.

Подчеркнем ключевую роль интегрального представления (6) при построении асимптотических собственных функций в случае линейных уравнений, а также уравнений типа Хартри с гладкими нотенциалами самодействия. Однако в случае уравнений Хартри с сингулярными потенциалами самодействия представление (6) оказывается неприменимым. Методы нахождения асимптотических собственных значений вблизи границ спектральных кластеров для таких уравнений, разработанные в [2, 3], излагаются в третьей главе диссертации. Здесь представлены методы построения асимптотических решений, локализованных вблизи маломерных подмногообразий, для уравнений Хартри, играющих важную роль в квантовых и волновых нелинейных задачах.

Изучение квазиклассической асимптотики спектра, а также разработка методов построения нерадиально-симметричных асимптотических собственных функций для операторов типа Хартри было начато в середине 1970-х годов В.П. Масловым и М.В. Карасевым ^{11, 12, 13, 14}. Эта задача оказалась намного сложнее по сравнения с линейной теорией. За последующие годы в работах автора и в его совместных работах [11–13] удалось существенно, а в некоторых задачах кардинально, продвинуться в теории квазиклассического приближения для такого типа уравнений. В частности, удалось построить решения, сосредоточенные вблизи маломерных подмногообразий ( например, вблизи отрезков в R² и плоских дисков в R³).

Цели и задачи диссертации

Целью диссертации является разработка новых квазиклассических методов решения спектральных задач в ситуациях резонанса частот старшей части гамильтониана или сингулярности потенциала, применимых как для линейных, так и для нелинейных уравнений типа Хартри в случаях, когда асимптотическое решение локализовано вблизи маломерного подмногообразия. Одной из главных задач является построение асимптотики спектра и асимптотических собственных функций вблизи границ спектральных кластеров в случае резонанса частот невозмущенного гамильтониана типа Шредин-гера или типа Хартри с гладким потенциалом самодействия. Второй общей задачей является асимптотическое решение уравнений Хартри в случае сингулярного (кулоновского) потенциала самодействия. Изучаются решения, не

являющиеся радиально-симметричными, и решения, сосредоточенные вблизи маломерных подмногообразий (отрезков и плоских дисков).

Научная новизна

В настоящей диссертации разработаны существенно новые методы решения ряда проблем, стоявших в теории квазиклассического приближения. Для уравнений с резонансной главной частью вблизи границ спектральных кластеров и уравнений с нелинейностью типа Хартри, в том числе кулонов-ского типа, найдены неизвестные ранее формулы для асимптотики спектра в высших приближениях и анзацы для асимптотических собственных функций, локализованных вблизи маломерных подмногообразий.

Положения, выносимые на защиту

1. Предложен общий метод нахождения асимптотики собственных значений и асимптотических собственных функций вблизи границ спектральных кластеров для линейных уравнений с резонансной главной частью, основанный на новом интегральном представлении полиномов.

2. Найдены асимптотики спектральных серий для возмущенного резонансного осциллятора вблизи верхних границ спектральных кластеров и для атома водорода в магнитном поле вблизи нижних границ спектральных кластеров. Построены соответствующие асимптотические собственные функции и получены формулы для асимптотики квантовых средних.

3. Предложен метод нахождения асимптотических собственных значений вблизи границ спектральных кластеров для нелинейных уравнений типа Хартри с гладким потенциалом самодействия, в котором дополнительно вычисляются асимптотики квантовых средних.

4. Найдены асимптотика собственных значений и асимптотические собственные функции для уравнений типа Хартри вблизи границ спектральных кластеров в случае, когда потенциал самодействия является многочленом от квадрата расстояния.

5. Найдены асимптотика собственных значений и асимптотические собственные функции вблизи верхних границ спектральных кластеров для

оператора Хартри в R³ с кулоновским взаимодействием и для резонансного осциллятора в R² с возмущающим потенциалом Хартри.

6. Построены асимптотические разложения для решений нового модельного уравнения "эйри-полярона".

7. Найдены локализованые вблизи отрезков в R² и вблизи плоских дисков в R³ асимптотические собственные функции уравнений Хартри. Выведены правила квантования типа Бора-Зоммерфельда, из которых определяются асимптотические собственные значения.

Методология и методы диссертационного исследования

В диссертационной работе применялись следующие математические методы.

1. Асимптотические методы и методы теории возмущений.

2. Методы аналитической теории дифференциальных уравнений.

3. Аналитические методы классического математического анализа и теории функций комплексного переменного.

4. Методы функционального анализа и теории линейных операторов.

Теоретическая и практическая значимость работы

С помощью нового, общего метода интегральных представлений полиномов решена старая задача построения асимптотики спектра и соответствующих асимптотических собственных функций вблизи границ спектральных кластеров, которые образуются около собственных значений главной части гамильтониана в случае резонанса ее частот. Эти функции локализованы вблизи маломерных подмногообразий. Данный общий метод применен для широкого класса нелинейных уравнений типа Хартри с гладкими потенциалами самодействия. Кроме того, для уравнений Хартри с сингулярными потенциалами самодействия найдены неизвестные ранее асимптотики спектра вблизи границ спектральных кластеров, а также новые анзацы для асимптотических собственных состояний, сосредоточенных вблизи маломерных подмногообразий: отрезков и плоских дисков.

