Введение к работе
ьктуальность исследования. Исследование элекгродуговых процесів является одной из важнейших задач дальнейшего развития та-их областей, как электроаппаратостроение, релейная техника, системы правления, контроля и связи, плазменные и лазерные технологии. Тен-гнция к повышению быстродействия работы аппаратов, а также к ис-эльзованмю как сверхслабых так и сверхвысоких токов и напряжений, резвьгчайно затрудняет их экспериментальное исследование. В раде слу-аев только математическое моделирование способно дать представление быстротечной динамике взаимодействия электрической дуги с электро-эм.
Физико-химические явления, сопровождающие зги взаимодействия, акие как плавление и испарение материала электрода, приводят к до-эльно сложным математическим моделям, базирующимся на нелиней-ых задачах стефановского типа.
Разработка математических моделей и методов решения таких задач гсьма важна для понимания явлений, сопровождающих процессы элек-роконтактной коммутации, эрозии, решения проблемы повышения на-ежности и ресурса работы электродутовых систем. С другой стороны атематические модели, описывающие эти явления, приводят к новым остановкам задач в теории дифференциальных и интегральных уравне-ий не исследованных ранее, для решения которых необходима разработ-а специфичных методов.
Состояние проблемы. Качественному изучению задач стефановско-э типа посвящено много исследований, среди которых можно выделить іундаментальньїе работы А. Фридмана, Р. Рубинштейна, М. Мейермано-а, И.й. Данилюка, Н.Ж. Никитенко, Н.Н.Уральцевой, Г.И. Бижановой, а исленные методы решения таких задач разрабатывались С.Л. Камено-остской, О.А. Олейник, А.А. Самарским, Б.М. Будаком и некоторыми
другими. Двухфазные задачи Стефана, рассматриваемые в этих работах, содержат, как правило, предположение об одновременном существовании обеих фаз в начальный момент времени. Это позволяет использовать метод неподвижной точки, оценки шаудеровского типа, вариационные и ко-нечноразностные методы, дающие возможность установить существование, единственность решений и их дифференциальные свойства.
Конструктивные методы решения задач для параболических уравнений, основанные на использовании тепловых потенциалов и редукции исходных краевых задач к интегральным уравнениям, были развиты Б.Й.Кимом. Эти методы с успехом перенесены на случай задач стефа-новского типа.
Случай вырождения одной из фаз в начальный момент времени исследован лишь в отдельных частных случаях, а аналитические решения построены лишь для автомодельных вариантов задач. Это связано с тем, что соответствующие интегральные уравнения, к которым сводятся задачи стефановского типа, становятся сингулярными при вырождении одной из фаз. Уравнения такого типа впервые .рассмотрены в работах С.Н.Харина, в которых изучалась асмптогика интегралов типа потенциалов двойного слоя, и построены приближенные решения некоторых прикладных задач.
В работах А.А.Кавокина выяснена асимптотика движения границы, определяющая закон зарождения фазы в начальный момент времени. Спектральные свойства решений подобных интегральных уравнений изучены вработах М.Рамазанова, а решение в весовых пространствах - в диссертации Т.Е.Омарова. А.Т.Кулахметовой рассмотрены аналогичные задачи применительно к процессам мостиковой эрозии электрических контактов. Численным методам вычисления сингулярных интегралов посвящена работа Р.Н.Кантаевой. Г.И.Бижановой исследована задача Стефана, когда температура на свободной границе изменяется во времени.
Особый класс среди задач стефановского типа занимают задачи, нели-йность которых обусловлена наличием не только свободной границы, і и нелинейностью граничного условия, что соответствует многим ре-іьньїм физическим процессам. Вторую краевую задачу такого типа ис-іедовали в своих работах M.Niezgcdka, I. Pavlow, F. Vizintin, E. Magenes C. Verdi. Ими доказаны теоремы существования и единственности, од-ш> проблемы конструктивного построения решений остались за преде-ши рассмотрения. Целью работы является изучение характера сингулярности инте-эальньга операторов, входящих в систему интегральных уравнений, от эторых зависит структура решения при иалых значениях времени.
