Содержание к диссертации
Введение
I Математические задачи теории регистрации оптического излучения и методы их исследования 17
1.1 Распределения вероятностей значений аддитивных функционалов от траекторий случайных процессов 17
1.2 Теоретические основания постановки задач теории регистрации квантового оптического излучения 34
II Распределение вероятностей значений аддитивного квадратичного функционала. Процессы Винера и Орнштейна-Уленбека 46
2.1 Элементарные гауссовские процессы 46
2.2 Аддитивный квадратичный функционал на траекториях ви-неровского процесса 58
2.3 Плотность распределения вероятностей случайной величины Jr(zy) 65
III Алгебры последовательностей коэффициентов степенных рядов 76
3.1 Алгебра 0 коэффициентов степенных рядов 76
3.2 Алгебра 92
IV Исследование распределения Манделл 101
4.1 Распределение Манделя при Т — 101
4.2 Аппроксимации при малых временах регистрации 108
4.3 Разложение по пуассоновским компонентам. Безграничная делимость 125
Заключение 136
Список использованной литературы
- Теоретические основания постановки задач теории регистрации квантового оптического излучения
- Аддитивный квадратичный функционал на траекториях ви-неровского процесса
- Плотность распределения вероятностей случайной величины Jr(zy)
- Аппроксимации при малых временах регистрации
Введение к работе
Актуальность темы. Исследование, проведенное в настоящей работе, относится к той области математической физики, которая только в самое последнее время получила устоявшееся название - статистическая математическая физика [62],[63]. Задачи, изучаемые в рамках этого направления, объединяются, с одной стороны, тем, что их постановки естественным образом возникают в физических исследованиях, а, с другой стороны, их формулировка и методы решения основаны на теории случайных процессов. Следует, однако, указать на существенную разницу между постановкой задач в рамках направления, которому посвящена диссертация, и задачами, которые возникают в такой более традиционной области приложений методов теории вероятностей к физическим проблемам, как статистическая механика [74]. В последнем случае, теория вероятностей проявляется только терминологически, но, по сути, используемые методы исследования остаются "детерминистическими", в том смысле, что исследуемые математические модели сконструированы в виде детерминированных гамильтоновых динамических систем, и распределения вероятностей в этом случае возникают только лишь в связи с неопределённостью начальных данных. Более того, эти распределения (распределения Гиббса) конструируются на основе гамильтониана каждой из исследуемых систем. В той же области математической физики, которой посвящена диссертация, изучаются задачи, которые возникают в таких физических проблемах, в которых приходится учитывать существенное влияние различного рода случайных факторов на свойства физической системы. Однако, при вероятностном моделировании воздействия на систему этих случайных факторов, несмотря на то, что, как правило, имеется только довольно ограниченная априорная информация об их статистических свойствах, не используются модели наиболее общего вида, а, наоборот, стремятся применять простейшие случайные процессы. При этом обоснование применения той или иной вероятностной модели к изучению каждой такой физической проблемы лежит за пределами математики, а сами задачи представляют
собой конкретные задачи математического анализа. В качестве примера описанного подхода мы приведём здесь задачу о т.н. чандлеровских колебаниях земной оси [58] или задачу о космических ливнях в атмосфере Земли [59]. В первом случае, для математического описания случайных колебаний используют конкретную модель стационарного случайного процесса с экспоненциально быстрым расцеплением корреляций - т.н. процесс Орнштейна-Уленбека, во втором, - специальную модель ветвящегося процесса. При решении конкретных прикладных задач в приведенных примерах и им подобных возникает ситуация, типичная как раз для математической физики. Здесь проявляется примерно такое же соотношение, какое имеется между подходами общей теории дифференциальных уравнений в частных производных или теории интегральных уравнений и теорией начально-краевых задач математической физики.
Задачи, изучению которых посвящена диссертация, возникают в квантовой оптике. Они связаны с проблемой регистрации электромагнитного излучения, которая в естественных условиях всегда осложняется наличием в нём стохастической составляющей. Для математического описания этой составляющей приходится использовать конкретные модели случайных процессов - т.н. элементарных гауссовских процессов [58], которые определяются решениями стохастических дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Последнее обстоятельство тесно связано с линейностью уравнений Максвелла, описывающих распространение электромагнитного излучения (см. разд.1.2). В простейшем случае, для моделирования случайной составляющей используется упомянутый выше процесс Орнштейна-Уленбека, и именно такого типа математические модели изучаются в диссертации.
