Разложения по физическим вейвлетам решений волнового уравнения Сидоренко Михаил Сергеевич

Содержание к диссертации

Введение

1 Интегральное представление решений волнового уравнения 27

1.1 Обзор основных фактов непрерывного вейвлет-анализа 27

1.2 Интегральное представление решений волнового уравнения 41

1.3 Упрощения и обобщения основной формулы 44

1.4 Задача Коши для волнового уравнения 46

1.5 Результаты с точки зрения обобщённых функций 47

1.6 Вейвлет-преобразование, зависящее от времени 51

2 Методы конструирования физических вейвлетов 56

2.1 Сферически симметричные решения волнового уравнения и физические вейвлеты в R3 56

2.2 Физические вейвлеты в R2, не обладающие симметрией 63

2.3 Гауссов пакет и исследование его свойств

2.3.1 Поведение гауссова пакета на бесконечности 67

2.3.2 Фурье-преобразование гауссова пакета 68

2.3.3 Нулевые моменты гауссова пакета 69

2.3.4 Асимптотическая связь гауссова пакета и гауссова пучка 69

2.3.5 Асимптотическая связь гауссова пакета и вейвлета Морле 72

2.3.6 Соотношение неопределенности и направленные свойства 73

2.3.7 Гауссов пакет в многомерном пространстве 76

2.3.8 Несимметричные физические вейвлеты как поля точечных источников 79

3 Двухмасштабная асимптотика поля в слоистой периодической среде 82

3.1 Постановка задачи 82

3.2 Матричная форма уравнений Максвелла 83

3.3 Решения Флоке-Блоха и дисперсионное соотношение

3.3.1 Два типа решений Флоке-Блоха в естественных координатах 85

3.3.2 Решения Флоке-Блоха в произвольной системе координат 88

3.4 Некоторые вспомогательные соотношения 91

3.4.1 Уравнения для амплитуд решений Флоке-Блоха и их производных 92

3.4.2 Производные дисперсионных функций 94

3.4.3 Дополнительные соотношения 95

3.5 Двухмасштабное асимптотическое разложение 96

3.5.1 Главный член асимптотики 98

3.5.2 Поправка первого порядка 99

3.5.3 Разрешимость уравнения на поправку второго порядка 101

3.5.4 Поправки старших порядков

3.6 Решение уравнений на 106

3.7 Численное моделирование в частном случае 110

3.7.1 Результаты численного моделирования 112

4 Приложения 113

4.1 Приложение 1 113

4.1.1 Дисперсионное уравнение 113

4.1.2 Стационарные точки дисперсионной поверхности 116

4.1.3 Амплитуды Флоке-Блоха 117

4.2 Приложение 2 118

4.2.1 Доказательство леммы 118

Литература

• Интегральное представление решений волнового уравнения
• Фурье-преобразование гауссова пакета
• Два типа решений Флоке-Блоха в естественных координатах
• Стационарные точки дисперсионной поверхности

Введение к работе

Актуальность темы исследований. Представление сложного волнового поля в виде интеграла или суммы других элементарных волновых полей, обладающих известными, более простыми свойствами, является широко распространённым приёмом решения задач распространения волн. Интегральные представления решений волнового уравнения обычно строятся на основе фундаментального решения или методом разделения переменных. Разделение переменных в декартовых координатах ведёт к разложению по плоским волнам. Однако в целом ряде практических задач, требующих изучения локализованных или многомасштабных полей, использование плоских волн неоправданно. Наиболее известными примерами подобных задач являются задачи геофизики, а именно обработки данных сейсморазведки. Всё это стимулировало разработку методов разложения волнового поля в сумму или интеграл от локализованных элементарных решений. В настоящее время существует обширная литература по локализованным решениям с конечной энергией, не связанным с разделением переменных, среди которых есть решения со степенным и даже с экспоненциальным убыванием (см., напр., []). Однако остаётся открытым вопрос о возможности представить всякое поле в виде интеграла по таким решениям или, другими словами, вопрос о построении полной системы локализованных решений и об определении коэффициентов разложения по ней.