Общие математические методы, развитые в диссертационном исследовании, могут быть использованы при анализе спектра в различных моделях квантовой механики. Эти методы позволяют найти асимптотику спектра вблизи границ спектральных кластеров, образующихся около собственных значений невозмущенного оператора, а также построить асимптотические собственные функции, которые не являются радиально-симметричными и локализованы вблизи маломерных подмногообразий. Предлагаемые в диссертации методы могут быть применены также при анализе прикладных математических моделей, встречающихся в различных областях современной физики, например, в задачах молекулярной спектроскопии и в наноэлектро-нике.

Достоверность полученных результатов

В диссертационной работе использовались строгие математические методы. Все новые научные результаты строго доказаны.

Апробация результатов диссертационного исследования

Результаты диссертационной работы были представлены автором лично на следующих международных научных конференциях:

5. Международная конференция ”Дни дифракции 2016” ( Санкт-Петербург, ЛОМИ РАН и СПбГУ, 27 июня – 1 июля 2016 г.).

6. Международная научная конференция ”Актуальные проблемы теории уравнений в частных производных”, посвященная памяти академика А.В. Бицадзе ( Москва, МГУ, 16 – 18 июня 2016 г.).

7. V Международная научная конференция ”Многомасштабные методы и моделирование: переход от микро- к макро- масштабу в механике и медицине” ( Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 25 – 27 июня 2015 г.).

8. XXII Международная научно-техническая конференция ”Информаци-онные средства и технологии” ( Москва, НИУ МЭИ, 18 – 20 ноября 2014 г.).

9. Международная конференция ”Дифференциальные уравнения и смежные вопросы”, посвященная 110-летию И.Г. Петровского ( XXIII сов-

местное заседание ММО и семинара им. И.Г. Петровского ) ( Москва, МГУ, 30 мая – 4 июня 2011 г.).

6. Международная конференция ”Асимптотики решений дифференциальных уравнений” ( Уфа, ИМВЦ УНЦ РАН, 26 – 30 мая 2002 г.).

Результаты исследований, представленных в диссертации, были доложены автором лично на следующих семинарах.

10. Семинар лаборатории ”Механика природных катастроф” ( Москва, Институт проблем механики РАН, 2016 г.).

11. Общегородской семинар им. А.М. Ильина по дифференциальным уравнениям математической физики ( Уфа, ИМВЦ УНЦ РАН, 2016 г.).

12. Семинар ”Дифференциальные уравнения” под руководством проф. Ю.А. Дубинского и проф. А.А. Амосова ( Москва, НИУ МЭИ, 2014 г.).

13. Семинар кафедры прикладной математики под руководством проф. М.В. Карасева ( Москва, МИЭМ, 2011 г.).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 13 работах в журналах, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы результаты докторских диссертаций. Список публикаций приведен в конце настоящего автореферата.

Личный вклад автора

Основные результаты диссертационной работы получены автором самостоятельно. Ему принадлежат результаты, изложенные в первой главе ”Асимп-тотика спектра и квантовых средних вблизи границ спектральных кластеров в случае линейных уравнений”, во второй главе ”Асимптотические решения уравнений типа Хартри с гладкими потенциалами самодействия” и в третьей главе ”Асимптотические решения уравнений Хартри с сингулярными потенциалами самодействия”, а также в 2 четвертой главы ”Асимптотические решения уравнений Хартри, сосредоточенные вблизи маломерных подмногообразий. Теория эйри-полярона”. Результаты, содержащиеся в 1 и 3 четвертой

главы, были получены совместно с М.В. Карасевым. Личный вклад автора в 1 четвертой главы заключается в построении асимптотических разложений для эйри-полярона, а в 3 четвертой главы - в построении асимптотических решений уравнения Хартри и выводе правила квантования.

Структура и объем диссертации

Асимптотика спектра и квантовых средних возмущенного резонансного осциллятора вблизи верхних границ спектральных кластеров

Уравнение самосогласованного поля во внешнем поле, содержащее интегральную нелинейность типа Хартри с гладким или негладким потенциалом самодействия, играет фундаментальную роль в квантовой теории и нелинейной оптике. В частности, такие уравнения возникают в теории полярона, который можно рассматривать как простейший пример частицы, взаимодействующей с квантованным полем [11], в теории конденсата Бозе-Эйнштейна [75; 76; 122; 123], при нахождении электронных орбиталей в многоэлектронных атомах [90], а также при рассмотрении сред с пространственной дисперсией [94].

Асимптотическим решениям уравнений типа Хартри, локализованным вблизи маломерных инвариантных подмногообразий в фазовом пространстве, посвящено большое число работ ( см., например, [2; 7; 9; 30; 40; 41; 48; 51; 65; 82] ). Особенностью задачи (0.23), (0.24) является то, что она относится к классу резонансных.

В 1 найдены асимптотические собственные значения нелинейного оператора типа Хартри вблизи верхних границ спектральных кластеров [66; 69]. Для Є N порядка h 1 имеем: Л = \к/ = h + h+(w0 + 2hwi + 92h2w2)h2 + (2wi + 2hw2(9 -2л/б(к + 1/2)))Н3 + 0(Пі), A; = 0,1,2,..., h - 0. (0.25)

Этим собственным значениям будут соответствовать однопарамет-рические семейства асимптотических собственных функций.