Конкретные задачи, которым посвящена работа, связаны с изучением распределений вероятностей случайных значений аддитивных квадратичных функционалов от траекторий процесса Орнштейна-Уленбека. Интерес к такого рода распределениям, с точки зрения проблемы регистрации излучения, связан с тем, что сама регистрация, как физическое явление представляет собой поглощение приёмником энергии электромагнитного по-
ля. Интенсивность поглощения в единицу времени является квадратичной функцией от напряжённостей электрической и магнитной составляющих поля, а поглощённая приёмником энергия есть интеграл по некоторому временному промежутку Т от этой функции. Если в излучении присутствует стохастическая составляющая, то эта энергия как раз и представляет собой аддитивный квадратичный функционал от траекторий случайного процесса. Если для моделирования электромагнитного шума используется гауссовский процесс, в частности процесс Орнштейна-Уленбека, то задача вычисления характеристической функции для значений аддитивного квадратичного функционала от его траекторий принципиально решается либо на основе известного метода Каца-Фейнмана-Дынкина [26], либо методом решения соответствующей спектральной задачи для интегрального оператора, ядром которого является ковариационная функция процесса [25] (см. разд.1.1). На этом пути было вычислено большое число характеристических функций, интересных с точки зрения прикладных задач [44]. Подробный обзор развития направления математической физики, к которому относится тема диссертации дан в разд.1.1.
Низкоинтенсивное оптическое излучение поглощается квантовым детектором отдельными порциями, которые называются фотоотсчётами. В квантовой оптике доказывается [65], что случайное число п фотоотсчётов за время Т имеет следующее распределение вероятностей
Рт(п) = Рг{п = п] = ІЕ (j(T))" ехр[- J(T)},
называемое распределением Манделя (обоснование этого распределения см. разд.1.2). Здесь J(T) - случайная величина, представляющая собой поглощённую за время регистрации Т энергию электромагнитного поля,
т ](Т)= [ \z{s)\2ds. о
В том случае, который исследуется в диссертации, - случае полностью стохастического одномодового циклически поляризованного электромагнитного излучения, комплекснозначные функции z(t), і Є К являются
случайными и, в совокупности, представляют комплекснозначный случайный процесс Орнштейна-Уленбека. Таким образом, случайная величина J(T) определяется как аддитивный квадратичный функционал от траекторий z(i) процесса. Класс процессов Орнштейна-Уленбека параметризуется двумя координатами, т.е. фиксация значений двух параметров v > О и а > 0 полностью определяет распределение вероятностей каждого из процессов. Характеристическая функция случайной величины J(T) для процесса Орнштейна-Уленбека была вычислена в работе А.Зигерта [85]. Она определяется формулой
О гх. 51 = 4гуехр(і/Г)
4 [ ' J {г + vf ехр(гГ) - (г - uf ехр(-гГ) '
где г = y/v1 + 2А(7. Распределение вероятностей, соответствующее этой характеристической функции и, соответственно, распределение вероятностей составного распределения Пуассона, случайным показателем которого является величина J(T), определяющая его неявно, оказываются очень сложными аналитически. В связи с этим, возникают задачи их явного приближённого, в математически точно определённом смысле, вычисления и качественного исследования.
Прежде всего, нам удалось исследовать распределение Манделя при большой величине параметра Т. В этом случае доказана следующая локальная предельная теорема. При Т —» оо имеет место асимптотическая формула
Эта формула была ранее получена на физическом уровне строгости, посредством сравнения асимптотик моментов Мп = E(J(T))" ~ вп случайной величины J(T) при Т —> оо без оценок на их равномерность по п.
Далее, в диссертации доказана интегральная предельная теорема при повторном предельном переходе 0 = oTjv —» оо, а затем т = vT —) оо,
для вероятности у. Рт{п)- В этом случае имеет место формула
п:А<п/Є<П
lim У PT(n) =
0-КХЭ ^ v ;
n:A
1/2 В
= i~) J [h (-, г) + О (exp(-2r/z))] X ехр (-1 р/2 - z-vf^} *L , k(rz,r) = I + tz - 2y/2rzV(w) [і + wy/rz/2] ,
Исследуя распределение вероятностей Манделя в области малых значений параметра Г, нами доказано, что для Рт{п) при Т —у 0 имеет место асимптотическая формула
pT(n) = (i + )-1(rJe)"(i + 41)),
которая также ранее была известна в физической литературе, но получалась посредством нестрогого математически приёма пересуммирования главных членов асимптотик каждого момента Mn ~ тгЮ".
Далее, при малых временах Т регистрации оптического излучения построен алгоритм вычисления последовательных приближений распределения Манделя с гарантированной точностью. Для этого вероятность Рг(п) представлялась в виде разложения по моментам
-;^i:4*(wr-ii:4U..