Наиболее известен класс методов, использующих в качестве элементарных решений пространственные или пространственно-временные гауссовы пучки. Эти решения являются асимптотическими, заданными в высокочастотном приближении. Из множества работ, связанных с методом суммирования гауссовых пучков, отметим основополагающие труды В.М. Бабича и Т.Ф. Панкратовой [], а также В.М. Бабича и М.М. Попова [, ]. Обзор основных результатов в этой области приведён в статье Э. Хеймана и Л. Фелсена []. Для определения коэффициентов разложения по гауссовым пучкам поля точечного источника применяется метод сравнения с высокочастотной асимптотикой [,]. В других работах, посвящённых разложениям по гауссовым пучкам, предлагается подбор коэффициентов при помощи метода наименьших квадратов (см. []). Ещё один метод был применён в [] для решения краевой задачи для уравнения Гельмгольца в полупространстве. Граничные данные раскладывались с помощью дискретного преобразования Габора на элементарные функции, которые затем выступали в качестве граничных значений для элементарных решений, построенных с помощью пропагатора, основанного на формуле Грина.

Джеральд Кайзер в [] предложил метод, не использующий асимптотики. Этот метод построения интегрального представления решений волнового уравнения в однородной среде допускает интерпретацию с точки зрения вейвлет-анализа. Элементарные решения строятся на основе некоторого сферически симметричного решения с конечной L₂-нормой, обладающего всего лишь степенной

локализацией, а использование других элементарных решений не предполагается.

В настоящей работе развивается метод получения точных разложений волнового поля, удовлетворяющего нестационарному волновому уравнению с постоянными коэффициентами в виде суперпозиции элементарных локализованных решений этого же уравнения, которые могут быть получены из одного решения с помощью элементарных преобразований. Метод представляет собой расширение вейвлет-анализа на пространство решений волнового уравнения. Таким образом, работа находится на пересечении двух актуальных и динамично развивающихся направлений – получения представлений для волновых полей в терминах локализованных решений и непрерывного вейвлет-преобразования – и вносит вклад в развитие обоих направлений. Построение нового интегрального представления решений волнового уравнения – классическая задача, которая, кроме общетеоретического значения, может иметь актуальные приложения.

Вторая часть работы посвящена асимптотическому описанию электромагнитных волн, распространяющихся в слоистой периодической среде. Такая среда является частным случаем сред, называемых фотонными кристаллами. Изучение новых эффектов в слоистых периодических структурах актуально для приложений, в связи с появившимися в последнее время технологическими возможностями создания таких структур с периодами порядка нанометров. В настоящее время исследование и разработка искусственных сред с заранее задаваемыми параметрами является огромной и быстро развивающейся областью науки (см., напр., []). Периодические слоистые среды представляют собой наиболее исследованный класс подобных сред, что связано с меньшей сложностью их анализа и с большей простотой их изготовления, по сравнению со структурами, обладающими периодичностью по двум и трем измерениям. Все это обуславливает повышенный интерес к слоистым структурам. Тем не менее, и в такой задаче изучены не все возможные эффекты.

В работе показано, что огибающая монохроматического поля в периодической среде может выражаться через решение гиперболического и, в частности, волнового уравнения, где роль времени играет координата вдоль нормали к границам слоев. Это значит, что для представления поля в такой среде можно применить развитый в первых главах метод. В случае отсутствия зависимости поля от одной из поперечных координат и при специально подобранной частоте доказана возможность существования нерасплывающихся решений, сосредоточенных вблизи некоторой прямой, которая может иметь только фиксированный по модулю угол с границей раздела слоёв. Этот результат имеет научную и практическую значимость. Постановка задачи была вдохновлена работой [].

Цель работы. Работа состоит из двух смысловых частей, первая из которых состоит из глав 1 и 2, вторая – из главы 3. Цель первой части работы – развить математический аппарат непрерывного

вейвлет-анализа для решений волнового уравнения с постоянными коэффициентами

Utt — с (u_xx + Uyy) = 0, r = (x,y), с = const, (1)

и получить с помощью этого аппарата интегральное представление решений в терминах локализованных элементарных решений этого уравнения. В первой части работы ставятся следующие задачи:

1. Найти представление решений волнового уравнения () вида

u(r,t) = / d/i(iy) U(и) ф^и(г, t), (2)

где 4>^u(r,t) — локализованные решения этого уравнения, зависящие от набора параметров, обозначенных и. Такие решения мы будем называть физическими вейвлетами. Интегрирование ведется по мере ц{у) в пространстве параметров v. Следует определить пространство решений волнового уравнения И, в котором строится разложение и найти правило построения физических вейвлетов, коэффициенты разложения U(и), меру n(v). Следует также выяснить вопросы сходимости полученного несобственного интеграла.

