Применение клеточных автоматов для математического моделирования динамических процессов Степанцов, Михаил Евгеньевич

Введение к работе

Актуальность темы.

При математическом моделировании физических явлений часто возникает ситуация, когда рассматриваемую задачу нельзя решить аналитически, а расчет ев в виде разностной схемы приводит к появлению различного рода неустойчивостей. Ряд проблем возникает при решении задач в областях сложной формы.

В процессе описания физического явления при помощи совокупности дифференциальных уравнений происходит замена физической реальности, часто носящей дискретный характер (молекулы в газодинамике, элементарные заряды в электричестве и т. д.), непрерывной моделью. При переходе к разностным схемам пространство и время в этой непрерывкой модели делаются вновь дискретными, а после реализации их из компьютере все величины рассматриваются с ограниченной точностью.

Отсюда напрашивается вывод о том, что целесообразно сразу строить дискретные модели физических явлений. Одним из классов тами моделей являются клеточные автоматы.

. Разумеется, этот подход не является панацеей и имеет наряду с достоинствами ряд серьезных недостатков. Поэтому тем более важно выяснить, какова "экологическая ниша" таких моделей, в частности, з газовой динамике.

Клеточный азтомат представляет собой математическую модель ф.ліческого процесса, в которой время и пространство дискретны (совокупность значений, принимаемых пространственными координатами называется полем клеточного автомата), а все зависимые величины могут принимать конечный набор значений. Клеточный автомат обладает свойством локальности, т. е. на каждом временном шаге новое состояние некоторой точки зависит лишь от состояния точек в небольшой ее окрестности. Кроме того, эта зависимость однородна в пространстве - а каждой точки применяются одни и те же правила.

- с -В настоящее время клеточные автокаты используются как

вычислительный инструмент для большого круга различных задач. Они

могут упрощать расчеты в тех случаях, когда традиционные подходы

приводят к сложным и требующим большого времени вычислениям,

Вероятно, это послужило основанием для того, чтобы применить решеточные газы - один из классов клеточных автоматов - для решения задач газодинамики.

Одной из первых удачных попыток такого рода был "НРР-газ" (названный по первым буквам фамилий своих создателей). Поле этого клеточного автомата представляет собой ортогональную решетку (2-х или 3-х мерную). Возможные состояния клетки соответствуют наличию в ней частиц,' движущихся параллельно осям координат (не более одной частицы на каждое направление). На каждом временном шаге частица перемещается на одну клетку. Столкновения частиц считаются абсолютно упругими.

Несмотря на имеющуюся ярко выраженную анизотропию модели (скорости частиц строго параллельны осям .координат), макроскопическая картина поведения автомата является изотропной.

Тем ^ не менее, двумерный вариант этого. автомата имеет один недостаток, который в некоторых случаях является существенным: его макродинамическое поведение не удовлетворяет уравнению Навье-Стокса —+(vVv) = -iv_P+S_i? ,

Этого недостатка лишен автомат "FHP-газ", поле которого -гексагональная решетка, образованная равносторонними треугольниками. Более высокий порядок симметрии обеспечивает выполнение уравнения Навье-Стокса для этого клеточного автомата. С другой стороны, особая структура norm несколько усложняет его реализацию на компьютере и замедляот вычисления.

Актуальность темы.

При математическом моделировании физических явлений часто возникает ситуация, когда рассматриваемую задачу нельзя решить аналитически, а расчет ее з виде разностной схемы приводит к появлению различного рода неустойчивостей. Ряд проблем возникает при решении задач в областях сложной формы.

В процессе описания физического явления при помощи совокупности дифференциальных уравнений происходит замена физической реальности, часто носящей дискретный характер (молекулы в газодинамике, элементарные заряды в электричества и т. д.), непрерывной моделью. При переходе к разностным схемам пространство и время в этой непрерывней модели делаются вновь дискретными, а после реализации их иг. компьютере все величины рассматриваются с ограниченной точностью.

Отсюда напрашивается вывод о том, что целєсоо5р^;но сразу строить дисфетные модели физических явлений. Одним из классов таким моделей являются клеточные автоматы.

.Разумеется, этот подход не является панацеей и имеет наряду с достоинствами ряд серьезных недостатков. Поэтому тем более важно выяснить, какова "экологическая ниша* таких моделей, в частности, з газовой динамике.