Последовательность приближений Рп , та = 1,2,... распределения вероятностей Манделя, каждое из которых определяет его с точностью до 0mrm_1, вводилась, как соответствующий конечный отрезок ряда
m—n , - х і
В этом случае доказано утверждение о том, что приближение РІ"1' порядка т аппроксимирует распределение Манделя с гарантированной точностью, определяемой неравенством
m+V
\Рт(п)-Р^\<с(^р.уо(2)
(2z)
l-2z
2(7
* = =Hr/2)' V d(r) = где {а/2) П ("О2 ' п=0 ЄГ iow = Е 1+г + у и С - определённая константа. При этом моменты Мп, п Є N вычисляются точно. Они определяются следующим образом Мп = (~1)пп\(^Ухп. Компоненты хп определяются посредством операции свёртки о последовательности W, А компоненты последовательности w = (wm; тп Є Z+) выражается следующим образом посредством полиномов специального вида, ш m + 1 = ІД+(Г) (1 + ^)+ ^K+1(r) + + е -2г "1„ , . / т\ т + 1 __ . . m Є где полиномы Rm{r) вычисляются по рекуррентной формуле 2(m + l) ^w-i^znD-1) : № 22i(liy Щк-і(т), rneZ+ при условии ВД = і В диссертации доказана безграничная делимость распределения Манделл при выполнении неравенства и2/а > 1 для параметров г/, а, определяющих распределение вероятностей случайной величины 3(Т). Этот факт является следствием разложения распределения Манделя в бесконечную свёртку Рт(п) = рМ ор<2> о ... о р<") о ... пуассоновских законов распределения р,1 ГЧ с шагом / и с показателями "' l к (1 + м)'' В этой формуле А„, п Є N - полюса производящей функции QT[\z]. Основная цель. В диссертации изучаются с качественной точки зрения распределения вероятностей, возникающие в простейшей физической постановке задачи регистрации низкоинтенсивного электромагнитного излучения и разрабатываются методы их приближённого вычисления с гарантированной точностью. В работе изучается математическая модель регистрации оптического излучения в отсутствие сигнала (неслучайной составляющей) и в том случае, если стохастическая составляющая имеет только одну "неслучайную" поляризацию и пространственную моду. Основной целью работы является вычисления распределений вероятностей дискретной случайной величины, распределённой согласно составному распределению Пуассона со случайным показателем, который представляется значениями указанного выше функционала. Эта величина физически соответствует числу фотоотсчётов низкоинтенсивного оптического стохастического излучения. Задачи исследования. Исходя из вышеуказанной общей цели исследования в диссертации решались следующие задачи (точную математическую формулировку этих задач см. в гл.1): 1. Исследовать с качественной точки зрения свойства распределения Манделя для числа фотоотсчётов в случае полностью поляризованного одномодового шумового излучения. Разработать алгоритм вычисления с гарантированной точностью распределения Манделя в указанном случае. Разработать алгоритм вычисления плотности распределения значений аддитивного квадратичного функционала от траекторий комплексно з начных процессов Орнштейна-Уленбека и Винера. Вычислить характеристическую функцию и плотность распределения вероятностей для суммы квадратов значений указанных процессов в эквидистантно расположенных точках. Научная новизна. В процессе исследования распределения вероятностей Манделя, которое в рамках представлений квантовой оптики определяет вероятности фотоотсчётов полностью стохастического поляризованного одномодового оптического излучения малой интенсивности, получены следующие новые научные результаты. Доказана локальная предельная теорема распределения Манделя при неограниченном возрастании времени регистрации. Для этого же случая доказана общая интегральная предельная теорема. Эта теорема устанавливает тип асимптотики распределения вероятностей при увеличении времени вне зависимости от пути предельного перехода. Дело в том, что в модели Манделя, кроме времени регистрации присутствуют ещё два параметра і/-1, а"2 размерности времени. В связи с этим, предел Т —У со может осуществляться различными способами в плоскости соответствующих безразмерных параметров т = иТ, О = uTjv. В более частном случае, когда осуществляется последовательный предельный переход - сначала 9 — со, а затем г —) со, получена формула для соответствующей повторной асимптотики распределения вероятностей Манделя. Строго доказана локальная предельная теорема при Т —> 0, которая была получена ранее эвристическими методом в физических работах. Разработан алгоритм последовательных приближений распределения Манделя с гарантированной точностью, оцениваемой в равномерной метрике на Z+. Построено мультипликативное разложение распределение Манделя по пуассоновским законам с изменяющимся шагом и с различными показателями при условии i/2/a > 1, и, тем самым, доказана его безграничная делимость в этом случае. Разработан алгоритм вычисления плотности распределения значений аддитивного квадратичного функционала от траекторий комплекснозначных процессов Орнштейна-Уленбека и Винера в виде разложений в сходящиеся равномерно