2. Пусть для уравнения () поставлена задача Коши

= v(r). (3)

₂. . ди

Uu — с Ыхх + u_vv) = 0, u\t=o = w(r), ₇—

i=0

Определить класс функций w, v, который бы позволял представить решение задачи () в виде интегрального представления () и найти коэффициенты U{y), соответствующие решению задачи Коши в терминах вейвлет-преобразований начальных данных.

3. Дать способ построения физических вейвлетов, то есть точных решений волнового уравнения (), которые могут использоваться в интегральном представлении ().

Цель второй части работы - построить нетривиальный пример, допускающий использование представления (). В этом качестве рассматривается периодическая слоистая диэлектрическая среда и монохроматическое электромагнитное поле, описываемое уравнениями Максвелла. Во второй части работы ставятся следующие задачи:

1. Построить формальное асимптотическое разложение решений уравнений Максвелла в периодической слоистой среде в предположении, что частота поля близка к частоте стационарной точки дисперсионной поверхности. Предполагается, что поле характеризуется двумя

пространственными масштабами: периодом среды и масштабом изменения огибающей поля в плоскости слоёв. Отношение этих масштабов – малый параметр, по которому ведется асимптотическое разложение.

1. Рассмотреть частный случай, когда огибающая поля зависит только от двух переменных. Найти свойства электромагнитного поля в главном порядке разложения.

2. Подтвердить с помощью численного моделирования асимптотические результаты.

Методы исследования. В первой части работы для построение интегрального представления решения используется метод непрерывного вейвлет-анализа. Непрерывный вейвлет-анализ возник в 80-е годы на стыке нескольких дисциплин. В его основе лежит чисто математический результат, который оказался чрезвычайно полезным для обработки и аппроксимации больших массивов экспериментальных данных, возможно, включающих шум. Этот метод нашел приложения в сейсмике, астрономии и других областях. Вейвлет-анализ можно считать обобщением Фурье-преобразования. Если известно преобразование Фурье некоторой функции, то эту функцию можно восстановить с помощью формулы обращения. Аналогично, по известному вейвлет-преобразованию функции можно восстановить саму функцию с помощью формулы восстановления. Вейвлет преобразование является изометрическим преобразованием.

Во второй части работы для получения формального асимптотического ряда используется метод двумасштабных разложений. Результаты проверяются при помощи численного моделирования методом FDTD (finite difference time domain, метод конечных разностей во временной области) с использованием коммерческого пакета моделирования распространения электромагнитных волн.

Научная новизна. В диссертации вейвлет-анализ впервые применяется для получения аналитических результатов для решения дифференциальных уравнений. Впервые построен метод, позволяющий применить вейвлет-анализ с физическими вейвлетами из широкого класса к решениям волнового уравнения. Впервые детально исследованы свойства нескольких классов точных локализованных решений волнового уравнения с точки зрения вейвлет-анализа, в том числе, свойства гауссова волнового пакета. Впервые построено формальное асимптотическое разложение решений уравнений Максвелла в слоистой периодической среде при частоте, соответствующей окрестности гиперболической точки дисперсионной поверхности периодической среды, которое позволяет в главном порядке свести уравнения Максвелла к уравнениям гиперболического типа. Полученная задача попадает в класс проблем, для которых в первой части данной работы предложен метод решения. Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, являются новыми:

1. Построено интегральное представление решений волнового уравнения с постоянными коэффициентами, выражающее их через локализованные элементарные решения, называемые физическими вейвлетами. Сформулированы условия (условия допустимости), которым должны удовлетворять элементарные решения, чтобы они были физическими вейвлетами.

2. Найдено решение задачи Коши для волнового уравнения в виде интеграла от физических вей-влетов с коэффициентами, выражающимися через вейвлет-преобразования начальных данных. Доказано, что этот интеграл является обобщенной функцией медленного роста, зависящей от времени как от параметра, и удовлетворяет задаче Коши в обобщенной постановке.

3. Получена формула, описывающая развитиевовремени вейвлет-преобразования решения волнового уравнения, не требующая вычисления самого решения.

