Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений на фракталах Дигурова, Алла Мисирикоевна

Введение к работе

Актуальность темы. В настоящее время для описания структуры неупорядоченных сред и протекающих в них процессов широко используется теория фракталов-множеств с дробной пространственной размерностью (Б. Мандельбройт, Зельдович Я. В., Соколов Д. Д., Динариев О.Ю.).

Примерами неупорядоченных сред являются пористые тела, полимерные материалы (Бэгли Р. А., Торфик Г.Дж., 1984). При этом фракталами могут быть поровое пространство, скелет породы, поверхность скелета породы (Большаков А. В.). В случае, когда трещины и пористые блоки представляются однородными взаимопроникающими континуумами используется модель Баренблатта-Желтова. Между тем в реальных трещиноватых породах для характерных размеров, сравнимых с размерами блоков, трещины образуют систему, которую нельзя считать однородной. В работе Динариева О. Ю.(МЖГ, 1990, № 5) рассмотрено уравнение многофазной фильтрации в случае, когда поровое пространство представляет фрактал с размерностью Хаусдорфа-Безиковича dj, погруженный в сплошную среду с размерностью d (d > df, d = 2,3). Наряду с геометрическими фракталами рассматривают и временные фракталы (Нигматуллин Р. Р., 1986; Кочубей А. Н., 1989,1990; Нахушев A. Mi, 1995).

Обобщенное уравнение переноса, полученное для сильно-пористой (фрактальной) среды (Нигматуллин Р. Р., 1986) часто называют уравнением медленной диффузии (Чукбар К. В., 1995, Шогенов В. X., Кумыкова С. К., Шхануков М.Х., 1996).

Таким образом, решение краевых задач для дифференциальных уравнений на фракталах (в средах с фрактальной геометрией) становится актуальным. В диссертационной работе строятся разностные схемы, исследуются устойчивость и сходимость однородных разностных схем в сеточных нормах.

Цель работы. Целью работы является разработка разностных схем для решения краевых задач для дифференциальных уравнений в средах с фрактальной геометрией, а также дифференциальных уравнений диффузии дробного по времени порядка с вырождением.

Общие методы исследования. Результата! получены с использованием метода баланса построения разностных схем, метода априорных оценок, метода выделения стационарных неоднородностей, принципа максимума для разностных уравнений.

Научная новизна и практическая ценность. В диссертации впервые исследованы разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений на фракталах. В ней получены следующие результаты:

1. Для обыкновенного дифференциального уравнения на фракталах построены разностные схемы и получены априорные оценки в равномерной метрике, откуда следует сходимость схемы со скоростью 0(h²).

2. Для решения основных краевых задач дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа на фракталах получены априорные оценки в естественных нормах с весом. Получены также дискретные аналоги априорных оценок, откуда следует сходимость метода Роте.

3. Для решения дифференциальных уравнений с частными производными на фракталах построены разностные схемы и методом стационарных неоднородностей получены априорные оценки, откуда следует сходимость схемы в равномерной метрике со скоростью 0(h²+r), h,r — параметры сетки.

4. Для решения обобщенного уравнения переноса дробного с вырождением порядка получена априорная оценка в естественных нормах с весом. Для основных краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка построены разностные схемы и методом стационарных неоднородностей получены априорные оценки в равномерной метрике, откуда следует сходимость схем со скоростью 0(h² + г).

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре по вычислительной математике и математической физике Кабардино-Балкарского госуниверситета, на семинаре математических кафедр СОГУ, на IV Всероссийском симпозиуме "Математическое моделирование и компьютерные технологии", Кисловодск, 2000 г., на IV Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященном памяти М. А. Лаврентьева, Новосибирск, 2000 г.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-[6]. Из них [3], [4] выполнены в соавторстве с М.Х. Шхануковым, которому принадлежит постановка задач.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, библиографического списка, содержащего 52 наименований. В первой главе — пять параграфов, во второй — шесть, в третьей — пять. Объем диссертации — 100 страниц, набранных в издательской системе Т^Х.