на полуоси ряды. Эти ряды быстро сходятся при больших значениях временного параметра, определяющего функционал; в рамках этого алгоритма, для процесса Орнштейна-Уленбека вычислено первое приближение и дана оценка его точности; для винеровского процесса вычислены все члены разложения ряда вместе с оценками точности каждого приближения. Вычислены характеристические функции для суммы квадратов значений процессов Винера и Орнштейна-Уленбека в эквидистантно расположенных точках. Теоретическая и практическая значимость. Разработанные в диссертации методы представляют теоретическую ценность, так как на их основе, могут решаться различные задачи теории регистрации излучения. Кроме того, полученные в работе результаты могут иметь практическое приложение - использоваться при обработке статистической информации, касающейся искажения сигналов в лазерных устройствах, передающих информацию. Результаты, выносимые на защиту: Доказательство интегральной предельной теоремы для распределения Манделя при Т —> со. Формула для повторной асимптотики О —> со, г —) со. Разработка алгоритма построения последовательных приближений распределения Манделя с гарантированной точностью в равномерной на Z+ метрике. 3. Доказательство теоремы о безграничной делимости распределения 4. Построение равномерно сходящегося на полуоси разложения для плотности распределения значений аддитивного квадратичного функционала от траекторий винеровского процесса. Апробация работы. Материалы, включенные в диссертацию, опубликованы в 12 работах автора. Они вышли из печати на протяжении 2003-2005гг. и представлены (за исключением тезисов докладов на конференциях) в общем списке литературных источников, на которые имеются ссылки в диссертации. Материалы работы докладывались и обсуждались на: VI международной конференции по математическому моделированию, г.Херсон, 9-14 сентября 2003г. Воронежской зимней математической школе, г.Воронеж, 23-28 января 2004г. XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ, г.Москва, МГУ, 12-16 апреля 2004г. Десятой международной научной конференции им. акад. М.Кравчука, г.Киев (Украина), 13-15 мая 2004г. Международной конференции "Аналитические методы в теории чисел, теории вероятностей и математической статистике", посвященной 90-летию акад. Ю.В.Линника, г.Санкт-Петербург, 25-29 апреля 2005г. VII Международной конференции по математическому моделированию, г.Феодосия, 5-Ю сентября 2005г. Кроме того, по материалам диссертации выпущено два электронных препринта в Лос-Аламосском архиве. Структура и содержание работы. Диссертация состоит из настоящего введения, четырёх глав, заключения, списка литературы, который содержит 85 наименований, и приложения. Каждая глава состоит из разделов, которые, в свою очередь, дробятся на подразделы. В каждой главе и в каждом разделе принята своя нумерация формул. Таким образом нумерация их является тройной: первая цифра указывает на номер главы, вторая на номер раздела, третья на номер формулы (утверждения) в пределах главы и раздела, указанных первыми двумя цифрами. Однако при ссылках на формулы (утверждения) в пределах текущей главы первая цифра опускается, точно также как при ссылках в пределах текущего раздела опускаются две первых цифры. Ссылки на литературу даны заключенными в квадратные скобки номерами соответствующих литературных источников в приложенном в конце диссертации списке. В этом списке указаны только те источники, на которые даются ссылки в тексте. Нумерация литературных ссылок построена в алфавитном порядке. Мы придерживаемся в работе единой для всего текста системы обозначений. Принципы ее построения приводится в отдельном списке (см. ранее). Для удобства чтения работы, формулировки всех основных результатов, а также даваемые по ходу изложения точные определения понятий выделены наклонным шрифтом. Согласно своему значению в тексте, их формулировки, соответственно, предваряются словами Теорема, Лемма, Определение, Следствие, Замечание. Нумерация этих структурных единиц текста сплошная на протяжении каждой главы диссертации. Начало каждого доказательства отмечается знаком П, а конец -Ш. Первая глава посвящена более подробному, чем данное выше, описанию научного направления, которому посвящена диссертация, постановке возникающих в рамках этого направления задач, используемых методов их решения и обзору литературы по этим вопросам. Описывается общая постановка задачи вычисления распределений вероятностей фотоотсчётов в квантовой оптике. Во второй главе описывается техника интегрирования в функциональном пространстве по мерам, связанным с гауссовскими случайными процессами Винера и Орнштейна-Уленбека, необходимая для исследования распределения вероятностей фотоотсчётов. Анализируется задача вычисления распределения вероятностей значений аддитивного квадратичного функционала, определённого на траекториях указанных комплексно значних процессов. В третьей главе разрабатываются формально алгебраические методы