4. Выяснено, при каких условиях известные способы построения явных решений волнового уравнения дают физические вейвлеты. Предложен способ получения физических вейвлетов, как полей движущихся источников.

5. Выяснено, что гауссов волновой пакет – найденное ранее явное и точное решение волнового уравнения в пространстве любой размерности – является физическим вейвлетом. Явно получено преобразование Фурье гауссова волнового пакета. Установлено, что его моменты любого порядка, найденные по пространственным координатам при фиксированном времени, обращаются в нуль. Если один из параметров решения велик, найдена асимптотика этого решения через гауссов пучок.

6. Численно исследовано насколько соотношение неопределенности для гауссова волнового пакета близко к теоретическому пределу при различных значениях параметров. Численно исследованы направленные свойства физического вейвлета гауссов волновой пакет.

7. Построено двухмасштабное асимптотическое разложение монохроматического электромагнитного поля специального вида в бесконечной слоистой периодической среде. Показано, что главный член разложения выражается через решения гиперболических уравнений.

8. Показано, что в плоском случае в бесконечной слоистой периодической среде возможно существование нерасплывающихся локализованных пучков. Выяснено, что такие пучки составляют с нормалью к плоскости слоёв один фиксированный угол.

9. Численный эксперимент, проведённый с использованием коммерческого пакета моделирования распространения электромагнитных волн, основанного на методе FDTD, подтвердил существование пучков с предсказанными параметрами.

Достоверность результатов. Результаты первой части диссертации обоснованы с помощью строгих математических доказательств. Результаты второй части получены на уровне формальных асимптотических разложений и проверены численным моделированием.

Научная и практическая значимость. Формулы, полученные в настоящей работе, представляют интерес для изучения распространения волновых полей с такими начальными данными, для аппроксимации которых эффективен вейвлет-анализ. Это могут быть функции двух и более переменных, имеющие многомасштабную структуру. В качестве примера в двумерном случае можно взять функции, аппроксимирующие черно-белое изображение или заданные экспериментально в виде большого массива данных и, возможно, включающие шум.

Результаты, полученные во второй части работы, могут быть полезными для предсказания поведения локализованных полей, например, лазерного пучка, в слоистых периодических средах.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Санкт-Петербургском городском семинаре по дифракции и распространению волн (Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН), на семинарах кафедры Высшей математики и математической физики Физического факультета СПбГУ, на семинаре Физико-Технического института имени А.Ф.Иоффе и на международных конференциях: в Санкт-Петербурге ("Days on Diffraction-2006, 2007, 2008, 2011, 2012, 2014, 2016"), в Финляндии ("Waves-2003"), в Германии (Summer School New Trends and Directions in Harmonic Analysis, Approximation Theory, and Image Analysis, 2007). Основные материалы диссертации отражены в 9 публикациях, приведенных в конце автореферата.

Личный вклад. Результаты, опубликованные в совместных работах М.В. Перель и М.С. Сидоренко [A1], [A2], [A4], [A5], [A8], [A9] в равной мере принадлежат обоим авторам. Две работы [A6], [A7] опубликованы в соавторстве с М.В. Перель и Е.А. Городницким. Эти результаты также в равной мере принадлежат всем авторам. Определяющий вклад в результаты, опубликованные в [A3], принадлежит диссертанту.

Публикации. Основные материалы диссертации отражены в 9 публикациях [A1]-[A9].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, двух приложений, списка литературы и иллюстраций и содержит 137 страниц и 17 рисунков. Список литературы включает 48 наименований.

Интегральное представление решений волнового уравнения

Доказано, что формула (8) с коэффициентами, определяемыми формулами (13), (14), даёт решение задачи Коши в смысле обобщённых функций. Мы предпочитаем обобщённую постановку задачи классической в связи с тем, что начальные данные могут иметь разрывы, и как известно, вейвлет-анализ особенно эффективен для представления функций с разрывами. Будем считать, что u(r,t) — обобщённая функция медленного роста от пространственных координат и зависит от времени как от параметра. Соответствующий класс основных функций - класс Шварца S(R2), состоящий из бесконечно дифференцируемых функций, которые вместе со всеми своими производными убывают с ростом \г\ быстрее, чем \г\ п для любого п. Пусть а є 5 (R2). Учитывая, что u(-,t) Є L2(M2) при фиксированном времени, действие обобщённой функции на основную определяется равенством: (u+(r,t),a(r)) = I d ru+(r,t)a(r) = (u+(r,t), ct(r)). (16) R2