Клеточный автомат представляет собой математическую модель ф, ліческого процесса, в которой время и пространство дискретны (совокупность значений, принимаемых пространственными координатами называется полем клеточного автомата), а все зависимые величины могут принимать конечный набор значений. Клеточный автомаї обладает свойством локальности, т. е. на каждом временном шаге новое состояние некоторой точки зависит лишь от состояния точек в небольшой ео окрестности. Кроме того, эта зависимость однородна в пространстве в каждой точке применяются одни и те же правила.

-г -

В настоящее время клеточные автоматы используются, как вычислительный инструмент для большого круга различных задач. Они могут упрощать расчеты в тех случаях, когда традиционные подходы приводят к сложным и требующим большого времени вычислениям.

Вероятно, это послужило основанием для того, чтобы применить решеточные газы - один из классов клеточных автоматов - для решения задач газодинамики.

Одной из первых удачных попыток такого рода был "НРР-газ" (названный по первым буквам фамилий своих создателей). Поле этого клеточного автомата представляет собой ортогональную решетку (2-х или 3-х мерную). Возможные состояния клетки соответствуют наличию в ней частиц,' движущихся параллельно осям координат (не более одной частицы на каждое направление). На каздом временном шаге частица перемещается на одну клетку. Столкновения частиц считаются абсолютно упругими.

Несмотря на имеющуюся ярко выраженную анизотропию модели (скорости частиц строго параллельны осям ;координат), макроскопическая картина поведения автомата является изотропной.

teM¹ не менее, двумерный вариант этого. автомата имеет один недостаток, который в некоторых случаях является существенным: его макродинамическое поведение не удовлетворяет уравнению Нэвье-Стокса

— 4(»»Vv) = --Vp+-2Aii .

Этого недостатка лишен автомат "FHP-газ", поле которого -гексагональная решетка, образованная равносторонними треугольниками. Более высокий порядок симметрии обеспечивает выполнение уравнения Навье-Стокса для этого клеточного автомата. С другой стороны, особая структура поля несколько усложняет его реализацию на компьютере и замедляот вычисления.

- З -Газ, описызаемый данным клеточным автоматом, естественно,

является идеальным, т. е. взаир/одействие между частицами сводится к

упругим столкновениям. Последнее исключает возможность

моделирования газодинамических процессов, в которых вещество

существует в различных фазах, в частности, процессов, происходящих на

границе раздела сред. Между тем, при решении подобных задач с помощью

разностных методов возникают трудности, подчас непреодолимые, и

использование в этом случае клеточных автоматов могло бы быть вполне

уместным.

Одним из существенных недостатков всех этих моделей является их

принципиальная изотермичность.

Решеточные газы не являются единственным классом клеточных

автоматов при помощи которых можно моделировать процессы в газах.

Если возникает необходимость моделирования диссипаттеясго

процесса, описываемого элементарным уравнением параболического типа

м_/ = аД«,

например, диффузии или теплопередачи, для этой цепи может быть

использован клеточный автомат с окрестностью Мзрголусэ, описанный в

книго Т. Тоффоли и Н. Марголуса "Машины клеточных автоматов" (Москва,

"МИР", 1991).

Такой автомат позволяет моделировать диффузионный процесс в

области с конфигурацией границ любой сложности.

Клеточные автоматы обычно используются для математического

моделирования в том случае, если применение разностных методов

приводит к каким-лиСо затруднениям или если явление вообще плохо

описывается на языке дифференциальных уравнений. Следует отметить,

что два свойства клеточных автоматов - дискретность и локальность -

значительно облегчают их реализацию на компьютере по сравнению с

непрерывными, и даже с дискретными системами (например, разностными

схемами). Кроме того, клеточные автоматы не требуют выполнения

- 4 -операций с плавающей запятой; они используют лишь логические, реже -

операции с целыми числами. Поэтому, если удается построить модель

какого-либо процесса на основе клеточного автомата, значительно

упрощаются компьютерные эксперименты по его исследованию.

Особенно заметен выигрыш во времени при реализации клеточных автоматов на специализированных вычислительных машинах, обладающих большим числом параллельных процессоров - машинах клеточных автоматов.

Основные цели работы заключаются в следующем:

1. Исследование моделей класса решеточных газов, позволяющих моделировать идеальный газ, а также фазовые переходы "газ - жидкость" и "жидкость - газ*.