Помимо нелинейности имеется еще целый ряд свойств, отличающих задачу (0.23), (0.24) от рассмотренных ранее задач. Например, после усреднения и когерентного преобразования в случае уравнения (0.23) получается уравнение (2.15), имеющее иррегулярные особые точки. Оно не является уравнением класса Фукса, как было для уравнений (1.38), (1.248). Далее в 2 найдены асимптотические собственные значения задачи (0.23), (0.24) вблизи нижних границ спектральных кластеров. Для Є N порядка h-l они имеют вид Л = Ам = П + П + (w0 + 2hwi + 62h2w2)h2+ +(2wi + 2hw2{2k + l)))h?, + 0(hA), fc = 0,l,2,..., h -+ 0. (0.26) Им соответствует однопараметрическое семейство асимптотических собственные функции, которые получаются из многочленов / к ФМСЮ = у [( z-iY-k(z+i)kcosa + (z+i)-k(-z-i)ksina}} (0.27) где а Є Ш, применением когерентного преобразования (1.24) и де-усредняющего преобразования (1.23).

Укажем ряд отличий, возникающих при изучении нижних границ спектральных кластеров. Во первых, в случае нижних границ в уравнениии (2.117) происходит слияние точек поворота и особых точек z = ±г, которого не было при рассмотрении в 1 верхних границ кластеров. Во вторых, решения, отвечающие нижним границам спектральных кластеров, локализованы в малых окрестностях сразу двух точек z = ±г, а не одной, как было в случае верхних границ. Вследствие этого усложняется процесс согласования асимптотик.

Наконец, во второй главе рассмотрена задача на собственные значения для нелинейного оператора типа Хартри в L2(WL2) (Но + є [ W(q, q ) \ ф(4) 2 dq ) = Хф} (0.28) Ыьцщ = 1, (0.29) где потенциал самодействия имеет отличный от W(\q — q \2) вид [72; 151] W(q}q ) = (qi - q lf{q2 - q 2f + B(Ql - q[)(q2 - q 2). (0.30) Здесь В - константа, Но — двумерный осциллятор (0.15), Н 0, є 0 — малые параметры, причем є С Н. Для определенности положим є = h . Оператор типа Хартри с потенциалом самодействия вида W = W{q\ — q[}q2 — q2) ( см. формулу (0.30)) может возникать при изучении взаимодействий в плоских квантовых решетках. Для него в 3 найдены асимптотические собственные значения вблизи верхних границ спектральных кластеров l2hA л = лм = m + h + р(2& + 9)+ + -(-V(b + 6)(& + 7)(2к + 1) + 26 + 9) + 0(а4 ), а 0. (0.31)

Здесь А; = 0,1,2,..., число имеет порядок /г-1, а параметр Ь л/б — 4 связан с входящим в (0.30) параметром В соотношением (1.31). Отметим, что после учета дополнительной поправки основные результаты 2 первой главы оказываются справедливы и для задачи (0.28), (0.29), поскольку в результате усреднения оператора типа Хартри с потенциалом самодействия (0.30) получается оператор, близкий к усредненному оператору из 2 первой главы. Третья глава диссертации состоит из двух параграфов и посвящена изучению уравнений Хартри с сингулярными потенциалами самодействия. Метод, использованный в первой и второй главах диссертации, не применим в случае уравнений с сингулярными потенциалами самодействия. Ниже для оператора Хартри в Ж будет изложен метод построения нерадиально-симметричных асимптотических собственных функций, основанный на решении нелинейного интегрального уравнения (3.24). Они соответствуют асимптотическим собственным значениям, расположеным вблизи верхних границ спектральных кластеров. В случае оператора Хартри в Ж используется разделение переменных.

В 1 рассмотривается задача на собственные значения для нелинейного оператора Хартри с кулоновским взаимодействием в L2(M3) 1 Г I ilj(ar) I2 (-А - — + є / \ПІ) МЫ = \ф, (0.32) \q\ Jwiq-q i IMU2(R3) = ! (-33) где A — оператор Лапласа, є 0 — малый параметр. Хорошо известно [92], что при є = 0 собственные значения А = Хп(е) задачи (0.32), (0.33) равны ш = - . Здесь п = 1,2,... — главное квантовое число. Для задачи (0.32), (0.33) имеются теоремы существования, в частности, для нижней точки спектра, отвечающему основному состоянию [142; 144]. В работе [39] при п = 2 доказано существование состояний, не обладающих сферической симметрией, а также найдено пять ветвей собственных значений, выходящих из невозмущенной точки спектра.

Асимптотическое решение многоточечной спектральной задачи. Вычисление поправки в спектральной серии

Рассмотрим уравнение (1.29), где функция / имеет вид (1.20). Учитывая формулы (1.28), приходим к уравнению И ф Иф H2 [zA - 4z 2 + 1] -==- + 2П \-(2а - fc) 3 - ВІ1 + 2(2а - h)z + В] =-+ dzz L J az +2 [a(2a - h)z 2 + 2Baz - 2M + 2аЩ Ф = 0. (1.38) ( Для упрощения обозначений индексы к, у функции Ф( ) будут ниже опущены ). Оно имеет 4 особые точки \/3 + 1 _ \/3-1 _ _ _ _ , 2і = —у=—, z2 = —-j—, 23 =-22, г4 = -2і, (1.39) которые являются корнями уравнения R(z) = 0, где R(z) = z4-4z2 + l, (1.40) а также особую точку z = 00. Так как все 5 особых точек являются регулярными, то (1.38) есть уравнение класса Фукса [20; 83].