Так как a(r) является произвольной функцией, будем далее действие обобщённой функции u+(r,t) на основную функцию а (г), обозначаемое как (u+(r, t), а(г)), заменять на действие на а(г), т.е., на (u+(r,t),a(r)), которое равно скалярному произведению (u+(r,t),a(r)). Мы доказали, что равенство (8) выполняется в обобщённом смысле, то есть для каждой и+ є %+ (или и- є %) и для любой а є 5 (М2) справедливо, что (u±(r,t),a(r)) = —± dn(v)U±(i )(ilj±(r,t),a(r)). (17) Обобщённая функция является решением задачи Коши, если выполняются следующие равенства: и ill (7 /) СУ\7 )/ у = c 2(it(r,), Ла(г)), Уа є S M2 ), (18) d (it(r,), a(r))t=0 = (u (r), a(r)), — (it(r,), a(r)) i = (v(r)i a(r)). (19) Равенства (17) позволяют доказать, что обобщённая функция u(r,t) = u+(r,t) + it-(г, ) удовлетворяет задаче Коши (18).

Также построено альтернативное интегральное представление. В формулах, полученных выше, вейвлет-преобразование решений (11) определено так, что оно не зависит от времени, то есть коэффициенты разложения решений по решениям не зависят от времени. В работе получена и другая схема, в которой используется вейвлет-преобразование решения в момент времени t по пространственным координатам. Время является параметром и вейвлет-преобразование от него зависит и выражается через начальные данные следующим образом:

Известно, что вейвлет-преобразование функции содержит в себе информацию о её локальных пространственных частотах [10], [11]. Формула (20) представляет самостоятельный интерес, потому что позволяет найти вейвлет-преобразование решения без необходимости вычисления самого решения. Содержание главы 2

В главе 2 разрабатываются методы построения физических вейвлетов, то есть таких решений волнового уравнения c постоянной скоростью, которые можно использовать в интегральном представлении, полученном в главе 1. Для этого нужно построить явные решения волнового уравнения, обладающие конечной L2 -нормой при фиксированном времени и удовлетворяющие дополнительному условию (5). Для проверки этого условия необходимо знание Фурье-преобразования решения. Кроме того, чтобы в полной мере воспользоваться преимуществами предложенного метода, мы должны выбирать в качестве физического вейвлета решения, обладающие хорошей локализацией в фазовом пространстве. где ф{ї) назван прокси-вейвлетом в работе Г. Кайзера [8]. Выбирая ф{ї), можно получить локализованные сферически симметричные решения неоднородного уравнения. Сумма сходящегося и расходящегося решений, при помощи прибавления мнимых добавок к координатам сдвинутая в комплексную плоскость, даёт локализованное решение однородного уравнения. Кайзер применял и интерпретировал в терминах вейвлетов преобразование Гильберта. В его построениях можно было использовать только один физический вейвлет. В настоящей работе можно использовать физические вейвлеты из широкого класса. Для этого они должны принадлежать одному из классов Н±, а также удовлетворять условию допустимости. Выяснены условия, которые надо наложить на прокси-вейвлет, чтобы решения были физическими вейвлетами. 2. Второй способ впервые предложен в данной работе. Он основан на рассмотрении неоднородного волнового уравнения в!2с движущимся источником в правой части где решение и+ отлично от нуля при х + ct О, а и — при х + ct 0 (здесь функции и± не следует путать с функциями и± из главы 1 ). Сумма этих решений представляет собой решение однородного уравнения. Сдвигая решение в комплексную плоскость по координатам, получаем семейство локализованных решений. Выберем функцию ф{ї) равной ф(ї) = —4с е т av KJ/_i/2(cr), (24) л/7 а = 2 7л/1 + 2гс /7, K = p/{ l)i (25) где і - модифицированная функция Бесселя (функция Макдональда), є,р, 7 — произвольные положительные постоянные, v — произвольная вещественная постоянная. Выберем ветвь квадратного корня с положительной вещественной частью. В этом случае решение уравнения (23) будет совпадать с известным решением, называемым гауссовым пакетом, впервые найденным в [23]:

Фурье-преобразование гауссова пакета

Как ясно видно из параграфа 1.2, можно получить физический вейвлет для пространства Н±, просто выбрав произвольную интегрируемую с квадратом функцию ф±{к) двух переменных к є R2, имеющую нуль хотя бы первого порядка в точке к = 0. После этого необходимо умножить её на зависящую от времени экспоненту ет И и взять обратное преобразование Фурье по переменной к. Такой алгоритм позволяет получить физические вейвлеты в Н±, удовлетворяющие условию допустимости. Однако на практике мы, скорее всего, не сможем вычислить интеграл в явном виде. Тем самым мы не сможем найти явную формулу для вейвлета (р в пространственных координатах. Вместе с тем, существует несколько практических методов, позволяющих получить явное точное решение волнового уравнения непосредственно в координатном представлении, без вычисления интеграла по всему Ш2. Эти методы были предложены Бейтманом и развиты Иллионом в работах [33]-[35] (см. обзор в работе [36]). Мы впервые предлагаем использовать эти методы для получения физических вейвлетов, которые можно использовать в преобразованиях из главы 1.

Показано, что одно из ранее найденных решений - гауссов волновой пакет-является физическим вейвлетом. Подробно изучены его свойства, которые важны с точки зрения непрерывного вейвлет-анализа.

В данном разделе мы рассматриваем класс сферически симметричных физических вейвлетов, восходящих к работам Дж. Кайзера [8]. Данные решения существуют только для случая трёх пространственных измерений. Метод получения интеграль ных представлений решений, представленный нами в главе 1, разработан для двух пространственных переменных. Тем не менее, он допускает расширение и на случай трёх пространственных измерений, но такое его расширение выходит за рамки настоящей работы. Мы принимаем здесь без доказательства, что в трехмерном случае для того чтобы решение ф±(г, t) могло быть использовано в качестве физического вейвлета, оно должно удовлетворять условию допустимости

Это условие обеспечивает справедливость формулы восстановления для непрерывного вейвлет-анализа в М3, см. [10]. Одним из наиболее простых классов решений нестационарного волнового уравнения в М3 иц — с (ихх + иуу + uzz) = 0, r = (x,y,z), (167) являются сферические волны: u(r,t) =—F(ct — \r\) +—G{ct + Irl), (168) r I T I где F,G - произвольные функции. Если функции F,G - гладкие, то такое решение удовлетворяет однородному волновому уравнению везде, кроме точки \г\ = 0. Можно посмотреть на решения такого вида как на поле точечного источника, расположенного в начале координат. Пусть e(r, t) и a(r, t) удовлетворяют уравнениям является решением однородного волнового уравнения (99). После вычитания особенности в начале координат г = 0 сокращаются, так как функции F и G из (168) взяты как F = —G. Данный простой метод получения сферически симметричных решений волнового уравнения был впервые рассмотрен с точки зрения получения физических вейвлетов Дж. Кайзером в [8]. Функция ф{сЬ) была названа прокси-вейвлетом и имела вид:

Кайзер использовал в своих построениях преобразование Гильберта, которое он интерпретировал с точки зрения вейвлет-анализа. Преобразования Гильберта определило появление единственного физического вейвлета.

При нашем подходе прокси-вейвлет ф(сЬ) может быть выбран из широкого класса функций. Нужно только, чтобы порожденный им физический вейвлет содержал только положительные или только отрицательные частоты и удовлетворял условию допустимости (166). Вейвлет ф{сЬ), у которого Фурье-преобразование ф(к) = 0, к 0, называют прогрессивным. Мы собираемся доказать следующие два факта.

Во-первых, если прокси-вейвлет ф{сЬ) - прогрессивный и ф(к)/к принадлежит Ь2, то физический вейвлет (r,t) будет принадлежать пространству Н- и его можно обозначить как ifj_(r}t). Второй вейвлет ф+ є Н+ в этом случае может быть получен из ф- сменой знака времени t. Во-вторых, если физический вейвлет -(г, ) порождён прокси-вейвлетом ф(сі) по формуле (171), то в терминах прокси-вейвлета условие допустимости, после перехода в сферические координаты и снятия интеграла по углу, приобретает вид