2. Построение решеточного газа с дискретным спектром скоростей частицы, делающего возможным i/эдепирование неизотермических процессов в газах.

3. Разработка алгоритма построения решеточного газа,
моделирующего газодинамические процессы с заданным тензором
переноса импульса.

4. Исследование клеточного автомата с окрестностью Марголуса, моделирующего двумерную диффузию, и построение его трехмерного аналога.

5. Построение клеточного автомата с окрестностью МартЪлуса, моделирующего движение людей в зданиях или подземных коммуникациях.

Методы исследования.

Основными Методами исследования применимости клеточных автоматов для математического моделирования, использованными в данной работе, являются вычислительный эксперимент и имитационное моделирование.

Для аналитического ' исследования построенных моделей применялись методы математической статистики (в том числе, метод

- 5 -среднего поля, специально разработанный для анализа клеточных

автоматов) и статистической физики..

При обосновании построенных моделей использовались методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.

Научная новизна.

В работе проведены исследования свойств решеточных газов НРР и FHP, доказано, что модификация FHP-газа, предложенная в работе Апперта и Залесски "Lattice gas with a liquid-gas transition" ("Решеточный газ с переходом газ-жидкость) - Phys. Rev. Lett. 64 (1990),1-4 - моделирует газ, подчиняющийся уравнению . состояния Ван-дер-Ваальса. Построен клеточный автомат, относящийся к классу решеточных НРР-газов, с дискретным спектром скоростей частицы, делающий возможным моделирование неизотермических процессов в газах. Разработан алгоритм построения НРР-газа с заданным тензором переноса импульса, позволяющий конструировать модели для расчета ряда задач.

Кроме того, в диссертации исследовано поведение двумерного клеточного автомата с окрестностью Марголуса, макродинамика которого описывается параболическим уравнением.

На основе этого, построен его трехмерный аналог.

Рассмотрена и реализована возможность использования автоматов с окрестностью Марголуса для моделирования движения неорганизованной группы людей (толпы) внутри зданий или городских коммуникаций.. Эта модель может иметь большое значение для теории риска и прикладных инженерных расчетов.

Практическая ценность.

Полученные результаты используются в ИПМ им. М.В.Келдыша РАН. могут быть использованы в МГУ им. М.В.Ломоносова, Научном институте физико-химических исследований РАН, Институте машиноведения РАН, Институте атомной энергетики им. М.В.Курчатопз, Институте безопасного

развития атомной энергетики. Министерстве по чрезвычайным ситуациям. Проведенные исследования ранее построенных моделей класса клеточных азтоматов расширяют возможности их применения. Разработанный алгоритм позволяет создавать новые подобные модели для конкретных случаев.

Поученные результаты могут найти широкое применение в исследованиях в области гидродинамики, физической химии, биологии. Автомат, моделирующий движение толпы людей может быть использован при проектировании и оценке безопасности городских зданий и сооружений.

Апробация работы и публикации.

Основные результаты работы докладывались на научных семинарах ИПМ им. М.В.Келдыша РАН и НИВ1Д МГУ им. М.В.Ломоносова, на Российской научной конференции "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, ; правления в конденсированных системах'и других средах" - Тверь, 1994, на международной конференции студентов и аспирантов "Ленинские Горы - 95" - Москва, 1995, на шестой Международной конференции "Интеллектуальные системы и компьютерные науки" - Москва, 1996 и на четвертой Международной конференции "Математика, компьютер, образование," - Пущино, 1997.

По результатам научной работы имеется 6 публикаций (см. список публикаций).

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, 4 глав и заключения, изложенных на 98 страницах, содержит 25 рисунков и вившографию из 72 наименований.

- 7 -2. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Введение.

Во введении приводится обзор литературы по вопросам, рассматриваемым в диссертации, краткое описание структуры диссертации, использованных методов и полученных результатов.

Первая глава диссертации посвящена исследованию свойств НРР- и FHP-газов.

Газы, описываемые данными клеточными автоматами является идеальным, т. е. взаимодействие между частицами сводится к упругим столкновениям. Последнее исключает возможность моделирования газодинамических процессов, в которых вещество существует в различных фазах. Однако это становится возможным после небольшой модификации -введения потенциала взаимодействия между частицами.