для изучения сходимости разложений сложных аналитических функций по степеням малого параметра с целью оценивания точности приближений распределения Манделл, моментов и кумулянтов распределения вероятностей значений аддитивного квадратичного функционала от траекторий процесса Орнштейна-Уленбека. В четвертой главе изучается распределение Манделя для числа фотоотсчётов, регистрируемых квантовым счётчиком в случае одномодового, полностью поляризованного, чисто шумового низкоинтенсивного оптического излучения. Получены все основные результаты диссертации. В заключении перечислены важные задачи, относящиеся к научному направлению диссертации, решение которых было бы желательно для дальнейшего его развития. В приложении приведён несколько переработанный материал работы [14], на основной результат которой опирается доказательство в главе IV интегральной теоремы для случайного числа фотоотсчётов при большой величине времени регистрации. В этом разделе мы приводим физические основания для постановки задач теории регистрации оптического излучения малой интенсивности, в том случае, когда для описания физических процессов регистрации излучения становятся существенными квантовые законы и, соответственно, при математической постановке задач в этой области необходимо привлекать представления квантовой физики. Для построения математической модели регистрации излучения нам понадобятся векторные поля на евклидовом пространстве, принимающие значения в Е3. Поэтому, далее, на протяжении этого раздела мы используем следующие обозначения. Трёхмерные векторы мы отмечаем стрелкой над обозначающими их буквами, а их компоненты в какой-либо декартовой системе координат обозначаем - той же буквой, что и сам вектор (уже без стрелки), снабжённой индексом, указывающим номер компоненты. Если значение индекса не определено, то для указания, что этот символ является компонентой вектора, мы используем перечисляющие индексы, в качестве которых используем строчные латинские буквы j,k,l, и которые, по умолчанию, могут принимать значения 1,2,3. Кроме того, мы используем соглашение о суммировании по повторяющимся индексам, принятое в тензорной алгебре (см., например, [48]). Представления квантовой оптики. Процесс регистрации оптического излучения малой интенсивности состоит в поглощении приёмным устройством энергии электромагнитного поля в течение определённого промежутка времени Т. При малой интенсивности излучения необходимо учитывать, согласно современным физическим представлениям, квантовую природу электромагнитного поля [67], т.е. тот факт, что поле состоит из отдельных частиц, называемых фотонами. Прибор (квантовый счётчик), регистрирующий поле малой интенсивности, поглощает его энергию отдельными порциями - фотоотсчётами, состоящими из энергии групп фотонов, и чем ниже интенсивность поля и чем больше разрешающая способность квантового счётчика, тем более вероятна регистрация отдельных фотонов. Описание процессов регистрации оптического излучения малой интенсивности составляет одну из задач квантовой оптики [27], [65],[67]. В основе квантовой оптики лежит представление о случайном характере электромагнитного поля, что и является проявлением его квантовой природы и, поэтому, математическое описание квантовых оптических явлений должно осуществляться в терминах теории вероятностей. Таким образом, любое электромагнитное поле, в том числе переносящее информацию, т.е. имеющее неслучайную сигнальную составляющую, обязательно "шумит", т.е. все наблюдаемые величины, его характеризующие, случайны и имеют ненулевую дисперсию. Несмотря на то, что в квантовой физике, в отличие от классической, с самого начала приходится оперировать со случайными величинами, т.е. с самого начала система "шумит", тем не менее, этот квантовый шум отличается по своей природе от того, что понимается под шумом при описании случайных явлений методами классической теории вероятностей. Реальным физическим системам, для описания которых существенно применение представлений квантовой физики, присущ как указанный выше квантовый шум, так и шум, понимаемый в классическом смысле. Последнее имеет место по той причине, что внешние (макроскопические) воздействия, формирующие квантовую систему, являются, с необходимостью, не вполне точно определёнными, т.е. несут в себе элемент случайности, однако эта случайность имеет вполне "классический" характер. В связи с описанным обстоятельством, в квантовой физике различают чистые и смешанные (статистически) квантовые состояния. Последние -это как раз такие состояния, в которых присутствует оба типа случайности - квантовая и классическая. Смешанные состояния в квантовой физике математически описываются т.