Введение к работе
Актуальность темы. Анализ многих физических систем наталкивается на значительные трудности. В связи с этим актуальним представляется построение приближенных моделей, особенно явкорежэемкх, которые позволяют воспроизводить характеристики сложных систем, пряное исследование которых затруднено. Б работе предложен и изучен класс явнорешаемкх моделей, основанных на теории самосопряженных расширений симметрических операторов.
Начало разработке моделей данного типа положил Э. Ферми, который ввел потенциалы нулевого радиуса, позволившие решить ряд физических задач. Интенсивное применение метода потенциалов нулевого радиуса началось в шестидесятых годах. 3 1975 г. вышла монография Ю. К. Демкова и В. Н. Островского, » которой сведены воедино различные приложения указанного метода к задачам атомной физики, известные к середине семидесятых годон.
В 1961 г. Ф. А. Березин и Л. Д,Фаддеев показала, что с математической точки зрения введение потенциала нулевого радиуса есть задание самосопряженного расширения некоторого симметрического оператора. Это открыло новые возможности для развития метода. В работах А.С. Благовещенского, К.К.Лаврентьева, Я.В.Курылева в рамках данного подхода рассмотрена задача рассеяния на- кривой в трехмерном пространстве, Б. С. Павлов и М. Д. Фаддеев предложили построить модель указанного типа для резонатора с малым отверстием. Различные приложения метода описаны в обзоре Б. С.Павлова (УМН/./1987, Т. ',?.. к 6. Эй-131) и монографии С. Альбеверио, Ф. Тестеві:, Р. Хеаг-Крона, X. Холдена "Явнорешаемые модели в квантовой механике". В силу изложенного построение подобных моделей в различных областях представляются актуальными.
Цель работы состоит в разработке и исследовании класса моделей, основанных на теории расширений операторов, для различных физических систем, а именно,- для акустических резонаторов с малыми отверстиями и узкими щелями, стоксовых и стратифицированных потоков в сложных областях, чднсзлектроннкх снстзм квантовых резонаторов и квантовых «слнсводов, периодических- систем квантовых точек
(антиточек).
Общая методика исследова ния основана на применении методов теории операторов,- теории линейных уравнении в частных производных, .теории рассеяния, фивикн твердого тела, теории представлений груші.
Научная новизна. В работе предложен класс явкорныанмых моделей, основанных на теории самосопряженных расширений симметрических операторов. Указанный подход применяется к задачам рассеяния на резонаторах с малыми отверстиями и узкими щелями, описанию стоксовых и стратифицированных течений в сложных областях и к задачам наноэлектроникн. Реалистичность моделей различных систем оценивается разными способами (в зависимости, от их сложности). Производится сравнение модельного решения с реальным либо в общем виде Скак для резонатора Гельмгольца и модели квантовой точкикак резонатора с полупрозрачной границей), либо на примере конкретных задач, либо на основании сравнительного анализа количественных и качественных результатов и эффектов, которые дает модель- и исследование соответствующей
-физической,,системы. Описан ряд предсказанных!-моделями физических эффектов..
. Практическая и теоретическая ценность. Построенные модели могут быть применены для качественного и количественного исследования перечисленных выше систем. Результаты работы могут быть использованы в теоретических исследованиях, и практических, расчетах, проводимых в Петербургском, Московском, Одесском, Мордовском
, университетах, Петербургском отделении математического института РАН, .НИРФИ, ШФ РАН.
.Положения, выносимые на защиту. 1". Построение и анализ модели теории расширений операторов в гильбертовом пространстве и пространстве с индефинитной метрикой для резонатора Гельмгольца, а также для резонатора с узкой целью. Обоснование выбора параметров модели, обеспечивавшего соответствие модельной и реальной задач. Получение,.асимптотики резонансов. 2. Приложения.модели к описание бегущих волн в кольцевых
^резонаторах, поверхностных волк, описанию резонансных
-5-.
зффектов в системи квантовых резонаторов и волноводов. 3. Подход к. линеаризованной задаче гидродинамической устойчивости с: точки зрения возмущения оператора Шредннгера.
A. Построение п анализ операторной версии метода стокслетов,
описание ползущих течений в сложных системах.полостей и
каналов, связанных через малые отверстия. Корректное
описание взаимодействия нулевого радиуса для
линеаризованного уравнения фронта пламени.
5. Вывол модифицированного уравнения Дюбрейль-Жакотен для описания течения экспоненциально-стратифицированной среды в гравитационном и электрическом нолях. Разработка модели теории расширений для данного течения.
B. Подход теории расширений операторов для резонатора с
полупрозрачной границей. Доказательство того, что
резольвента модельного оператора есть предел резольвент
соответствующих операторов с короткодействующими
потенциалами. Приложение модели к описанию транспортных
свойств мезоохопических структур.
7. Построение и исследование модели туннелпрования через нульмерную структуру при наличии магнитного поля.
3. Построение И исследование МОДеЛИ ПерНОДИЧеСКОЙ CHC'j ..V.ftl
квантовых антиточек в магнитном поле, основанной на теории расширений операторов к пространстве Крейна. Спектральный анализ модельного оператора.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 52 работы.
Об'єм и структура работы. Диссертация состоит из введения и трех глав с автономной нумерацией формул. Содержит Й56 страниц, 2 5 рис. и с исок литературы, содержащий 205 наименований.