В новом клеточном автомаге частицы притягиваются, если расстояние между ними меньше некоторой заданной величины (радиуса взаимодействия). Полученный автомат действительно описывает газ, способный конденсироваться а жидкость.

С целью исследования свойств этих автоматов были

смоделированы следующие случаи;

1. идеальный газ под поршнем;

2. идеальный газ вытекает в пустоту через малое отверстие;

3. газ с ыежмолекулярным взаимодействием под поршнем.

Как и можно было предположить, для идеального газа результаты моделирования с очень хорошей точностью соответствовали теории.

Анализ полученных результатов и сопоставление теоретического и получаемого при моделировании уравнений состояния дает алгоритм построения клеточного автомата для моделирования процессов, в которых газ можно считать идеальным:

1. Выбрать пространственный шаг решетки (много меньший

характерных размеров системы и много больший, молекулярных масштабов).

2. Сконструировать поле автомата, разместив в соответствующих местах неподвижные и движущиеся стенки.

3. Задав температуру процесса G, удобно выбрать шаг времени, исходя из соотношения, которое использовалось и для других решеточных газов,

в = тх^г/У^г где т - масса молекулы газа, х - шаг по пространству, / - шаг по времени.

При моделировании газа с межмолекулярным взаимодействием использовался клеточный автомат, предложенный Аппертом и Залесски.

Предполагая, что взаимодействие происходит лишь когда ровно две частицы занимают определенное положение (т. е., мы рассматриваем только парные взаимодействия), получаем

С- a

V-Ь V

т. о.'уравнение Ван-дер-Ваальса

Моделирование подтвердило, что макродинамика модели соответствует термодинамическим свойствам газа Ван-дёр-Ваальса.

Во второй главе описывается построение модели на основ НРР-газа, которая не обладает одним из главных недостатков решеточных газов, рассматривавшихся выше, - принципиальной изотермичностью.

Одним из существенных недостатков вышеописанных моделей, является их иэотермичность. Действительно, поскольку клеточные автоматы являются однородными системами, все частицы моделируемого газа движутся с одинаковыми скоростями. Это само по себе не соответствует реальному состоянию газа, но гораздо хуже то, что такой

автомат не может моделировать процессы, идущие с изменением

температуры.

Выйти из создавшейся ситуации можно, приписав частицам дискретный набор скоростей.

Очевидно, что такая модификация возможна в принципе для любого автомата, моделирующего газ, но проще всего изучить ее на примере НРР-газа.

В новом автомате каждой частица НРР-газа было приписано одно из двух возможных значений скорости, различающихся в целое число раз К. При этом быстрые частицы перемещались на каждом шаге, а медленные -лишь на шаге с номером, кратным К. При столкновении частиц каждая из них могла изменить значение своей скорости с некоторой вероятностью, которая выбиралась, исходя из закона сохранения энергии в системе в целом.

Это позволило определить температуру системы следующим образом:

N_qE_q+N,E, N_q+N, '

гдо Nq и N, - число быстрых и медленных частиц соответственно, а E_q и Е_ч - их энергия.

Можно показать, что для этой модели выполняются уравнения гидродинамики:

1. Уравнение непрерыв«ости следует непосредственно из
сохранения числа частиц.

2. Уравнение движения для такой системы будет иметь вид:

St Р Р

гдо вязкость ц выражается через вязкости газов быстрых и медленных частиц:

т| = -

^+//,

Т. е. новый клеточный автомат удовлетворяет уравнению Навье -Стокса.

3. В качестве уравнения состояния возьмем зависимость давления от плотности и температуры. Для нее можно получить,

что соответствует уравнению состояния идеального газа.

Исследование свойств этого клеточного автомата осуществлялось путем моделирования изохорного нагревания газа.

Результаты численных экспериментов позволяют сделать вывод, что термодинамические свойства данной модели соответствуют свойствам идеального газа.

Это позволяет сделать вывод, что построенный автомат позволяет моделировать процессы в газе, идущие с изменением температуры.

Третья глава содержит изложение и обоснование алгоритма построения решеточного газа по заданному тензору переноса импульса. Суть решаемой проблемы заключается в создании некоего общего алгоритма построения решеточных газов.