н. статистическим оператором р или, в другой терминологии, матрицей плотности, действующим в пространстве состояний системы, которое является подходящим гильбертовым пространством. Этот оператор является самосопряжённым неотрицательным, ядерным оператором с единичным следом. Его диагональная часть в фиксированном ортонормированном базисе состояний представляет распределение вероятностной меры по этим состояниям. Так как каждой наблюдаемой физической величине а отвечает самосопряжённый оператор А, дей 36 ствующий в пространстве системы, то математическое ожидание соответствующей случайной наблюдаемой а выражается следом от произведения этого оператора на статистический оператор, Ей = Sp/5A. Упрощение математического описания смешанных квантовых состояний может возникнуть в т.н. квазиклассическом приближении, которое применимо в том случае, когда квантовые физические эффекты подавлены. В этом случае, структура статистического оператора упрощается в базисе состояний, которые описываются специальным набором "классических" физических параметров. В этом базисе он является почти диагональным и возможно использовать для описания такого смешанного квантового состояния обычное "классическое" распределение вероятностей. В диссертации изучается задача регистрации квантового стохастического электромагнитного поля. Это означает, что, помимо своей квантовой природы, поле излучения имеет шумовой, в классическом смысле, характер и имеет нулевую сигнальную составляющую, т.е. его квантовое состояние является статистически смешанным. Конкретный вид статистического оператора р, который должен описывать квантовый электромагнитный шум, тесно связан с выбором адекватной математической модели случайного процесса, применяемого для описания этого шума. Описание физического процесса регистрации основано на распределении вероятностей Рт{п) = Рг{л = п} числа п фотоотсчётов в течение времени Т, которое, с необходимостью, является случайной величиной. Если электромагнитный шум, физически, имеет стационарный характер, то распределение вероятностей Рт{п) зависит только от длины Т временного интервала регистрации, и не зависит от точки начала отсчёта на временной оси. Таким образом, класс процессов Орнштейна-Уленбека параметризуется двумя числами v 0, а 0. Параметр и называют дисперсией процесса, a v - декрементом. Процесс Орнштейна-Уленбека {x(t);t Є К.) допускает другое определение, на основе стохастического дифференциального уравнения x(t) + vx{t) = ffVVM (2.1.39) в котором параметры v и а имеют тот же самый смысл, что и выше, а {(p(t);t Є Щ - обобщённый стационарный гауссовский случайный процесс с постоянной спектральной плотностью (процесс "белого шума"), который имеет нулевое среднее и корреляционную функцию E(p(t)(p(tf) = 5{t — t1) (см. разд. 1.2). Это стохастическое дифференциальное уравнение часто используется в моделях статистической физики и называется уравнением П.Ланжевена. Процесс Орнштейна-Уленбека (x(t);t Є Щ определяется как стационарный процесс, траектории которого удовлетворяют уравнению (39). Этими условиями, его распределение вероятностей определяется полностью, а именно, этот процесс, обязательно, является марковским (т.к. удовлетворяет стохастическому уравнению первого порядка [26]) и гауссовским (т.к. является линейным преобразованием гауссовского процесса ( p(t);t Є R)) и, поэтому, имеет плотность условных вероятностей перехода (37). Наряду с процессом Орнштейна-Уленбека, при исследовании более общих математических моделей в теории регистрации оптического излучения, приходится рассматривать его многомерные обобщения и связанные с этими многомерными процессами Орнштейна-Уленбека т.н. элементарные гауссовские процессы [58]. Определение?. Случайный векторнозначный процесс (х(); t Є Ж), который принимает значения х() при каждом значении t Є Ш в векторном пространстве M.d, называется векторным случайным процессом Орнштейна-Уленбека размерности d, если он является стационарным и его траектории x(t) удовлетворяют стохастическому дифференциальному уравнению где Л диссипативная п X n-матрица и ((p(t)\t Є R) - обобщённый га-уссовский векторнозначный процесс размерности d, с нулевым средним и корреляционной функцией Etpi(t)(pj(t ) — (S)ijS(t — if), i,j = l,...,d. Здесь матрица Л называется матрицей декрементов, а эрмитова положительная матрица S - матрицей интенсивностей. Определение 8. Элементарными гауссовскими процессами (x(t); t Є Щ порядка п со значениями в R называются такие, которые порождаются линейным отображением вида x(t) = (v,y(i)), где vet71- постоянный вектор и (у(); t є R) - процесс Орнштейна-Уленбека размерности п. Наконец, дадим точное определение аддитивного квадратичного функционала на пространстве I fo R) квадратично интегрируемых функций на любом компактном интервале в R. Определение 9. Пусть для каждого измеримого множества X С R задана билинейная форма J [и, и] относительно функций и, v Є І іосОЦ» которая является аддитивной функцией множества ХсК. АДДИТИВНЫМ квадратичным функционалом на І 2,іос(Щ называется функционал Jy[u], который определяется формулой JJSTM = Jx[u,«]. Если билинейная форма Jx[u,-y] неотрицательно определена, то соответствующий аддитивный функционал при каждом фиксированной функции u{t) является