Прежде всего, найдем Фурье-преобразование решения, порожденного некоторым прокси-вейвлетом ф{сЬ). Фурье-преобразование решения ф{г,ї) (171) может быть вычислено явно переходом в сферические координаты а, /3, R = \r и поворотом системы координат под интегралом так, чтобы ось z совпадала по направлению с вектором к, так что к г превращается в \k\Rcos/3, а интеграл по а даёт 27г:

Два типа решений Флоке-Блоха в естественных координатах

Используя эти формулы, мы также можем вычислить центр и ширину Фурье-преобразования функции ф, заменив ip{r,t) на ф(к, t). Полагаем, что значимый носитель вейвлета, т.е. те точки на плоскости (ж, у), где функцией ф(г,ї) нельзя пренебречь в численных расчетах, представляет собой эллипс с полуосями Ах и Ау. Значимый носитель Фурье-преобразования $(k,t) - эллипс с полуосями Акх и Аку с центром в точке к = (кх,0) (см. рис. 3). Ширина Ах, Акх и Ау,Аку удовлетворяет соотношению неопределённости Гейзенберга, которое верно для любой функции ф: Равенство выполняется только для вейвлета Морле (см., напр., [10]) который, в свою очередь, является асимптотикой для решения (204).

Цель данного раздела — изучить зависимость ширины и центра вейвлета ф от его параметров. Вводя безразмерные координаты х" = х/є, у" = у/є и время t" = t/є, перепишем вейвлет (204) в терминах двух параметров р и є/7 :

Когда р велико, параметр р и отношение е/ могут быть проинтерпретированы с использованием ширины вейвлета Морле (234), которая обозначена как ах, ау, и среднего продольной пространственной частоты его Фурье-преобразования, обозначенной ж. Отношение є/7 = (Jy/(jx характеризует фигуру значимого носителя вейвлета, произведение CGX = у/р — количество длин волн на ширине Ах, произведение хсгу = \/ кє/2 — количество длин волн на ширине Ау.

Мы численно получили ширину вейвлета (204), его Фурье-преобразования и выражение в левой части соотношений неопределенности (241) как функции от р = 2 7 в двух случаях. В первом случае параметр ж меняется, а параметры є и 7 зафиксированы. Когда р велико, это может быть проинтерпретировано следующим образом: форма значимого носителя вейвлета Морле не изменяется, а число длин волн, укладывающихся по поперечному и продольному направлениям, увеличиваются с ростом ж. Результат представлен на рис. 4, 8. Во втором случае меняется 7, а є и к зафиксированы. Для больших р это означает, что число длин волн в поперечном направлении фиксировано, а продольная длина увеличивается с ростом 7. Результаты представлены на рисунках 7, 9. Во всех случаях число длин волн на ширине Ах, т. е. у/р, отложено на горизонтальной оси. Параметр у/р определяет асимптотическое поведение нового вейвлета, поскольку поправочный член в (234) порядка 0(1/у/р), когда а = 1/2. С точки зрения сравнения ширины с асимптотикой относительная ширина, т. е., Ах/ах и подобные, отложена на вертикальных осях и представлена на рисунках 4, 7.

Рисунок 4 показывает, что ширина стремятся к своей асимптотике при у/р — оо и при фиксированном є/7. Ширина вейвлетов в пространственных координатах больше, чем её асимптотика ах, ау (рисунок 4). Ширина вейвлетов в пространственных частотах Акх, Аку может быть как меньше, так и больше, чем ширина вейвлета Морле акх = 1/(2ах), аку = 1/(2ау) (рисунок 5). Чем больше параметр є/7, тем ближе к насыщению соотношение неопределённости Гейзенберга (рисунок 8) и тем меньше Ay/dy (рисунок 4) и Акх/акх (рисунок 5). Однако, Ах/ах и Aky/(7kv увеличиваются с ростом е/ .

Чтобы проинтерпретировать рисунок 7, 9, отметим, что скорость приближения вейвлета к его Морле-асимптотике определяется членами порядка р а /е = (2 к) "7і аlei которые должны быть малы. Однако эти члены увеличиваются с ростом параметра 7, если параметры є и к зафиксированы.