Динамические процессы в газе определяются видом тензора переноса импульса, поскольку уравнение динамики имеет вид:

д, . dlU ві ' Sxk Поэтому перед нами стоит следующая задача: нам дан вид тензора переноса импульса, и мы должны, исходя из него найти правила, задающие интересующую нас модель.

Параметрами модели, принадлежащей классу решеточных газов будут набор сортов частиц , масса и скорость, присущие каждому сорту. Так как каждая частица сорта v обладает импульсом »i_v w_v, то

- II -

—(pv)= > -i-mvHv

or ' ^ at

Рассмотрим для определенности решеточный газ на ортогональной решетке. В нем скорости частиц направлены строго вдоль координатных осей.

Пусть v) - сорта частиц со скоростями, параллельными оси х,. /, -

плотность числа частиц сорта v, Pij - вероятности превращения частицы copra is сорт].

Мы получим уравнение Эйлера

с некоторой добавкой

V V

возникающей за счет превращения частиц одного сорта в другой, и представляющей собой изменение импульса в единице объема о результате этого процесса.

В каждом конкретном случае, выбрав количество и характеристики сортов частиц в модели, мы получим такое уравнение для Р ij. Если его удается решить, задача построения модели выполнена. Надо отметить, что полученное выражение является весьма общим, и к решению конкретной задачи можно подойти не рассматривая его в явном виде.

Полученные результаты позволяют надеяться на более широкое применение решеточных газов для решения, в частности, тех задач, где традиционные методы плохо или вообще неприменимы.

Четвертая глава посвящена моделированию при помощи клеточных автоматов с окрестностью Марголуса.

Модепироплние диффузионных процессор.

Иногда при решении довольно простых дифференциальных уравнений возникают проблемы, связанные со сложными граничними

- 12 -условиями. Например, при решении параболического уравнения

описывающего диффузию

u, = а Дм

в области со сложной границей (например, в пористой среде) возникают серьезные трудности.

В уже упомянутой книге Тоффоли и Марголуса для моделирования диффузии предлагается клеточный автомат, е котором правила заданы особым образом (рассматривается так называемая окрестность Марголуса):

1. В качестве поля клеточного автомата выбирается плоскость, разбитая на одинаковые квадраты - клетки; каждая клетка может находится в одном из двух состояний; 1 - в ней есть частица и 0 - в ней пусто.

2. Массив клеток разбит на блоки 2x2 двумя способами, которые будем называть четным и нечетным разбиениями.

3) На очередном шаге каждый из блоков четного разбиения

л „

поворачивается на — по или против часовой стрелки с равной

вероятностью (направление поворота выбирается при помощи генератора случайных чисел). Затем то же самое проделывается с блоками нечетного разбиения.

Применить к этому клеточному автомату метг^ среднего поля и получим уравнение, описывающее его макроскопическое поведение.

Приняв за единицу времени шаг клеточного автомата, а за единицу длины размер его клетки, и перебрав все возможные сочетания поворотоз блоков четного и нечетного разбиения, мы увидим, что за один шаг частиця может переместиться вдоль каждой из координатных осей на расстоян-лэ о, 1 или 2 с вероятностями:

/'(Лї = 0) = І />(Дх=І) = і

- ІЗ -

Р(Дх = 2) = ^

При этом вероятность попадания частицы в данную точку зависит только от ее положения в предыдущий момент времени, поэтому мы можем рассмотреть движение частицы вдоль о~и д: как случайное блуждание. Известно , что такое движение описыается уравнением Смолуховского p(/₀,v,i' + A/,.v') = Jp(<„r₀!/,j.-)p(f,rlr + Ar,.v')

где р(;,х)- плотность вероятности нахождения частицы в данной точке в данный момент времени (p(/,,r,|/,,.v₂)- плотность соответствующей условной вероятности), f₀,x„ и <+Д/,\-' - начальное и конечное, а 1,х -некоторое промежуточное положение частицы на отрезке времени.

Можно показать, что в нашем случае физически осмысленное решение уравнения Смолуховского является одновременно решением следующего дифференциального уравнения:

М,= уАи.

То есть данный автомат моделирует процесс в газе с коэффициентом диффузии а = -.

Для моделирования диффузии в пористой среде необходимо было ввести в модель непроницаемые стенки. Для этого был установлен запрет на повороты соответствующих блоков клеток, т. е. каждой клетке поля автомата ставилось в соответствие или число 0 (стенок нет), или 1 (стенка есть). Если в блок попадала хотя бы одна клетка со значением 1, то операция поворота блока не производилась.