а-конечной мерой на К.. Основная цель этого раздела вычисление производящей функции QT[X;W] = Еехр(—AJr[ ]) значений аддитивного квадратичного функционала т JT[w] = / w2{t)dt (2.2.1) о на траекториях винеровского процесса (w(t)\t Є R+), которая определяет распределение вероятностей отсчётов квантового оптического излучения в пределе Т — со и v —» 0. Мы получим формулу для этой функции как предельное выражение производящей функции Еехр(-ЛЛИ) = Qn(AAx) (2.2.2) значений квадратичной формы Jn[w] = 52w2(tk), (2.2.3) fe=0 tu = АД, fc = 1,2,..., m, A = T/n, T 0 на траекториях гй(і) винеровского процесса. Вычисление производящей функции (2) имеет самостоятельную ценность для статистики временных рядов, связанных с винеровским процессом. Оно основано на формуле (1.11), в которой гауссовский вектор х состоит из последовательных отсчётов винеровского процессат.е. хк = tf(jfc), к = І,...,п. На основании Теоремы 3, для вычисления функции (2) достаточно определить функцию Qn(\\z), где случайный вектор z = {%; к = 1, ...,п) состоит из компонент Zk = Xk +iyk, fc = 1,2,..., n со стохастически эквивалентными и независимыми парами {х ,Ук) ПРИ каждом к = 1,...,п. Для решения поставленной задачи, после определения функции Qn(Az), достаточно положить Формула М.Каца. Вычислим, используя Теорему 4, производящую функцию случайной величины (1). С этой целью заменим в формулировке этой теоремы Jn[x] на AJn[x] и, соответственно, в формуле (25) заменим —ш/2 на АД, А = Т/n. После этого, искомая формула для производящей функции получается переходом к пределу п — со. Мы получим не только это предельное выражение для производящей функции, но и первую поправку к нему, связанную с конечностью величины п, которая имеет порядок п 1. Подставляя эти выражения в формулу (25), найдём Перейдём теперь к пределу п — оо непосредственно в определении функции Qn(AAjx). Для этого воспользуемся утверждением известной теоремы Дуба [60] (см., например, [2]) о том, что существует такая модификация винеровского процесса (именно эта модификация подразумевается при употреблении термина стандартный винеровский процесс), у которой траектории с вероятностью 1 непрерывны. В этом случае можно перейти к пределу п — оо под знаком математического ожидания, В этом разделе строится алгоритм для вычисления плотности распределения /т(з) вероятностей значений квадратичного аддитивного функционала (2.1) от траекторий винеровского процесса в форме последовательных аппроксимаций с гарантированными оценками точности. Приближения основаны на вычислении конечных отрезков специального функционального ряда. Доказывается, что эти приближения являются равномерно сходящимися на положительной полуоси. Плотность распределения /г(ж) значений случайной величины (2.1) вычисляется посредством обратного преобразования Фурье (или обратного преобразования Лапласа в случае производящих функций) соответствующей характеристической функции QT[ г А; ги], h(х) = J 2тНА; w]e iXxd\. (2.3.1) Несмотря на кажущуюся простоту постановки такой задачи для заданной явным образом функции QT[—гАго], сложная аналитическая форма последней не позволяет выполнить интегрирование точно, и такое положение является, как указывалось в разд.1.1, типичным при вычислении распределений вероятностей значений квадратичных функционалов от траекторий гауссовских процессов. Естественный путь решения возникающей в этом случае проблемы состоит в построении подходящей аппроксимаци-онной процедуры вычисления обратных преобразований Фурье с априорно контролируемой точностью. В приложениях часто, для оценки вероятности больших уклонений от среднего значения, интересуются плотностями /г(#) распределениями вероятностей в области больших значений х случайной величины. В этой области значений обратное преобразование Фурье (1) обычно вычисляется построением разложения интеграла, хорошо сходящегося как раз в этой области [32]. Однако, в ряде случаев, необходимо оценивать не вероятности больших уклонений, а, наоборот, уметь вычислять их для малых значений положительной случайной величины. Такая задача возникает, в частности, в статистической радиотехнике [42] при вычислении вероятности ошибочного приёма сигнала в рамках схемы приёмника Котельникова. Указанный выше путь вычисления интеграла (1) для решения такой задачи непригоден. То же самое имеет место, как будет показано, и при применении плотностей распределения /т{%) в проблеме регистрации квантового низкоинтенсивного оптического излучения. Плотность распределения случайной величины JT[z]. Сначала мы вычислим плотность fr{x) случайной величины о т.е. в случае комплекснозначного винеровского процесса {z{i)\t Є К.+), который имеет непосредственное отношение к проблеме регистрации оптического излучения. В этом случае, на основании (2.26), QT[X; Z] = [ch ((2 ) 71)] _1 . (2.3.3) Плотность распределения /т(х) определяется обратным преобразованием Лапласа ІОО+С ЇСО+С m } 2тгг J п J тті У 1 + ехр (-2 (2 /2) —гсо+с —гоо+с (2.3.4) где с 0. Точки ветвления в подинтегральном выражении, на самом деле, нет, несмотря на наличие аргумента А1/2 в фг[А;], так как ФтЧ Ї ] " мероморфная функция от А (см. разд.