Введение к работе
Актуальность темы.
Начиная с классической работы Н.Винера и Б.Хопфа появились тысячи оригинальных статей и десятки монографий, использующие метод факторизации для изучения многих задач в самых различных областях математической физики. Заложенные в методе Винера-Хопфа идеи и многочисленные приложения стимулировали интенсивное развитие теории сингулярных интегральных операторов, а также родственных (а во многих случаях и эквивалентных) теорий краевой задачи Римана, операторов Теплица, дискретных и интегральных уравнений Винера-Хопфа.
В настоящее время эти теории продолжают интенсивно развиваться, причем одно из приоритетных направлений состоит в усложнении рассматриваемых классов коэффициентов (символов). Так, большой вклад в исследование сингулярных интегральных уравнений с символами, имеющими разрывы второго рода внесли Х.Вай-дом, В.С.Владимиров, И.И.Данилюк, А.Девинап, Н.Я.Крупник, И.Б.Симоненко, И.М.Спитковский, Б.В.Хведелидзе и др.
Впервые краевую задачу Римана с бесконечным индексом (когда аргумент коэффициента получает бесконечное приращение в окрестности точки разрыва) систематически стал изучать Н.В.Говоров. Он, его ученики и последователи рассмотрели случаи степенного, логарифмического и степенно-логарифмического поведения аргумента символа. Отметим также недавние работы И.В.Островского, где методы Н.В.Говорова получили весьма существенное развитие и обобщение.
Параллельно с этим с конца шестидесятых годов в работах И.Ц.Гохберга, И.А.Фельдмана, Л.А.Кобурпа, Р.Ж.Дугласа, Д.Са-расона, В.Б.Дыбина, В.Н.Монахова, Б.В.Семенко и др. развивается теория нормальной разрешимости сингулярных интегральных операторов с разрывами почти-периодического типа, полупочти-периодического типа, с точками завихрения степенного порядка, т.е. по существу с разрывами типа бесконечного индекса. Эти исследования стимулируются как существенными связями в различ-
ных разделах функционального анализа и теории функций (теория базисов, теория подпространств, инвариантных относительно сдвига, граничное поведение целых и мероморфных функций), так и приложениями в ряде прикладных областей математической физики.
Отметим при этом, что в приложениях, как правило, возникают матричные задачи. В частности уравнения свертки на конечном интервале, которые являются основой исследования многих типичных задач теории дифракции механики сплошных сред, электродинамики и др. сводятся к матричной задаче, элементы символа которой имеют разрывы типа бесконечного индекса. Несмотря на то, что связь между этими уравнениями и матричной задачи Римана известна давно, лишь в начале восьмидесятых годов В.Ю.Новокшенову удалось доказать факторизуемость соответствующего матричного символа, что представляет собой первый (весьма существенный) шаг в исследовании уравений свертки на конечном интервале методом матричной задачи Римана.
Отметим, что несмотря на многочисленность исследований, посвященных уравнениям свертки, необходимость разработки строгих методов их решения, особенно эффективных в промежуточных областях, где не работают асимптотические методы, не отпала. Кроме того большинство асимптотических методов строго не обоснованы, в связи с чем не всегда понятны области их применимости, скорость сходимости к точному решению, равномерность полученных асимптотик по параметрам задачи и т.д. Таким образом развитие метода матричной задачи Римана, который позволяет в ряде случаев разрешить указанные проблемы, представляется актуальной задачей.
Цель работы.
1) Лля возможно более широких классов скалярных и матричных коэффициентов, имеющих разрывы типа бесконечного индекса, построение в пространстве Lp с весом теории нормальной разрешимости сингулярных интегральных операторов, включающей в себя:
- критерии или достаточные условия фредгольмовости, по-луфредгольмовости, односторонней и обобщенной обратимо-
сти;
явные конструкции соответствующих обратных операторов;
описание ядер и образов.
2) Развитие метода матричной задачи Римана решения уравнений свертки на конечном интервале и исследование на этой основе задачи распространения звука в многослойном стратифицированном волноводе с составными граничными условиями на поверхности.
Научная новизна.
Построена теория нормальной разрешимости различных классов сингулярных интегральных операторов с бесконечным индексом, в том числе с символами, имеющими разрывы почти-периодического и полупочти-периодического типов, точки завихрения степенно-логарифмического, сверх степенного и дологарифмического порядков. Разработан метод и-факторизации, позволяющий исследовать многие классы скалярных и матричных операторов с осциллирующими символами. Развит метод матричной задачи Римана исследования уравнений свертки на конечном интервале, на основе которого решен ряд проблем в задаче распространения звука в волноводе с составными граничными условиями на поверхности: задача существования и единственности, построение и обоснование алгоритма приближенного решения, построение и строгое обоснование равномерных асимптотических формул, обоснование принципа предельного поглощения, вычисление матриц отражения и прохождения.
Достоверность полученных результатов вытекает из полноты и строгости приводимых доказательств и контролируется сравнениями в тех случаях, которые имеются в литературе.
Практическая значимость.
Полученные результаты применимы для качественного и численного исследования ряда задач теории дифракции, механики сплошных сред и др.
Апробация работы.
По материалам диссертации были сделаны доклады на I-V Все-
союзных конференциях по комплексному анализу и дифференциальным уравнениям (г.Черноголовка, Ногинский научный центр АН России, февраль 1977 г., февраль 1979 г., март 1981 г., февраль 1983 г., февраль 1985 г.), на Сухумской математической школе по приложениям комплексного анализа и теории потенциала (май 1977 г.), на Республиканской конференции по пространственным задачам математической теории упругости, граничным задачам теории функций и сингулярным интегральным уравнениям (г.Тбилиси, ноябрь 1983 г.), на Всесоюзном симпозиуме "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики" (г.Харьков, май 1985 г.), на I-IV Всесоюзных конференциях "Математические методы прикладной акустики" (г.Ростов-на-Дону, сентябрь 1983 г., г.Волгодонск, сентябрь 1985 г., сентябрь 1987 г., г.Одесса, сентябрь 1989 г.), на всесоюзных, международных конференциях "День дифракции" (г.Ленинград, июнь 1984 г., июнь 1986 г., июнь 1988 г., г.С.-Петербург, июнь 1992 г.), на 10 международной конференции по проблемам и методам математической физики (ФРГ, г.Хемниц, сентябрь 1993 г.), на 5 международной школе по эволюционным задачам (Крым, Ласпи, сентябрь 1994 г.), на Одесском городском семинаре по краевым задачам в 1983 и 1987 г.г. (рук. проф. Г.С. Литвинчук), на семинаре по сингулярным интегральным операторам математического института АН Грузии (1986 г., рук. проф. Б.В.Хведелидзе), на семинаре лаборатории теории упругости Краснодарского государственного университета (1986 г., рук. проф. В.А.Вабешко), на семинаре по гранично-контактным задачам Ленинградского государственного университета (1990 г., рук. проф. Д.П.Коузов), на семинаре по асимптотическим методам теории дифракции С.-Петербургского отделения математического института АН России (1995 г.,рук. проф. В.М.Вабич, В.С.Булдырев), неоднократно на семинаре по псевдодифференциальным операторам кафедры алгебры Ростовского государственного университета (рук. проф. И.В.Симоненко).
Публикации.
Основные результаты работы опувликованы в [1]—[19].
Структура и объем диссертации.