Вейвлет называется направленным (см. [10] за более детальным описанием), если значимый носитель его Фурье-преобразования лежит в выпуклом конусе в пространстве к с вершиной, совпадающей с началом координат и углом а (рисунок 3). Используя асимптотическую формулу (234), можно показать, что гауссов пакет является направленным вейвлетом при достаточно больших р. Это следует из равенства кх = к = р/(2гу), Акх = л/р/(4:гу) прир — параметры 7 и є фиксированы. Тогда неравенство кх Акх выполняется, следовательно, начало координат не попадает в эллипс.

Если вейвлет является направленным, мы можем вычислить масштабную разрешающую способность (SRP) и угловую разрешающую способность (ARP). Эти величины особенно важны для численных расчетов, в основном при определении минимальной решетки дискретизации для восстановления изображения без потерь (см. [10, 44]). Разрешающая способность определяется выражениями

По мере того как SRP стремится к 1 и ARP к 0, вейвлет становится более чувствительным к малым деталям и к угловым деталям анализируемых данных [10]. Зависимости SRP и ARP были вычислены с использованием MATLAB и представлены на рис. 10 и 11 для меняющихся параметров ж и 7 соответственно.

Стационарные точки дисперсионной поверхности

Задача распространения волн в слоистой периодической среде была рассмотрена в простейшем частном случае, когда среда состоит из двух чередующихся слоёв диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями Єї, 2 и толщинами 2і, 22 соответственно, период равен Ъ = а\ + 22, М = 1. Для такой кусочно-постоянной зависимости коэффициента уравнения Максвелла все результаты могут быть получены аналитически. Уравнение на дисперсионную поверхность хорошо известно (см., напр., [13]) и имеет вид: для ТМ- и ТЕ- поляризаций соответственно, А,2 = ш2е\ /с2 — р2. Для заданных параметров задачи 2і, а2, ъ 2 частоты стационарных точек могут быть найдены численно. Стационарные точки дисперсионных функций гиперболического типа возникают на верхних границах разрешённых зон при р\\ = 0, см. приложение 1. Отношение вторых производных дисперсионной функции в гиперболической стационарной точке находится аналитически. Например, для ТМ волн отношение имеет вид

Будем далее рассматривать поля, зависящие только от одной из поперечных координат, например от координаты х. Как было показано выше, если частота поля совпадает с частотой седловой точки, в периодической среде в нулевом приближении существуют пучки (т. е. поля, экспоненциально убывающие по мере удаления от какой-либо прямой линии), которые могут располагаться только под двумя углами к оси z: ср и —ср (см. (392)).

Чтобы проверить этот факт численно, выберем конкретные параметры среды и численно найдём частоту стационарной точки. Для конкретности частота со монохроматического поля была выбрана в оптическом диапазоне. Из практических соображений далее будем оперировать не безразмерной круговой частотой со, а размерной длиной волны в пустом пространстве А. Выбор был остановлен на следующем наборе параметров: а\ = 50 нм, 22 = 80 нм, е\ = 1.5, єз = 12. Этим параметрам соответствует длина волны седловой точки А = 401 нм. На рисунке 12 приведен участок зонной структуры при фиксированном р\\ = 0 для волн типа ТМ, полученный численным решением уравнения (400) (по вертикальной оси отложена круговая частота со, для удобства отметки на графике сделаны в единицах длин волн).

Если 6со = 0, зависимость р от р линейная, в остальных случаях — гиперболиче 111 ская. На рисунке 13-15 пунктирной линией приведены изочастотные контуры для 5UJ = О, 5UJ 0 и 5UJ 0 соответственно, которым отвечают длины волн Л = 401 нм, Л = 405 нм и Л = 397 нм. Сплошной линией приведены изочастотные контуры, полученные из непосредственного численного решения уравнения (400). Видно, что с ростом р\\ расхождение между этими кривыми растёт. Это подтверждает предположение о том, что найденные асимптотики работают только если поле меняется медленно. Действительно, чем больше рь тем быстрее меняется поле и тем менее применим асимптотический результат.

Для среды с параметрами, описанными выше, было проведено моделирование в коммерческом программном пакете CST Microwave Studio. Была смоделирована слоистая структура с 50 периодами по оси z и периодическими граничными условиями по оси у, что на практике обеспечивает отсутствие зависимости от этой координаты. Плоскость z = 0 совпадает с границей раздела пустое пространство — периодическая слоистая структура. В качестве источника поля был взят электромагнитный гауссов пучок, падающий из минус бесконечности по z на плоскость ху под разными углами к оси z.