Ы). В этом разделе изучается распределение вероятностей для числа фотоотсчётов при фотодетектировании оптического поля малой интенсивности. В этом случае поле регистрируется отдельными порциями, состоящими из групп фотонов, и чем ниже его интенсивность, и чем больше разрешающая способность квантового счётчика, тем более вероятна регистрация отдельных фотонов. Число фотоотсчётов в течение времени X, с необходимостью, является случайным. Эта случайность является следствием двух причин. Первая из них - это квантовая природа регистрируемого электромагнитного излучения, вторая связана с тем, что поле может иметь помимо регулярной (сигнальной) составляющей, также и стохастическую (шумовую). Если регистрируемое электромагнитное поле содержит стохастическую составляющую, то его квантовое состояние является статистически смешанным и описывается матрицей плотности. Распределение вероятностей Рт{п) для числа фотоотсчётов получается посредством некоторой специальной процедуры усреднения диагонали этой матрицы плотности (см. гл.І) в представлении чисел заполнения фотонов. В этой главе мы исследуем с математической точки зрения модель квантового счётчика фотонов одномодового циклически поляризованного полностью стохастического (без сигнальной составляющей) электромагнитного излучения. Сначала мы исследуем в разд. 4.1 распределение вероятностей Рт{п) в области больших значений времени регистрации Т, а затем, в последующих разделах, это распределение изучается в области малых значений параметра Т. Этот раздел написан на основе результатов работ В этом разделе мы доказываем, что в пределе больших времён регистрации Т вероятность Рт{п) определяется плотностью распределения случайной величины J(T). В гл.1 было показано, что случайное число п фотоотсчётов квантового низкоинтенсивного оптического излучения имеет в качестве своего рас пределения вероятностей Рт(п) т.н. составное распределение Пуассона, называемое в квантовой оптике распределением Манделл, РТ(п) = Щп = п] E(j(T))nexp[-J(T)], (4.1.1) Здесь J(T) - случайная величина, представляющая собой поглощённую за время регистрации Т энергию электромагнитного поля. Она определяется формулой (1.2.29), т J(T) = JT[z\= f\z{s)\2ds. (4.1.2) о Одномодовый циклически поляризованный электромагнитный шум описывается комплекснозначным случайным процессом Орнштейна-Уленбека с траекториями z(s) — x(s) + iy(s), s Є К, у которых x(t), t Ш и являются траекториями стохастически эквивалентных и независимых процессов Орнштейна-Уленбека, моделирующих, с физической точки зрения, соответственно, электрическую и магнитную составляющие шумового ПОЛЯ. Для описания процессов (x(t);t Є R), (y{t)]t Є Ж) мы используем далее обозначения, принятые в разд.2.1 (см.Процесс Орнштейна-Уленбека). Фиксация значений двух параметров г/ 0 и а 0 полностью определяет распределения вероятностей этих двух случайных процессов и, поэтому, полностью определяет распределения вероятностей случайных величин JT[], Jr[y] Принимая во внимание независимость и эквивалентность процессов {(); Є Щ, {y{t);t Є R), можно утверждать независимость и эквивалентность случайных величин JT[], Т[У\- Свойство мероморфности функции фг[Л;і] И наличие для нее явной формулы (4) позволяет применять для исследования свойств довольно сложного, задаваемого неявно распределения Манделя Рт(п), посредством формулы (1), методы функций комплексного переменного, как для качественных рассуждений, так и для прямых вычислений. Этот раздел мы посвятим исследованию распределения Манделя при больших значениях величины времени регистрации Т. Покажем, что распределение вероятностей в этом пределе, в определённых условиях, можно изучать на основе распределения вероятностей непрерывной случайной величины —J(T). Заметим, прежде всего, что параметры г = vT и9 = CTT/V - физически безразмерны и алгебраически независимы. Параметр Т входит в состав обоих введённых параметров. Будем изучать далее асимптотику распределения Манделя в таких условиях, когда 0 — оо, а затем г —ї оо, т.е. нам необходимо вычислить повторную асимптотику по параметрам 0, т. С этой целью мы представим производящую функцию (4) в терминах вновь введённых параметров,
Манделя в случае достаточно малых значений дисперсии порожда
ющего комплекснозначного процесса Орнштейна-Уленбека а/и2 < 1
и алгоритм мультипликативного разложения распределения Манделя
по пуассоновским компонентам.Теоретические основания постановки задач теории регистрации квантового оптического излучения
Аддитивный квадратичный функционал на траекториях ви-неровского процесса
Плотность распределения вероятностей случайной величины Jr(zy)
Аппроксимации при малых временах регистрации
Похожие диссертации на Распределения вероятностей в задаче регистрации стохастического излучения в квантовой оптике