Рассмотрим фуксовы уравнения с точки зрения наличия полиномиальных решений. Фуксово уравнения с тоемя особыми точками называется уравнением Римана. Каноническая естественная форма этого уравнения — гипергеометрическое уравнение. Уравнения гипергеометрического класса порождают хорошо известные системы классических ортогональных полиномов [6]. Для фуксовых уравнений с четырьмя (уравнения класса Гойна) и с большим числом особых точек подобной теории не существует. Как отмечено в [83], имеются лишь частные случаи, когда для уравнений класса Гойна можно построить решения, являющимися полиномами. В данном параграфе будут найдены асимптотические собственные значения и соответствующие собственные функции (многочлены) для задачи (1.38), (1.30) с пятью особыми точками.

Нам потребуется ряд результатов из теории когерентных преобразований [137]. Наряду с пространством Vi многочленов степени не выше рассмотрим дуальное ему гильбертово пространство Vi, состоящее из мероморфных распределений наС/{0} вида (0.6). Норма в пространстве Vi вычисляется по формуле Ш%. = т у Ф Ф K(w,z)g(z)g(w)dzdw, 1ТР — (nZ\2 где контурные интегралы взяты по циклам 7 вокруг точки z = 0 , которые ориентированы против часовой стрелки, а воспроизводящее ядро K(w}z) определено формулой (0.9). Справедлива [137]

Лемма 1.5. Двойственность между пространствами Ті и Vi задается отображением (0.7), а обратное отображение имеет вид (0.8), где мероморфное воспроизводящее ядро L(w}z) определено формулой (0.10).

Отметим, что в случае коммутационных соотношений Гейзен-берга версия мероморфных когерентных состояний была введена в работе Дирака [113]. Эта работа наряду с [112] демонстрирует широкие возможности использования комплексного анализа для решения задач квантовой механики.

Обозначим через G(u,w) ядро суперпозиции операторов /С-1 и /С. Из формул (0.7) - (0.10) вытекает, что (7(й, w) = -—: х K(w} z)L(u, z)dz = Ядро (1-41) в пространстве Vi определяет тождественный оператор, а на множестве J антиголоморфных в окрестности нуля функций соответствующий оператор является проектором на пространство

Те Будем искать решение уравнения (1.38) в виде (0.12), где функция р Є J, a \J задается формулой (0.11). Рассмотрим действующие в Vt операторы 0 / d d d A = h(--z -), B = HzU-z -), C = h , (1.42) v2 dzh v olzh оІҐ v 0 0 0 которые связаны с S\, S2, 5 3 равенствами 0 100 о 100 о о Si = -(B + C), S2 = -(C-B), S3 = A. 000 Под действием отображения (0.12) операторы А, В, С преобразуются в операторы А, В, С : J — J. Справедлива Лемма 1.6. Оператор А имеет вид Доказательство. Поскольку z dG(u,z) z(-(+ l)zu + zi+l +йі+1) dz ui+1(u — z)2 dG(u,z) ,n л.„( ч u(ui+l-( + l)uz + zi+v ди ue+1(u — z)2 то _dG(u,z) +_dG(urz) = oz ou Следовательно, o_ h f _ д АФ ) = —г—. ф (- + 1 + u—)G(u, z)p(u)du zni J1 2 ou h f _ d _ _ If - _ _ G(u,z)(- - u—)p(u)du = --—г ф G(H,z)Ap(u)du. 2тгі J7 2 du 2тгі dl Лемма доказана. Лемма 1.7. Оператор В имеет вид В = Пй(-й ). (1.44) du Доказательство. Поскольку (z 2— + u 2—)G(u,z) = -( + l)uG(u,z)+ oz ou й2(йі+1 -{ + l)uz + zi+l) z2(-( + l)zu + zi+l + ui+l) + ue+1(u - z)2 ue+1(u - z)2 = -(u-z)G(u,z) -2uG(u,z) + + 1, TO ВФ(г) = - - і(й2Щ - + { + 2)uG(u,z))p(u)du+ 2ni J7 ou h + l (fp(u)du. (1.45) 2тгі dl Так как p(u) Є J , то второй интеграл в (1.45) равен нулю. Следовательно, ВФ{г) = % г _ d _ _ If - _ _ = - -—г z G(u, z)u( - u—)p(u)du = - -—: z G(u, z)Bp(u)du. Zj l\ І J sy \AJ (Лі ZJ l\ І J sy Лемма доказана. Лемма 1.8. Оператор С имеет вид С = Ц --% -). (1.46) коШ \dui+lJ У ! Доказательство. Поскольку dG{% z) dG{% z) -{ + l)zeu + zi+l + ui+l dz du ui+1(u — z)2 + { + l)(ui+l - zi+l) ui+l -{ + \)ulz + zi+l (I + l)z ue+2(u — z) ue+1(u — z)2 ue+2 ri&G{u,z))= . (+l y U l)f+1 (+1 , „te ,„ (-Df+1 &» ,N -w- , « + 1)5 то справедливо равенство dG(u,z) dG(%z) (-l)m де+1 ті/ dz дй \ дй {иС{щг)) Следовательно, Я h І .dp(u) 7_ h 1-і„, ,di+lp(u) 7_ СФ(г) = ф G(u, z) , du Н ф vrGiu, z) jrr du -—: z G(u, z)Cp(u)du. Лемма доказана. Таким образом, под действием отображения (0.12) изменился лишь оператор С. В силу (1.43), (1.44), (1.46) образующие алгебры вращений принимают вид 1 - - h d J7e de+1 -й =?( - 1+ ;1+?1 55 а уравнение (1.38) преобразуется в уравнение ( + \sl + BS, - м) р = 0. (1.50) Рассмотрим окрестность нуля, задаваемую неравенством \u\ Z2 — S, (1-51) где Z2 = (л/3 — 1)/л/2, а 5 0 — константа. В этой окрестности асимптотическое решение уравнения (1.38) задается ВКБ - приближением [57; 88] S WKB( z) = t{z)e z\l + 0{Г1)), і -л оо. (1.52) Здесь s( z)}t(z) — антиголоморфные функции, причем t(z) = 0 . При подстановке &WKB(u) в (1.50) возникает невязка W, которая в области (1.51) имеет вид W = 0(r4WKB)+n &WKB, (1.53) где оператор Л _ /a\2_d _ _d _ a 2 2 в_ rf-i de+i П U due+l \ due+l + К + ГИ aU Ч\ due+l + Выражение 0( 2 &WKB) в (1.53) представляет собой оценку невязки ВКБ - приближения, когда в уравнении (1.50) вместо S\, S2 00 Л Л фигурируют 5 1, 5 2 , а n$WKB возникает из-за наличия в Si, S2 до полнительных слагаемых (1.55) hvf de+1 Шйе de+1 2 \ due+1 2 \ due+1 Покажем, что пФ дает экспоненциально малый вклад по срав нению с 4WKB . Лемма 1.9. В достаточно малой окрестности нуля справедлива оценка пФ]КВ = 0(Г00Ф]КВ), ос. (1.56) Доказательство. Получим оценку (1.56) для первого слагаемого в (1.54), так как остальные слагаемые рассматриваются аналогично. Пусть 7ь 72 — окружности с центром в нуле радиусов Ro и Зі?о/4 соответственно, причем RQ Z2 — 8 Тогда при и Ro/2 в силу интегральной формулы Коши имеем:

Квазиклассическая асимптотика спектра двумерного оператора Хартри вблизи верхних границ спектральных кластеров

Подставим асимптотическое решение многоточечной спектральной задачи p(z) в правую часть формулы (0.12) и вычислим асимптотику возникающего интеграла. Подынтегральная функция в (0.12) не имеет точек перевала. Поэтому воспользуемся интегральной теоремой Копій. Лемма 1.18. При z ф [z-}z+] и таких, что г " 1 z а3/ z — z± а1/2 1.130) определенный формулой (0.12) многочлен Ф(г) представим в виде Ф(г) = Ф WKB, z) + N(z) 1.131 где N(z) WKB, +1 Ф z u)du 2ni J1+ _ ue+1 (и — z) 1.132 Здесь замкнутый контур 7+,- является отрезком [z-} z+], проходимым дважды соответственно по верхнему и нижнему берегу разреза, соединяющего точки Z-} z+, который ориентирован против часовой стрелки.

Доказательство. Пусть z лежит вне цикла 7? z [ -? +] и выполнены условия (1.130). Рассмотрим контуры, изображенные на рис. 1.3. Окружность с центром в точке z = 1 имеет радиус порядка а3/8, а окружности с центром в z± — порядка К1 2. Восполь 80 зовавшись интегральной теоремой Коши и интегральной формулой Копій, представим интеграл по 7 в следующем виде: _+1 WKB d- ze+1 Г Фшкв(й)(Ш Ф(г) л л 2ni J ие+1(и — z) 2ni J _ ие+1(и — z) e+1 л QWKB fa tf+1 гфпкв сш ze+1 Г S WKB(u)du z 2ni Jlx ue+1(u — z) 2ni J ue+1(u — z) 2-кі Jlco ue+1(u — z) (1.133) Изучим входящие в (1.133) слагаемые. Из интегральной формулы Коши вытекает, что 27ГІ j _ ui+1 (и — z) Далее в силу антиголоморфности подынтегральной функции , фУгкв сШ 0, Тъ ui+1(u — z] 1 - v - = o Чоо ue+1{u-z) согласно теореме о вычетах и (1.127). Наконец, учитывая (1.90). (1.91), продеформируем контур 7 в контур 7+,-- В результате, равенство (1.133) принимает вид (1.131). Пусть теперь z лежит внутри 7 Тогда i+1 г фпкв йа W = =""« +к/ТІ+ 1 - ("34) Интеграл в (1.134) преобразуется аналогично случаю, когда z лежит вне 7 В результате, снова приходим к формуле (1.131). Лемма доказана. Перейдем к рассмотрению z , расположенных внутри 71 Аналогично (1.133) находим, что Ф(г) z 1+1 , фігкв сШ zi+l I Фшкв(й)о!й 2тгі Jlx ue+1(u - z) 2iri Jloo ue+1(u - z) z +1 ГФ]КВ{й)оІй 1 K —. 1.135 2iri J ue+1(u - z) Интегралы по контурам 7 и j в (1.135) были изучены выше при доказательстве леммы 1.18., а интеграл по контуру 71 вычисляется с помощью интегральной формулы Коши. Таким образом, справедливо равенство ф(г) =p(z)+N(z), (1.136) гдер( ), N(z) определены формулами (1.122), (1.132). Как следует из (1.131), (1.136) функция N(z) равна разности между полиномом Ф( ) и асимптотическим решением многоточечной спектральной задачи. Вычислим значения входящей в (1.132) функции Ф- (z) на контуре 7+,- ) которые потребуются далее при изучении асимптотики N(z). Главный член ВКБ-приближения & oB(z) задается формулой (1.125). Непосредственным дифференцированием доказывается Лемма 1.19. Справедливо равенство d- $ W«B (-z) = ( г+ &wffB(z)dz - u v y \h 2 \/&2 + 46 + 6(z-l)v/A(S R(z) 2z3 + bz2 - 4z - b W) z2 + (l + 37/2)z-7/2 (z-l)A(-z) 2( + 1/2) 1 + 7/2 1.137) где R(z), A(z) определены формулами (1.40), (1.73). Равенство (1.137) будет использовано при доказательстве следующей леммы. Лемма 1.20. Функция N(z) при z [z-}z+], h — 0 представима в виде

