Резонансное рассеяние в гранично-контактных задачах акустики Покровский, Алексей Андреевич

Введение к работе

Актуальность тем-J. Исследование совместных колебаний акустической среды и тонких упругих структур (пластин, мембран и оболочек различной конфигурации) представляет большой теоретический и прикладной интерес. Подобные системы возникаюа в гидроакустике, при проектировании виброизоляции, в сейсмологии и акустике океана.

При теоретическом исследовании таких систем возникают гранично-контактные задачи математической физики — уравнения в частных производных с граничными условиями специального вида в точках контакта, акустической среды и упругой структуры. Возможность колебаний упругой структуры приводит к появлению в граничных условиях дифференциальных операторов высокого порядка, а условие контакта с жидкостью обуславливает зависимость граничных условий от частоты.

Обычно гранично-контактные задачи исследуются в стационарной постановке, то есть, амплитуда колебаний разыскивается в предположении, что колебания системы гармоничны с заданной частотой. Переход же от стационарных решений к динамическим, то есть явно включающим производные по врем'.-ни, представляется весьма важным. В частности, он позволил бы проанализировать динамику распределения энергии для произвольных начальных данных. Однако, такой переход связан со значительными трудностями; например, необходимо доказывать базисность системы стационарных решений' в подходящих функциональных пространствах.

В связи с этим представляет интерес исследование гранично-контактных задач акустики средствами функционально!'» ам.і-

ліпа. в особенности методами спектрального анализа < амо< о-пряжснных операторов и методами теории рассеяния.

Цель работы.

1. Построение самосопряженных oi.ораторов в /^-пространствах для акустических систем, и которых акустическая среда осциллирует в контакте с тонкими упругими структурами пластиьками. мембранами и оболочками, которые, в спою очередь, могут иметь дефекты, сосредоточенные в точках или на линиях (точечные массы, трещины или узкие ребра жесткости).

2. Спектр і.тьньїй анализ операторов для однородных систем, г которых бесконечная упругая 'структура (пластин или мембрана) колеблется в контакте с полупространством, заполненным акустическое средой. Доказательство базисности системы рассеянных и поверхностны': волн.

'І. Построение теории'рассеяния для однородных гранично-контактных систем и анализ резон нсны.ч явл ний в терминах геоме" і»ии гильбертовых про транстг.

Положені; я. выносимые на защиту.

1. Построены самосопряженные операторы в /.-„.-пространствах
для акустических систем с взаимодействием звука и . ;іПра-
ции. Доказано, что 'спектральная, задача для построенных
операторов эквивалентна исходно.і системе уравнений с гранич
контактными условиями в точкіі . соприкосновения аку< тиче-

2. Построен ортонормі,«оранный базис рис<ч .иных и поверх
ностных волн ля бесконечных'упругих структур, контактн-

рующих с акустической средой'. Доказано совпадение коэффициента отражения в іт цнонарнои задаче с матрице" рас-

': ' -1 '

сеяния во временной теории рассеяния.

3. Теория рассеяния Лакса-Филлипса сформулирована для рассеяния звука на ,С ясконечных тонких упругих структурах. Выполнен анализ особенностей коэффициента отражения как аналитической функции частоты. Выделены два качественно различных типа этих особенностей; выяснена их связь с. убыванием энергии рассеянных волн в ограниченных областях и со спектром соответствующей диссипативной полугруппы. Продемонстрирован резонансный характер головных волн в тонких структурах. Выделен набор элементарных головных волн і таких, что всякая головная волна может быть представлена в виде волнового пакета из элементарных.

Научная новизна работы. Следующие результаты являются новыми:

1. Найдена общая схема, позволяющая строить самосопря
женные операторы в .^-пространствах для широкого класса
акустических систем с взаимодействием звука и вибрации.

2. Проведсл полный спектральный анализ операторов для од
нородных гранично-контактных задач акустики общего вида.
Доказана теорема разложения по ортонормированному ба
зису рассеянных и поверхностных волн. В трансляционном
представлении явно построена резольвента оператора.

3. Построена временная теория рассеяния для однородных гранично-контактных систем общіго вида. Доказано, что коэффициент отражения совпадает с матрицей рассеяния.

4. Для рассеяния звука в однородных системах построена теория Лакоа-Филлипса. Найдена связь матрицы рассеяния Лакса-Филлипса (которая, вообще говоря, отличается от матрицы рассеяния временной теорииj и коэффициента отраже-

ния. Тем самым выделены два класса особенностей'коэф_г фициента отрашечия, которые связаны с двумя качественно различными типами резонансов. Один из них соответствует обычным резонансам, когда плоская полна сначала полностью поглощается упругой границей, а затем иілучаегся обратно в жидкости. Другой класс резонансов представляет собой головные волны, когда анергия г..'редаетсн через упругую границ*' со скоростью, превышающей скорость звука в акустической среде. Найдены явные выражения для обоих типов резонансных функций.

Научная и практическая ценность работы. Построение самосопряженных операторов для задач с взаимодействием звука и вибрации, выполненное в работе, позволяет разрешить сразу несколько математических вопросов, возникающих в «вязи с гранично-контактными задачами акустики. Например, из самосопряженности оператора следует существование и единственность решения задачи о стационарных колебаниях системы с учетом затухания. Из самосопряженности оператора также следует возможность строгого перехода от стационарных решений задачи к решениям, зависящим от времени. Переход от стационарных решений к динамическим осуществляется методом разложения по ортонормаль-ному базису обобщенных собственных функций, которые найдены в явном виде для однородных гранично-контактных систем.

Построение теории рассеяния Лакса-Филлипса позволяет сделать заключение о резонансном характере рассеяния на бесконечных тонких упругих структурах. Убывание энергии рассеянных волн в ограниченных областях связано с хараьте-

ром особенної іей коэффициента отражения. Удалось строго сформулировать резонансный характер головных волн в однородных гранично-контактных системах: доказано, что головные волны представляют собой особый вид резонансов и связаны с нарушением формальной причинности, понимаемой как распространение сигналов со скоростью звука в акустической среде. Тем самым проаяалйзирозано влияние не-огпаниченности рассеивателя на аналитическую структуру 5-матрицы.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, были доложены на международной конференции "Лень Дифракции-94" (май 1994 г.), на семинаре Восточно-Европейской Ассоциации Акустиков (март 1994, г., Кораблестроительный ин-т.), на семинарах по дифракции И распространению волн ПОМИ РАН (ноябрь 1993 г., апрель 1994 г,, март 1995 г.). на семинаре кафедры теории упругости мат.-мех. факультета СПбГУ (январь 1995 г.), на семинарах кафедры мат. физики физического факультета СПбГУ (март 1994 г и январь

1995 г.). ; :

Публикации. Основные результаты диссертации опублико
ваны в работах [1-5]. ..'. ;'.-,'";..

Структура и объем работы.' Диссертация состоит из введения, четырех глав заключения и-'списка использованной литературы. Общий объем работы — 123 страницу. 16 рисунков, библиография — 103 наименований.