Главной задачей при этом является не только построение соответству-іщей асимптотики, но и явные оценки членов более высокого порядка ма-ости. Это дает возможность установить диапазон начального периода, котором достроенная асимптотика будет давать хорошее приближение ешения.
Другая актуальная проблема состоит в разработке методов решения ;лх техтгооиежутков времени, которые выходят за рамки вышеуказан-юго диапазона. При этом важным является экспериментальная проверка каждого из этих методов.
Методика исследования. Основным методом исследований в работе является использование аппарата тепловых потенциалов для сведения гсходной задачи к системе интегродифференциальных уравнений с по-ледуюшим исследовашіем ее асимптотики и численным решением для шбых значений времени.
В качестве другого метода построения приближенных решений является интегральный метод типа Кармана-Полмаузена, при котором задается структура искомого решения по пространственным переменным, а неизвестные временные функции определяются из уравнения теплового
баланса, которым заменяется уравнение теплопроводности.
Для решения интегральных уравнений в отдельных случаях используется также комбинированный метод прямоугольников и трапеций.
Новизна работы. Изучена двухфазная задача Стефана для сферического уравнения теплопроводности с нелинейным краевым условием в случае вырождения области в начальный момент времени.
Исследована асимптотика интегральных операторов и связанная с ней структура решения при малых значениях времени.
Путем введения дополнительного параметра получено развитие интегрального метода применительно к задачам стефановского типа.
На базе этих методов решен ряд прикладных задач ло расчету дуговой эрозии и сваривания электрических контактов.
Практическая ценность проведенных исследований состоит в их использовании при разработке моделей и методов расчета тешюфизических процессов в электрических контактах, плазматронах и новых электротехнических устройствах, защищенных авторским свидетельством [1]. Эти методы могут эффективно использоваться и в смежных областях как лазерная техника, дуговая сварка, релейные системы.
Достоверность и обоснованность- Результаты работы, изложенные в виде теорем, лемм и расчетных формул, обоснованы и доказаны. Найдены строгие оценки асимптотик. Результаты расчетов по интегральному методу достаточно хорошо совпадают с экспериментальными данными.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на: Казахстанских межвузовских конференциях в г. Алмати в 1974 - 1989 гг., 8 Международной конференции по явлениям в электрических контактах (Япония, август, 1976 г.), Всесоюзном научно-техническом совещании "Пути повышения и надежности электрических контактов" (Ленинград, 1978 г.), Всесоюзной конференции ло асимпто-
тмческим методам, Алма-Ата, 1979 г., Симпозиуме с международным участием "Перспективы и проблемы электрических аппаратов низкого напряжения", Пловдив, 1980 г., Всесоюзном совещании по применению лазеров в технологии машиностроения, Звенигород, 1982 г., Зап. Берлин, 1982 г., Республиканской конференции по нелинейным задачам математической физики, Донецк, 1983 г., Всесоюзной крнференции "Интегральные уравнения в прикладном моделировании, Клев, 1883 г., Всесоюзном научно-технической конференции "Специальные коммутационные элементы". Рязань, 1985 г., Звенигород, 1985 г., Всесоюзної! конференции "Электрические контакты и электроды. Бути ловышения качества и надежности". Канев, 1989 г., VI Всесоюзной конференции "Генераторы низкотемпературной плазмы". Новосибирск, 20-23.06.89, Всесоюзной школе-семинаре "Электрические контакты и электроды. Материалы. Физические процессы". Одесса, апрель 1990 г., Всесоюзном совещании "Физические исследования и математическое моделирование приэлектродных процессов в коммутационной аппаратуре". Алма-Ата, 14-18.05.90, Всесоюзном семинаре по дуговым и призлекгродньш процессам в электрических аппаратах и плазмотронах. Улан-Удэ. 1991 г., Международной конференции ISECTA'93, Алматы, 1993 г., Общегогодском научном семинаре по уравнениям математической физики Е.Й.Кима.
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 11 публикациях [2] - [12]
Объем и структура диссертации. Диссертация изложена на 127 страницах и соостоит из Введения, 2-х глав, 12-и параграфов, списка литературы и содержит 11 рисунков и 2-е таблицы.