z N(z) +1 с П(ж, К) 7Г ./ ХЄ+1(х — Z sin(e(x,h) + p )dx(l + 0(VK)), (1.138) - л/бх + 1 где П(ж, К) х .(a+h/2)(l+b/VE)/(2h) у/1 — X4{x — Z-)(z+ — х) X 2, Г? , -, ,(a+V2)(l-b/V6)/(2ft) х ж + V6ж + 1 , 9(ж, л) а 1\ 1 а + 22Х х 1 + \/б, У arcsin .3= + 2 [zi+j + 1 + 7)ж + zi+J(z2-j + 1 + 7) v:r - zi+j + У arcsin + \/б, . (z3+j + 1 + 7)Ж + Zz+j(Z4-j + 1+7) 1 IAJ 3+j)\/7(7 + 2; + + ( + i) arcsin 2±I±lj, С = c_(47(7 + 2)f " 2+1/4(4 + 27)fc/2+1/4, P .тг +1)/ & \/6y 1.139) 1.140) Доказательство. Обозначим через Ф $в(х + іО) и Фт5( в(ж — гО) значения функции (1.125) на верхнем и нижнем берегах разреза, х Є [z-,z+] . Пусть s1{x)/h i(s2(x)/h+(fi(x)) Ф 5(ж + г0) = (ж)ев1 /ле 1.14Ґ чУ+ifB Поскольку Ф_ о (х — Ю) = Ф_ Q (Х + Ю), то справедливо равенство -i+i , фУУКВ й zi+l [ t(x)e8 h sin (s2(x)/h + ф)) xi+l(x — z) 7Г 2ni J1+_ иі+1(и — z) dx. Из (1.137) вытекает, что при х Є (z_, z+) s[(x) t (x) _ a 12x3 + bx2-4:X-b x2 + (1 + 3 /2)x - 7/2 h +l(x) П + Г ЁЩ (x-l)A(x) (1.142) Разлагая (1.142) на простейшие дроби и затем интегрируя их, находим, что t(x)eSl yX"h = с П(ж, К). Здесь с — константа. Далее в силу (1.137) на верхнем берегу разреза s 2(x) ,, , fa 1 \л/Ъ2 + 46 + 6(х - l)J-A(x) 1.143) 2( + 1/2) 1+7/2 (I-IJV AW Вычислим интеграл от правой части (1.143). При ж Є (z_, z+) справедливо равенство dx 1 . / /2 + 7ж + 1\ arcsin л / + С, У (ж-1)у/1Щ /4Т2 VV 7 ж-1 где С — произвольная константа. Интеграл [ (х- 1)у/-Л(жч -(ІЖ Д(ж) находится аналогично (1.86). При этом используется следующая формула [21] \/Х(х) 7 /w . Ъ . 2ах + Ъ ,— . Ъх + 2с -ах=\/Х{х) == arcsin—, . — у— с arcsin J X v v у 2у - зд жу А +с. Здесь Х(ж) = ах2 + 6ж + с, причем с 0, а О, Л = 4ас — б2 0. В итоге получаем, что S2(x)/h + р{х) = 0(х,Н) + (/? , где (/? — константа. Значения констант с , (/? определяются в результате сравнения асимптотик функций (1.125), (1.141) вблизи z+. В силу равенств {Zi+j + 1 + j)z± + Zi+j(Zi-j+i + 1+7) yZ± %i+j ) W+2) Tl, i = l,3;;/ = 0,l; 2 + 7z± + l Tl, V 7 ± - 1 приходим к формулам (1.139), (1.140). Лемма доказана. Отметим, что если z Є (z-i z+), то при разложении Ф( ) также возникает интеграл (1.138), который берется уже в смысле главного значения. Изучим поведение подынтегральной функции в (1.138). Она содержит экспоненту eaS (x)/h ГдЄ s =l{1+ii)lnlx2-v 6x+ll+l{1-ii x X In I x1 + v6x + 1 I — 2In x 1.144) Лемма 1.21. Функция S (x) достигает наибольшего значения на отрезке [z-} z+] в точке z+ . В этой точке 6/V6" SJz. In (I Z (6-4(1 + 7) 2W /3 + /2(l + 7) \/3-V (l+7) -,1/2 Доказательство. Найдем интервалы монотонности S (х). Дифференцируя (1.144), имеем: Оф ( X ; М{х) xR{x) 1.145) где М(х) = Ьх3 + Ах2 — Ьх — 2. Так как особые точки удовлетворяют неравенствам (1.76), то при х Є [z_,z+] знаменатель дроби в (1.145) больше нуля. Поэтому достаточно изучить расположение корней уравнения М(х) = 0. 