Для тестирования возможностей этого клеточного автомата бил выбран ряд модельных задач.

Одна из них заключалась в моделировании диффузии частиц, находившихся в начальный момент времени в малой области пространства (начальные условия близки- к дельта-функции). На рис.5 показано распределение частиц в момент времени і =100. При этом

- 14 -среднестатистическое (по времени) распределение частиц, с очень

хорошей точностью совпало с известным аналитическим решением данной

задачи.

Часто приходится сталкиваться с необходимостью решения подобных задач в трехмерном случае. Для этого нами был построен аналогичный трехмерный клеточный автомат.

Его клетки представляют собой кубы, и подвергаются разбиению на блоки 2x2x2 двумя способами, как и в двумерном случае'. Тепярь случайным образом выбирается не только направление поворота блока на

--, но и одна из трех возможных осей поворота. В остальном правила

модели остаются неизменными.

В этом случае мы получим, что плотность распределения частиц в данном клеточном автомате удовлетворяет уравнению диффузии

и, =—Да IS

(если опять-таки принять шаг по времени и размер клетки равными

1)-

Стоит указать, что эти клеточные автоматы могут быть применены для решения любых других задач, связанных с дифференциальными

уравнениями параболического типа, например, некоторых термодинамических. В этом случае, в дополнение к изложенным правилам клетсчого автомата можно задать появление (или исчезновение) частиц в определенных областях с некоторой вероятностью, что позволит моделировать источники (или стоки) тепла.

Моделирование движения толпы.

Одной из наиболее серьезных проблем наших дней является обеспеченно безопасности людей в нештатных ситуациях..

При проектировании сооружений, рассчитанных на нахождение в них большого количества людей, полезно было бы смоделировать ситуацию беспорядочного движения большой неорганизованной группы людей

(которую в дальнейшем будем называть для краткости толпой) в условиях

;іг., .'.-,ки и устранить особенности конструкций, могущие привести к заторам л давке.

Кроме того, жители крупных городов ежедневно сталкиваются с проблемой движения в толпе при пользовании общественным транспортом (например, в подземных переходах, в турникетах и на эскалаторах метро) Планирование строительства городских пешеходных коммуникаций целесообразно было бы вести не только учитывая общий поток пассажиров, но и детально рассматривая движение людей на кот ротных участках пути.

Для математического моделирования динамики толпы сказалось возможным применить упомянутый выше двумерный клеточный автомат с окрестностью Марголуса.

Модифицируем его правила, добавио к диффузионной составляющей движения направленную. Для этого на ка*',дсм временном шаге будем производить перемещение частиц внутри блоков в некотором заданном направлении, если соответствующие соседние клетки свободны (т. е. там нет частиц).

X*

Г-Н*

D¹- ._.,.

_Jltl

Рис. 1

Рис.2

Разработанный клеточный автомат был реализован на компьютере, : его помощью, был исследован ряд модельных задач.

На рис. 1 и 2 изображено движение толпы в сужающемся проходе При этом измеряется временная зависимость плотности числа людей до сужения и после (в областях, выделенных прямоугольниками и отмеченных цифрами 1 и 2).

В первом случае плотность толпы перед сужением (в широкой части прохода) в течение некоторого отрезка времени устойчиво превышает плотность посла сужения, что соответствует наличию "пробки". Во втором случае этого явления нет.

Построенная модель, однако, не отражает того важного факта, что люди в толпе движутся с различными скоростями. Присвоение каждой частице индивидуальной скорости свело бы на нет такие достоинства модели как простоту и однородность правил! Поэтому в модель были введены два сорта частиц: быстрые и медленные.

При проведении расчетов с помощью модифицированного автомата был обнаружен оффект "отрицательной вязкости": а именно: при прохождении сужения перехода значение потока частиц у стенок в среднем превышало это же значение в середине прохода. Такое явление а действительности наблюдается в городских пешеходных коммуникациях.

Представляется, что описанная модель может оказаться полезной при проектировании сооружений, рассчитанных на значительные потоки людей, а также при оценке безопасности зданий и помещений.

В заключении перечислены основные результаты диссертации и выражены благодарности.