1.146) Вычисляя значения М(1) = 2, М(0) = -2, М(-1) = 2, 2\/2 M(z3) = A(b-y/6)( zr ч 0, М(г4) = 4(6-л/б)(г4 + ) 0 2\/2У получаем, что корни уравнения (1.146) Х\,Х2,х% лежат на следующих интервалах: Х\ Є ( 4,-1), х і Є ( з,0), ж з Є (0,1). Следовательно, функция М(х) на [z_,z+] может иметь лишь один нуль. Вернемся к рассмотрению функции S (x). Так как S[( — 1) 0, то S1 (х) либо возрастает на всем отрезке [z_,z+], либо сначала убывает, а затем возрастает. Поэтому ее максимум достигается на конце отрезка. Вычисляя значения функции в точках z± , получаем ЛІ/2 ь/v S (z±) = In (I z± (6-4(1+ 7) "\/3 + \/2(l + 7) \/3-\/2(l+7) (1.147) Так как z+ z_ , то наибольшее значение достигается в точке z+. Лемма доказана. Найдем, наконец, асимптотику функции N(z). Рассмотрим интеграл в правой части (1.138). Из леммы 1.21. вытекает, что основной вклад в асимптотику этого интеграла вносит малая окрестность точки поворота Z+. Справедлива Лемма 1.22. При — оо, z z-i z-\-n + 1, b _ имеет место равенство z — Z N(z) c_Tcy+i)/V+i _ _ _ _ 3/4 ( [1 + O(Vh) + 0(: Z — ZA )) 1.1481 Здесь c-z+ = 32( /3 + /2) /у(7 + 2)2(\/1 + 7/2 + \/772)4х х (1 + 7( /б - 2))1+ь/ (1 - 7( /б + 2))1"6/ , Т = (-1) +1 х Г(3/4) sin (тг( + 1)(&/\/б - 1)/4 + тг/4) z+ 2 (1 - 27(т + 2))3/4 Х 7г (M(z+)) 3/4 7fc/2+3/8 (7 + 2) 3/8 2fc/2"3/4 Г (ж) — гамма функция. Доказательство. Разлагая подынтегральную функцию в (1.138) по степеням z — z+, находим, что eg 4 - Убг+ +111+6/ 4 + /s + +111-6/ ) 1)/4 (Z) " тг Г (-1) +1 I z+ + (z+ - z_) X x sin (( + 1) - (k + i) + (/? )/ + - e ( )( +)/ x 2 2 2 J.QO v + ж xzm(l + 0(Vh) + 0( )), (1.149) Z Z-L где Ш+) = ДЙ о. Z+i?(Z-Интеграл в (1.149) вычисляется по формуле [87] / 00 / т/-1е Хха(іх = \-?/аГ (/3/а), ReA О, в которой параметры а = 1, /3 = 3/4. Учитывая (1.139), (1.140), приходим к равенству (1.148). Лемма доказана. 2.9. Сравнение ВКБ-приближения с асимптотикой N( z) Многочлен Ф( ) может быть представлен в виде суммы (1.131). Оценим , какой вклад в эту сумму дает ВКБ-приближение (1.124), а какой — функция N(z). Вначале рассмотрим случай, когда значение I z I велико. Из формулы (1.148) вытекает, что при z — оо, — оо W« = Ы М! + 0(\) + О(Л)). (1.150) Сравнивая (1.150) с (1.127), получаем, что если z , — оо, то й T-(2 + v/4T2 )fc+1/2 Vm)/4 (l + 0(i) + 0( )). ф лгв ) 3/4 v v /У Сооу v кш, (1.151) Поведение правой части (1.151) при — оо определяется отношением (7) = 472 = х Со ll + l + 7( 6-2) х , ч v (b- /6)/ /3 1 + /1-7( + /l-7(\/6 + 2) (V/r+ 72 + v/772)4, (1.152) где в силу (1.74) число Ъ выражается через 7: Ъ = — 2 + 1/7 + /(—2 + I/7)2 — 6. Таким образом, отношение Cz+/cO0 представляет собой функцию от параметра 7 на (0,7о), где 7о = 1/(л/б + 2). Упрощая выражение в правой части (1.152), получаем Лемма 1.23. При 7 Є (0,7о) справедливо равенство с-7 ОО с, ч -0+7( /6-2) (7) = 472( (1 + 1/А/1 + 7( /6-2) (1+ 0= (Vl+7(V6-2)+Vl-7(V6+2))/(V37) X +1/ 1-7(V6+ 2) J X(V/1+7/2 + V/T72)4- (1-153) Оценим отношение Cz+/cO0. Поскольку значение 7о 0.2247 мало, то интервал (0,7о) можно разбить на две части (0,0.18], [0.18,7о) и далее с помощью формулы Тейлора оценить функцию (1.153) на каждой из этих частей. Так как на концах интервала Нт Ы = 0, 7 0 Соо с-7. ІІІГ1 7- 7о Сс "(7) + 2 /6 + 5) 3 {л/3 + л/2){\/27з+ vV3 + \/2) 0.0518, то справедлива Лемма 1.24. При 7 Є (0,7о) имеет место неравенство 1.154) Отметим, что численные расчеты приводят к изображенной на рис. 1.4. зависимости с ,/CQO от 7 : 0. Рисунок 1.4 WKB, z Таким образом, при — оо правая часть (1.151) экспоненциально мала, а, следовательно, при достаточно больших z функция N(z) является экспоненциально малой поправкой к Ф

Асимптотические разложения эйри-полярона при — оо

Рассмотрим задачу об атоме водорода в магнитном поле. В исследуемой модели нерелятивистский гамильтониан атома водорода в однородном магнитном поле имеет вид (0.20), (0.21), где через х = (х\,Х2,Хз) обозначены декартовы координаты BR3, А — оператор Лапласа, магнитное поле направлено вдоль оси х%; параметр є в (0.20) пропорционален напряженности поля. Эта задача представляет большой физический и математический интерес. Ей посвящено большое число работ ( см., например, [47; 84; 95; 99; 100; 109; 116; 130]).

Применим изложенный в 1 общий метод к задаче об атоме водорода [71; 153]. В 3 с помощью этого метода будет найдена асимптотика спектра атома водорода в магнитном поле вблизи нижних границ спектральных кластеров (см., теоремы 1.9. и 1.12., где приведены формулы для асимптотических собственных значе 106 ний и собственных функций). Подчеркнем, что полученная формула для асимптотики собственной функции глобальна. Получить ее стандартными методами, такими как лучевой метод или теория комплексного ростка, невозможно.

Зафиксируем целое число т. В пространстве L2(M3) рассмотрим задачу на собственные значения для гамильтониана (0.20) и для третьей компоненты углового момента: о + e2W) = Еф, М3 = тф. (1.202) Следуя [38], произведем регуляризацию гамильтониана (0.20). Для каждого п 1 и Е 0 введем параметры v и /І, новую переменную q Є М3 и функцию ф по формулам Е = -- , Ц = Є2П6ІУ\ q = r, ф(х) = Щ. (1.203) Кроме того, положим Н = 1/п и рассмотрим операторы , ., д д ч М3 = дц-гд-г—) - Я2{-ш dq2 dqi Замена (1.203) приводит к следующей спектральной задаче (S0 + фі)ф = іуф} М3ф = Птф (1.204) в гильбертовом пространстве L _(M3) со скалярным произведением Число z/ в (1.204) — это искомое собственное значение, а /І 0 -параметр. Задача (1.202) на подпространстве, отвечающем отрица 107 тельному спектру Е 0 , эквивалентна спектральной задаче (1.204) в L2_(M3). Отметим, что в отсутствие магнитного поля спектр оператора So целочисленный \hN\N = 1,2,3,...}. В частности, So имеет собственное значение Нп = 1. При /І 0 будем рассматривать ветви собственных значений оператора So + /iSi , равные 1 в пределе при /І = 0. Они имеют вид 1 + /ІА ТО;П(/І), где А ТО;П(/і) - некоторые гладкие функции в окрестности/І = 0, к - номер ветви. Соответствующие собственные функции задачи (1.204) обозначим / ТО;П(д,/І). ( Ниже для краткости обозначений номера т и п в индексах будут опускаться.) Определив из (1.204) функции А&(/і), МОЖНО затем из системы уравнений 1 + ц\к(р) = ь , /i = AV (1.205) найти V = Vk{e) И /І = /і/г(є).

Предположим, что є2п7 1 и v порядка 1. Тогда /і « 1 , и к задаче (1.204) можно применить квантовую версию метода усреднения [33; 38; 163]. Согласно этому методу найдем такой обратимый оператор U и такой оператор Si + /iS2, чтобы IT So + /iSi)U = So + /iSi + /i2S2 + 0(//), [Si + /xSa, So] = [Si + /xSa, M3] = 0. (1.206) Новый возмущающий оператор Si +/iS2 коммутирует со старшей частью So и с оператором Мз- Поэтому решение спектральной задачи (1.204) сводится к решению такой задачи для оператора Si +/iS2 на L[m,n] С L M3) — совместном подпространстве функций, одновременно являющимися собственными функциями операторов So и Мз- Так как z/=l+/iA(/i), 4 (q,ii) = \J(p(q,ii), (1.207) то усредненная задача принимает вид S0tp = ip, Мз = hrnip, (1.208) (Si + /iSs + 0(p2))ip = \ p. (1.209) Отметим, что для реализации этой идеи должно выполняться условие exp{- S0} = /, (1.210) а где / - единичный оператор. Поскольку в рассматриваемой задаче спектр оператора So целочисленный, то условие (1.210) выполнено. Оператор U вычисляется явно [38]. Определим Si = — / (7г - г) ехр { —-So} Si exp {—S0}dr. 0 Тогда U = expj-i/mSi} + 0(А6). (1.211) Преобразование (1.211) называется деусредняющим. Оно позволяет перейти к приближенным собственным функциям исходной (неус-редненной) задачи. Решение задачи (1.208), (1.209) можно представить в виде р = (Pk + 0(є2п6), где {(pk(q)} - ортонормированный базис собственных функций Si, отвечающих некоторым собственным значениям : Борк = (рк, М3рк = hrrupk, Бгрк = да. (1.212) 109 Собственные значения Л = Хк(р) полной задачи (1.208), (1.209) имеют вид \к(ц) = & + [Щк + C(/i2), где щ = (S2jPk, Pk)— (1.213) Далее, приближенно решая систему (1.205), находим: Щ{е) = 1 + є2п% + е\і12{щ + 4Й) + 0(А18), fik(e) = є2п6 + 4є4п12& + 0{є6п18). Подставляя эти выражения в (1.203), (1.207), (1.211), получаем, что асимптотика решения исходной задачи (1.202) задается формулами [38] Ек = + \е2п% + -/п1\2щ + 5Й) + 0(А16), (1.214) фк(х) = -zexp{-ie2n7S[} ірк + 0(є2п6)} (1.215) nL где функции в правой части (1.215) берутся в точке х/(п2щ(е)). Рассмотрим алгебру Tquant Карасева-Новиковой, состоящую из первых интегралов пары So, М3 [38; 137]. Ее образующие Во, Bi, В2, В3 подчинены следующим квадратичным коммутационным соотношениям